1、专题11一次函数与二元一次方程组问题【知识点总结】一、二元一次方程与一次函数的关系若k，b表示常数且k0，则ykxb为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得ykxb，将x，y看作自变量、因变量，则ykxb是一次函数事实上，以方程ykxb的解为坐标的点组成的图象与一次函数ykxb的图象相同二、用图象法求二元一次方程组的近似解用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤：1、先把方程组中两个二元一次方程转化为一次函数的形式：y1k1xb1和y2k2xb2；2、建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；3、写出这两条直线的交点的横纵坐标，这两个数的值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x，纵
2、坐标是y.三、利用二元一次方程组确定一次函数的表达式每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标因此一次函数与二元一次方程组有密切联系利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的一般步骤如下：1、写出函数表达式：一次函数ykxb；2、把已知条件代入，得到关于k，b的方程组；3、解方程组，求出k，b的值，写出其表达式【针对训练】1、在平面直角坐标系中，已知点A（x，y），点B（xmy，mxy）（其中m为常数，且m0），则称B是点A的“m族衍生点
3、”例如：点A（1，2）的“3族衍生点”B的坐标为（132，312），即B（5，1）（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为 ；（2）若点A的“3族衍生点”B的坐标是（1，5），则点A的坐标为 ；（3）若点A（x，0）（其中x0），点A的“m族衍生点“为点B，且ABOA，求m的值；（4）若点A（x，y）的“m族衍生点”与“m族衍生点”都关于y轴对称，则点A的位置在 解：（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为（220，220），即（2，4），故答案为（2，4）；（2）设点A坐标为（x，y），由题意可得：，点A坐标为（2，1）；（3）点A（x，0），点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），AB
4、|mx|，ABOA，|x|mx|，m1；（4）点A（x，y），点A（x，y）的“m族衍生点”为（xmy，mxy），点A（x，y）的“m族衍生点”为（x+my，mxy），点A（x，y）的“m族衍生点”与“m族衍生点”都关于y轴对称，x0，点A在y轴上，故答案为：y轴上2、阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图：在ABC中，ACB90，ACBC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：ADCCEB（1）探究问题：如果ACBC，其他条件不变，如图，可得到结论；ADCCEB请你说明理由（2）学以
5、致用：如图，在平面直角坐标系中，直线yx与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为，且tan，请你求出直线CD的解析式（3）拓展应用：如图，在矩形ABCD中，AB3，BC5，点E为BC边上一个动点，连接BE，将线段AE绕点E顺时针旋转90，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD若DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长解：（1）理由：ACB90，ACDBCE90，又ADC90，ACD+DAC90，BCEDAC，且ADCBEC90，ADCCEB；（2）如图，过点O作ONOM交直线CD于点N，分别过M、N作MEx轴NFx轴，由（1）可得：NFOOEM，点M（2，1），
6、OE2，ME1，tan，NF3，OF，点N（，3），设直线CD表达式：ykx+b，直线CD的解析式为：yx+；（3）当CDP90时，如图，过点P作PHBC，交BC延长线于点H，ADC+CDP180，点A，点D，点P三点共线，BAPBH90，四边形ABHP是矩形，ABPH3，将线段AE绕点E顺时针旋转90，AEEP，AEP90，AEBPEH90，且BAE+AEB90，BAEPEH，且BH90，AEEP，ABEEHP（AAS），BEPH3，当CPD90时，如图，过点P作PHBC，交BC延长线于点H，延长HP交AD的延长线于N，则四边形CDNH是矩形，CDNH3，DNCH，设BEx，则EC5x，将线
