1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第2课时 函数的单调性与最值第3页返回导航 数学 1函数的单调性(1)单调函数的定义第4页返回导航 数学 增函数减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1，x2定义当 x1x2 时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当 x1x2 时，都有，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)第5页返回导航 数学 图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是上升的下降的第6页返回导航 数学(2)单调
2、区间的定义若函数 yf(x)在区间 D 上是或，则称函数 yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 yf(x)的单调区间增函数减函数第7页返回导航 数学 2函数的最值前提设函数 f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意 xI，都有；(2)存在 x0I，使得(1)对于任意 xI，都有；(2)存在 x0I，使得结论M 为最大值M 为最小值f(x)Mf(x0)Mf(x)Mf(x0)M第8页返回导航 数学 3.判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 y1x的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有
3、相同的单调性()(3)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(1)f(3)，则函数 f(x)在 R 上为增函数()(4)函数 yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()第9页返回导航 数学(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数()(6)所有的单调函数都有最值()(7)对于函数 f(x)，xD，若 x1，x2D，且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数 f(x)在 D 上是增函数()(8)函数 y|x|是 R 上的增函数()(9)函数 f(x)log5(2x1)的单调增区间是(0，)()(10)函数 y1x21x2的最大值为
4、 1.()第10页返回导航 数学 考点一 求函数的单调性(区间)命题点 1.求具体解析式的函数的单调性(区间)2.求解析式含参数的函数的单调性(区间)第11页返回导航 数学 例 1(1)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ay x1 By(x1)2Cy2xDylog0.5(x1)第12页返回导航 数学 解析：利用函数的单调性或函数的图象逐项验证A 项，函数 y x1在1，)上为增函数，所以函数在(0，)上为增函数，故 A 正确；B 项，函数 y(x1)2 在(，1)上为减函数，在1，)上为增函数，故 B 错误；C 项，函数 y2x12x 在 R上为减函数，故 C 错误；D 项，函数 y
5、log0.5(x1)在(1，)上为减函数，故 D 错误答案：A第13页返回导航 数学(2)函数 f(x)lg x2 的单调递减区间是_第14页返回导航 数学 解析：函数 f(x)是定义域为x|x0的偶函数，且 f(x)lg x22lg x，x0，2lgx，x0.函数大致图象如图所示，所以函数的单调递减区间是(，0)答案：(，0)第15页返回导航 数学(3)判断并证明函数 f(x)axx21(其中 a0)在 x(1,1)上的单调性第16页返回导航 数学 解：法一：(定义法)设1x1x21，则 f(x1)f(x2)ax1x211 ax2x221ax1x22ax1ax2x21ax2x211x221a
6、x2x1x1x21x211x221.1x1x21，x2x10，x1x210，(x211)(x221)0.第17页返回导航 数学 因此当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在(1,1)上为减函数法二：(导数法)f(x)ax212ax2x212ax21x212.又 a0，所以 f(x)0，所以函数 f(x)在(1,1)上为减函数第18页返回导航 数学 方法引航 判断函数单调性的方法1定义法：取值，作差，变形，定号，下结论.2利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减
7、函数，简称“同增异减”.3图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调增；图象逐渐下降，单调减.4导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.第19页返回导航 数学 1下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是()Ayex ByxCyln xDy|x|第20页返回导航 数学 解析：选 B.因为定义域是 R，排除 C，又是增函数，排除 A、D，所以选 B.第21页返回导航 数学 2(2016安徽合肥检测)函数 y|x|(1x)在区间 A 上是增函数，那么区间 A 是()A(，0)B.0，12C0，)D.12，第22页返回导航 数学 解析：选 B.(数形结合法)y|x|(1x)x1x，x0，x1x，x0 x2
