1、专题07平面直角坐标系中的新定义与规律一、新定义1、在平面直角坐标系xOy中,对于点P(a,b)和点Q(a,b),给出下列定义:若b则称点Q为点P的限变点例如:点(2,3)的限变点的坐标是(2,3),点(2,5)的限变点的坐标是(2,5)如果一个点的限变点的坐标是(,1),那么这个点的坐标是()A(1,) B(,1)C(,1) D(,1)【答案】C2、在平面直角坐标系中,对于平面内任一点(a,b),若规定以下三种变换:(a,b)(a,b);(a,b)(a,b);(a,b)(a,b),按照以上变换,例如(1,2)(1,2),则(3,4)_【答案】(3,4)解析:(3,4)(3,4)(3,4)3、
2、平面直角坐标系中有两点M(a,b),N(c,d),规定(a,b)(c,d)(ac,bd),则称点Q(ac,bd)为点M,N的“和点”若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形,则称这个四边形为“和点四边形”,现有点A(2,5),B(1,3),若以O,A,B,C四点为顶点的四边形是“和点四边形”,则点C的坐标是_【答案】(1,8)或(3,2)或(3,2)解析:以O,A,B,C四点为顶点的四边形是“和点四边形”,当C为A,B的“和点”时,C点的坐标为(21,53),即C(1,8);当B为A,C的“和点”时,设C点的坐标为(x1,y1),则解得C(3,2);当A为B,C的“和点”时,
3、设C点的坐标为(x2,y2),则解得C(3,2);点C的坐标为(1,8)或(3,2)或(3,2)二、规律探究4、一个质点P在第一象限及坐标轴上运动,在第1秒钟,从原点运动到(0,1),然后按箭头的方向运动即:(0,0)(0,1)(1,1)(1,0),每秒移动一个单位,则点P运动到(7,7)位置时共运动了_秒【答案】56解析:质点P每秒移动一个单位,(0,0)(0,1)(1,1)(1,0)用的秒数分别是1秒,2秒,3秒,到(1,1)用2秒,到(2,2)用6秒,到(3,3)用12秒,到(4,4)用20秒,依此类推,点P运动到(7,7)位置时共运动了246810121456(秒)5、如图,正方形A1
4、A2A3A4,A5A6A7A8,A9A10A11A12,(每个正方形从第三象限的顶点开始,按顺时针方向顺序,依次记为A1,A2,A3,A4;A5,A6,A7,A8;A9,A10,A11,A12;)的中心均在坐标原点O上,各边均与x轴或y轴平行,若它们的边长依次是2,4,6,则顶点A20的坐标为_【答案】(5,5)解析:5,A20在第四象限A4所在正方形的边长为2,A4的坐标为(1,1),同理可得A8的坐标为(2,2),A12的坐标为(3,3),A20的坐标为(5,5)6、如图,在平面直角坐标系中,将ABO绕点A顺时针旋转到AB1C1的位置,点B,O分别落在点B1,C1处,点B1在x轴上,再将A
5、B1C1绕点B1顺时针旋转到A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将A1B1C2绕点C2顺时针旋转到A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去.若点A,点B(0,2),则点B2的坐标为_;点B2016的坐标为_【答案】(6,2)(6048,2)解析:A,B(0,2),RtAOB中,AB,OC2OAAB1B1C226,点B2的横坐标为6,且B2C22,即点B2的坐标是(6,2),点B4的横坐标为2612,点B2016的横坐标为2016266048,点B2016的纵坐标为2,即点B2016的坐标是(6048,2)7、如图所示,在直角坐标系中,第一次将OAB变换成OA1B1,第二次将OA1B1变
6、换成OA2B2,第三次将OA2B2变换成OA3B3,已知A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3),B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0)(1)求OAB的面积;(2)写出OA4B4的各个顶点的坐标;(3)按此图形变化规律,你能写出OAnBn的面积与OAB的面积的大小关系吗?解:(1)SOABOByA233;(2)根据图示知O的坐标是(0,0);已知A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3),对于A1,A2,An的坐标,找规律比较发现An的横坐标为2n,而纵坐标都是3;同理B1,B2,Bn也一样找规律,规律为Bn的横坐标为2n1,纵坐标
7、为0.由以上规律可知:A4的坐标是(16,3),B4的坐标是(32,0)综上所述,O(0,0),A4(16,3),B4(32,0);(3)根据规律,后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍,高相等都是3,OBn2n1,SOAnBn2n1332n2nSOAB,即SOAnBn2nSOAB.解:(1)SOABOByA233;(2)根据图示知O的坐标是(0,0);已知A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3),对于A1,A2,An的坐标,找规律比较发现An的横坐标为2n,而纵坐标都是3;同理B1,B2,Bn也一样找规律,规律为Bn的横坐标为2n1,纵坐标为0.由以上规律可知:A4的坐标是(16,3),B4的坐标是(32,0)综上所述,O(0,0),A4(16,3),B4(32,0);(3)根据规律,后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍,高相等都是3,OBn2n1,SOAnBn2n1332n2nSOAB,即SOAnBn2nSOAB.