7、段AE绕点E顺时针旋转90，AEEP，AEP90，AEBPEH90，且BAE+AEB90，BAEPEH，且BEHP90，AEEP，ABEEHP（AAS），PHBEx，ABEH3，PN3x，CH3（5x）x2DN，DPC90，DPN+CPH90，且CPH+PCH90，PCHDPN，且NCHP90，CPHPDH，x点P在矩形ABCD外部，x，BE，综上所述：当BE的长为3或时，DPC为直角三角形3、如图，在平面直角坐标系中，直线ykx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B；直线yx+6过点B和点C，且ACx轴点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，同时点N从点A出发以每秒3个
8、单位长度的速度沿射线AC向点C运动，当点M到达点O时，点M、N同时停止运动，设点M运动的时间为t（秒），连接MN（1）求直线ykx+b的函数表达式及点C的坐标；（2）当MNx轴时，求t的值；（3）MN与AB交于点D，连接CD，在点M、N运动过程中，线段CD的长度是否变化？如果变化，请直接写出线段CD长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段CD的长度解：（1）ACx轴，点A（5，0），点C的横坐标为5，对于yx+6，当x5时，y5+610，对于x0，y6，点C的坐标为（5，10），点B的坐标为（0，6），直线ykx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0，6），则，解得，直线ykx+b
9、的函数表达式为yx+6，综上所述，直线ykx+b的函数表达式为yx+6，点C的坐标为（5，10）；（2）由题意得，BM2t，AN3t，OM62t，OMAN，MNx轴，四边形MOAN为平行四边形，OMAN，62t3t，解得，t，当MNx轴时，t；（3）线段CD的长度不变化，理由如下：过点D作EFx轴，交OB于E，交AC于F，EFx轴，BMAN，AOE90，四边形EOAF为矩形，EFOA5，EOFA，BMAN，BDMADN，EF5，DE2，DF3，BMAN，BDEADF，OB6，EOFA，CFACFA，CD4、如图，直线y2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线yx+3交y轴于点C，两直线相交于点
10、D（1）求点D的坐标；（2）如图2，过点A作AEy轴交直线yx+3于点E，连接AC，BE求证：四边形ACBE是菱形；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CGFG，且CGFABC时，求点G的坐标解：（1）根据题意可得：，解得：点D坐标（2，4）（2）直线y2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，点B（0，8），点A（4，0），直线yx+3交y轴于点C，点C（0，3），AEy轴交直线yx+3于点E，点E（4，5）点B（0，8），点A（4，0），点C（0，3），点E（4，5），BC5，AE5，AC5，BE5，BCAEACBE，四边形ACBE是菱形；（3）
11、BCAC，ABCCAB，CGFABC，AGFABC+BFGAGC+CGFAGCBFG，且FGCG，ABCCAB，ACGBGF（AAS）BGAC5，设点G（a，2a+8），（2a+88）2+（a0）252，a，点G在线段AB上a，点G（，82）5、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：yx+2与x轴交于点A，直线l2：y3x6与x轴交于点D，与l1相交于点C（1）求点D的坐标；（2）在y轴上一点E，若SACESACD，求点E的坐标；（3）直线l1上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与APD全等，求点F的坐标解：（1）直线l2：y3x6与x轴交于点D，令y0，则3x6
12、0，x2，D（2，0）；（2）如图1，直线l1：yx+2与x轴交于点A，令y0x+20，x2，A（2，0），由（1）知，D（2，0），AD4，联立直线l1，l2的解析式得，解得，C（4，6），SACDAD|yC|4612，SACESACD，SACE12，直线l1与y轴的交点记作点B，B（0，2），设点E（0，m），BE|m2|，SACEBE|xCxA|m2|4+2|4|m2|12，m2或m6，点E（0，2）或（0，6）；（3）如图2，当点F在直线l1上方时，以A、P、F为顶点的三角形与APD全等，、当APFAPD时，连接DF，BD，由（2）知，B（0，2），由（1）知，A（2，0），D（2，0
13、），OBOAOD，ABODBO45，ABD90，DBl1，APFAPD，PFPD，AFAD，直线l1是线段DF的垂直平分线，点D，F关于直线l1对称，DFl1，DF过点B，且点B是DF的中点，F（2，4），、当PAFAPD时，PFAD，APFPAD，PFAD，点D（2，0），A（2，6），点D向左平移4个单位，点P向左平移4个单位得，F（14，6），F（3，3），当点F在直线l1下方时，PAFAPD，由知，PAFAPD，PAFPAF，AFAF，PFPF，点F与点F关于直线l1对称，FFl1，DFl1，FFDF，而点F（2，4）先向左平移一个单位，再向下平移一个单位，D（2，0），向左平移1个单