8、x，x0，x2x，x0 x12214，x0，x12214，x0.画出函数的图象，如图所示第23页返回导航 数学 由图象可知原函数在0，12 上单调递增，故选 B.第24页返回导航 数学 3已知 a0，函数 f(x)xax(x0)，证明：函数 f(x)在(0，a上是减函数，在 a，)上是增函数第25页返回导航 数学 证明：设 x1，x2 是任意两个正数，且 0 x1x2，则 f(x1)f(x2)x1ax1 x2ax2 x1x2x1x2(x1x2a)当 0 x1x2 a时，0 x1x2a，又 x1x20，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在(0，a上是减函数
9、；当 ax1x2 时，x1x2a，又 x1x20，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在 a，)上是增函数第26页返回导航 数学 考点二 利用函数的单调性求最值命题点1.求单调函数的最值 2.求函数的值域第27页返回导航 数学 例 2(1)函数 f(x)2xx1在1,2上的最大值和最小值分别是_第28页返回导航 数学 解析：f(x)2xx12x12x12 2x1在1,2上是增函数，f(x)maxf(2)43，f(x)minf(1)1.答案：43，1第29页返回导航 数学(2)已知函数 f(x)1a1x(a0，x0)，若 f(x)在12，2 上的值域为12，
10、2，则 a_.第30页返回导航 数学 解析：由反比例函数的性质知函数 f(x)1a1x(a0，x0)在12，2上单调递增，所以f12 12，f22，即1a212，1a122，解得 a25.答案：25第31页返回导航 数学 方法引航 求函数最值的常用方法 1单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；2图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；3基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；4导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；5mfx恒成立mfxmax；6mfx恒成立mfxmin.第32页返回导航
11、数学 1(2017湖南株洲一模)定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1C6 D12第33页返回导航 数学 解析：选C.由已知得当2x1时，f(x)x2；当1x2时，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数f(x)的最大值为f(2)2326.第34页返回导航 数学 2下列四个函数：y3x；y1x21；yx22x10；yx x0，1x x0.其中值域为R的函数有()A1个B2个C3个D4个第35页返回导航 数学 解析：选B.依题意，注意到y3x与函数yx x0，1x x0的值域均是R，函数y1x
12、21 的值域是(0,1，函数yx22x10(x1)211的值域是11，)，因此选B.第36页返回导航 数学 考点三 函数单调性的应用命题点1.比较函数值的大小2.求字母参数3.解不等式第37页返回导航 数学 例3(1)已知f(x)x2cos x，则f(0.6)，f(0)，f(0.5)的大小关系是()Af(0.6)f(0)f(0.5)Bf(0)f(0.5)f(0.6)Cf(0.6)f(0.5)f(0)Df(0.5)f(0)f(0.6)第38页返回导航 数学 解析：f(x)(x)2cos(x)x2cos xf(x)，f(x)是偶函数f(0.5)f(0.5)又f(x)2xsin x，当x(0,1)时
13、，f(x)0.f(x)在(0,1)上是增函数，f(0)f(0.5)f(0.6)，即f(0)f(0.5)f(0.6)故选B.答案：B第39页返回导航 数学(2)已知f(x)2ax1，x1，ax，x1，满足对任意x1x2，都有fx1fx2x1x20成立，那么a的取值范围是_第40页返回导航 数学 解析：由已知条件得f(x)为增函数，2a0a12a11a，解得32a2，a的取值范围是32，2.答案：32，2第41页返回导航 数学 方法引航 1利用单调性比较大小，首先把不在同一个单调区间上的变量转化为同一个单调区间，再结合单调性进行比较.2已知函数的单调性确定参数的值域范围要注意以下两点：若函数在区间
14、a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.第42页返回导航 数学 1若本例(1)中函数变为f(x)12 xsin x，比较f(0.6)，f(0)，f(0.5)的大小第43页返回导航 数学 解：f(x)12xsin x，f(x)12cos x当3x3，f(x)0.f(x)在3，3 上，为减函数，故有f(0.5)f(0)f(0.6)第44页返回导航 数学 2在本例(2)中，若f(x)不变且a32，2.解不等式f(4a22a5)f(a2)第45页返回导航 数学 解：由题意可知，当a32，2 时，f(x)在R上为增函数4a22