14、位，再向下平移一个单位得F（21，01），F（1，1），即：点F的坐标为（3，3）或（2，4）或（1，1）6、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（4，3）（1）求直线AB的函数表达式；（2）点P是线段AB上的一点，当SAOP：SAOB2：3时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段AB绕点A顺时针旋转120，点B落在点C处，连结CP，求APC的面积，并直接写出点C的坐标解：（1）设直线AB的函数表达式为ykx+b，点A（2，0），点B（4，3），解得：，直线AB的函数表达式为yx+1；（2）过B作BEx轴于E，过P作PDx轴于D，PDBE，SAOP：SAOB2
15、：3，点B（4，3），BE3，PDBE，APDABE，PD2，当y2时，x2，P（2，2）；（3）点A（2，0）、点B（4，3），点P（2，2），则AP2，ABCA3，过点P作HPAC交AC的延长线于点H，则AHAP，PHAPsin60，APC的面积ACPH3；设点C（x，y），则PC2PH2+HC215+（+3）295（x+2）2+（y2）2，CA245（x2）2+y2，联立并解得：x，y，故点C（，）7、如图，正方形AOBC的边长为2，点O为坐标原点，边OB，OA分别在x轴，y轴上，点D是BC的中点，点P是线段AC上的一个点，如果将OA沿直线OP对折，使点A的对应点A恰好落在PD所在直线上
16、（1）若点P是端点，即当点P在A点时，A点的位置关系是 ，OP所在的直线是 ，当点P在C点时，A点的位置关系是 ，OP所在的直线表达式是 （2）若点P不是端点，用你所学的数学知识求出OP所在直线的表达式（3）在（2）的情况下，x轴上是否存在点Q，使DPQ的周长为最小值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由轴对称的性质可得，若点P是端点，即当点P在A点时，A点的位置关系是点A，OP所在的直线是y轴；当点P在C点时，AOCBOC45，A点的位置关系是点B，OP所在的直线表达式是yx故答案为：A，y轴；B，yx（2）连接OD，正方形AOBC的边长为2，点D是BC的中点，由折叠的
17、性质可知，OAOA2，OAD90AD1设点P（x，2），PAx，PC2x，CD1（x+1）2（2x）2+12解得x所以P（，2），OP所在直线的表达式是y3x（3）存在若DPQ的周长为最小，即是要PQ+DQ为最小点D关于x轴的对称点是D（2，1），设直线PD的解析式为ykx+b，解得，直线PD的函数表达式为yx+当y0时，x点Q（，0）8、如图1，直线yx+b分别与x轴，y轴交于A（6，0），B两点，过点B的另一直线交x轴的负半轴于点C，且OB：OC3：1（1）求直线BC的解析式；（2）直线yaxa（a0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使SBDESBDF？若
18、存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形BPQ，连接QA并延长交y轴于点K当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，求出它的坐标；如果会发生变化，请说明理由解：（1）直线yx+b分别与x轴交于A（6，0），b6，直线AB的解析式是：yx+6，B（0，6），OB6，OB：OC3：1，OC2，C（2，0）设BC的解析式是ykx+b，解得，直线BC的解析式是：y3x+6；（2）存在理由如下：如图1中，SBDFSBDE，只需DFDE，即D为EF中点，点E为直线AB与EF的交点，点E（，）点F为直线BC与E
19、F的交点，点F（，）D为EF中点，+，a0舍去，a（3）K点的位置不发生变化理由如下：如图2中，过点Q作CQx轴，设PAm，POBPCQBPQ90，OPB+QPC90，QPC+PQC90，OPBPQC，PBPQ，BOPPCQ（AAS），BOPC6，OPCQ6+m，ACQC6+m，QACOAK45，OAOK6，K（0，6）9、如图，在平面直角坐标系中，直线y2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于点C，且ABBC（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且APCQ，PQ交x轴于N，设点Q横坐标为m，PBQ的面积为S，求S与m的函数关系式
20、（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点M在y轴负半轴上，且MPMQ，若BQM45，求直线PQ的解析式解：（1）直线y2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B（0，8），点A（4，0）AO4，BO8，ABBC，BOAC，AOCO4，点C（4，0），设直线BC解析式为：ykx+b，由题意可得：解得：直线BC解析式为：y2x+8；（2）如图1，过点P作PGAC，PEBC交AC于E，过点Q作HQAC，ABCB，BACBCA，点Q横坐标为m，点Q（m，2m+8）HQ2m8，CHm4，APCQ，BACBCAQCH，AGPQHC90，AGPCHQ（AAS），AGHCm4，PGHQ2
21、m8，PEBC，PEAACB，EPFCQF，PEAPAE，APPE，且APCQ，PECQ，且EPFCQF，PFECFQ，PEFQCF（AAS）SPEFSQCF，PBQ的面积四边形BCFP的面积+CFQ的面积四边形BCFP的面积+PEF的面积四边形PECB的面积，SSABCSPAE88（2m8）（2m8）16m2m2；（3）如图2，连接AM，CM，过点P作PEAC，ABBC，BOAC，BO是AC的垂直平分线，AMCM，且APCQ，PMMQ，APMCQM（SSS）PAMMCQ，BQMAPM45，AMCM，ABBC，BMBM，ABMCBM（SSS）BAMBCM，BCMMCQ，且BCM+MCQ180，
22、BCMMCQPAM90，且APM45，APMAMP45，APAM，PAO+MAO90，MAO+AMO90，PAOAMO，且PEAAOM90，AMAP，APEMAO（AAS）AEOM，PEAO4，2m84，m6，Q（6，4），P（2，4）设直线PQ的解析式为：yax+c，解得：直线PQ的解析式为：yx+210、已知：在平面直角坐标系中，直线yx+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是x轴正半轴上一点，ABAC，连接BC（1）如图1，求直线BC解析式；（2）如图2，点P、Q分别是线段AB、BC上的点，且APBQ，连接PQ若点Q的横坐标为t，BPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量取
23、值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是线段OA上一点，连接BE，将ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处，点F在y轴上点H上方EHFH，连接EF并延长交BC于点G，若BGAP，连接PE，连接PG交BE于点T，求BT长解：（1）由已知可得A（3，0），B（0，4），OA3，OB4，AB5，ABAC，AC5，C（2，0），设BC的直线解析式为ykx+b，将点B与点C代入，得，BC的直线解析式为y2x+4；（2）过点Q作MQy轴，与y轴交于点M，过点Q作QEAB，过点C作CFAB，Q点横坐标是 t，MQt，MQOC，BQt，APBQ，APt，AB5，PB5t，在等腰三角形ABC中
24、，ACAB5，BC2，ABCFACOB，CFOB4，EQCFEQ2t，S（5t）（0t2）；（3）如图3，将ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处，AHAB5，AEEH，OHBHOB1，EH2EO2+OH2，AE2（4AE）2+1，AEEH，OE，点E（，0）EHFH，OF点F（0，）直线EF解析式为yx+，直线BE的解析式为：y3x+4，2x+4x+，x，点G（，）BG，BGAP，AP1，设点P（a，a+4）1a，点P（，），直线PG的解析式为：yx+，3x+4x+，x1，点T（1，1）BT11、如图，已知一次函数yx+7与正比例函数yx的图象交于点A，且与x轴交于点B（1）求A
25、OB的面积：（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标解：（1）一次函数yx+7与正比例函数yx的图象交于点A，且与x轴交于点B点B（7，0），x+7xx3，点A（3，4）SAOB7414；（2）如图1，作点B关于y轴的对称点H（7，0），连接AH，交y轴于点C，此时AC+BC最小值为AH，点A（3，4），点H（7，0），AH2，AC+BC最小值为2，设直线AH解析式为：ykx+b，且过点A（3，4），点H（7，0），解得：直线AH解析式为：yx+；（3）如图2，过点Q作QEOB，以同样的速度运动，BQOP，一次函数yx+7与y轴交于点D，点D（0，7），ODOB7，且DOB90，DBO45，且QEOB，QBEEQB45，QEBE，QBQEEB，若PBQB，且OPBQ，OPPBBQ，BEEQ，OE7，点Q（7，），若QPQB，且QEOB，PEBE，OB7OP+PE+BE，7BE+2BE，BEQE，OE点Q（，），如图3，若BPPQ，过点P作PFBQ，BFFQBQ，ABO45，PFAB，FPBABO45，PFBF，PBBF，7BQBQ，BEQE，点Q坐标为（7，）