15、a5a2即4a23a70，(4a7)(a1)0，1a74.故32a74.f(4a22a5)f(a2)的解集为32，74.第46页返回导航 数学 易错警示定义域的请求求函数单调区间先求我1函数的单调区间是定义域的子集，求函数的单调区间必须做到“定义域优先”的原则典例1 函数f(x)x2x6的单调增区间为_第47页返回导航 数学 正解 设ux2x6x122254.令ux2x60，得f(x)的定义域为(，32，)，ux2x6 x122 254 是对称轴为x 12，开口向上的抛物线，故u在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而yu 在(0，)上是增函数，所以f(x)的单调减区间为(，3，单调增区间为
16、2，)答案 2，)第48页返回导航 数学 易误 解题时不先求f(x)的定义域，误认为ux2x6的增区间就是f(x)的增区间警示 求函数的单调区间，应该先求定义域，在定义域内寻找减区间、增区间；若增区间或减区间是间断的，要分开写，不能用“并集符号”合并联结2利用函数单调性解不等式时也要先求定义域第49页返回导航 数学 典例2 已知，定义在2,3上的函数f(x)是减函数，则满足f(x)f(2x3)的x的取值范围是_第50页返回导航 数学 正解 由题意得2x3，22x33，x2x3.即2x3，12x3，x3.12x3.答案 12，3第51页返回导航 数学 易误 此类不等式，只考虑单调性直接去掉“f”
17、符号得到一个不等式，如本题只得到“x2x3”是错误的没注意定义域x2,3警示 这类不等式应等价于：单调性和定义域构成的不等式组第52页返回导航 数学 高考真题体验1(2016高考北京卷)下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是()Ay 11x Bycos xCyln(x1)Dy2x第53页返回导航 数学 解析：选D.选项A中，y 11x 1x1的图象是将y1x的图象向右平移1个单位得到的，故y11x 在(1,1)上为增函数，不符合题意；选项B中，ycos x在(1,0)上为增函数，在(0,1)上为减函数，不符合题意；选项C中，yln(x1)的图象是将yln x的图象向左平移1个单位得到的，故
18、yln(x1)在(1,1)上为增函数，不符合题意；选项D符合题意第54页返回导航 数学 2(2015高考湖南卷)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数第55页返回导航 数学 解析：选A.函数yf(x)的定义域为(1,1)，又f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，yf(x)为奇函数，且函数f(x)在(0,1)上是增函数故选A.第56页返回导航 数学 3(2014高考湖南卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()Af(x)1
19、x2Bf(x)x21Cf(x)x3Df(x)2x第57页返回导航 数学 解析：选A.f(x)1x2 是偶函数，且在(，0)上单调递增，A正确；f(x)x21是偶函数，但在(，0)上单调递减，B错；f(x)x3是奇函数，C错；f(x)2x是非奇非偶函数，D错故选A.第58页返回导航 数学 4(2016高考北京卷)函数f(x)xx1(x2)的最大值为_第59页返回导航 数学 解析：法一：f(x)1x12，x2时，f(x)0恒成立，f(x)在2，)上单调递减，f(x)在2，)上的最大值为f(2)2.法二：f(x)xx1x11x1 1 1x1，f(x)的图象是将y 1x 的图象向右平移1个单位，再向上
20、平移1个单位得到的第60页返回导航 数学 y1x在2，)上单调递减，f(x)在2，)上单调递减，故f(x)在2，)上的最大值为f(2)2.法三：由题意可得f(x)1 1x1.x2，x11，0 1x11，第61页返回导航 数学 11 1x12，即1 xx12.故f(x)在2，)上的最大值为2.答案：2第62页返回导航 数学 5(2016高考北京卷)设函数f(x)x33x，xa，2x，xa.若a0，则f(x)的最大值为_；若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_第63页返回导航 数学 解析：代入a值直接求分段函数的最值；结合图象分类讨论求解由当xa时，f(x)3x230，得x1.如图是函数yx33x与y2x在没有限制条件时的图象若a0，则f(x)maxf(1)2.当a1时，f(x)有最大值；当a1时，y2x在xa时无最大值，且2a(x33x)max，所以a1.答案：2 a1第64页返回导航 数学 6(2016高考天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数a满足f(2|a1|)f(2)，则a的取值范围是_第65页返回导航 数学 解析：f(x)在(，0)上单调递增，f(x)在(0，)上单调递减f(2|a1|)f(2)f(2)，2|a1|2212，|a1|12，12a112，12a32.答案：12，32 第66页返回导航 数学 课时规范训练
