1、第三十四讲基本不等式及其应用班级_姓名_考号_日期_得分_一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1“a0且b0”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：A2设a、bR，且ab4，则有()A.B.1C.2 D.解析：由a，bR*，且ab4得242，又由，即.由此可知，A，C，D都不正确，则只有B正确，故选B.答案：B3设0xbc0，则2a210ac25c2的最小值是()A2 B4C2 D5解析：原式a2a210ac25c2a2(a5c)2a204，当且仅当bab、a5c且a2，即a2b5c时“”都成立，故原
2、式的最小值为4，选B.答案：B6已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4C. D.解析：依题意得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)26，x2y4，当且仅当x12y1，即x2，y1时取等号，故x2y的最小值是4，选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7在“1”中的“_”处分别填上一个自然数，使它们的和最小，并求出其和的最小值_分析：.本题条件、结论皆开放，可设所要填写的两数分别为x，y，再利用均值定理去探索解析：设这两个自然数分别为x，y，则有xy(xy)1313225，当且仅当，且1，即x10，y15时等号成
3、立，故分别填10和15，其和的最小值为25.答案：101525评析：本题解答的关键是将已知中的“1”代换应用均值定理求函数的最值时，必须注意“一正二定三相等”8若a，b是正常数，ab，x，y(0，)，则，当且仅当时取等号利用以上结论，可以得到函数f(x)(x)的最小值为_，取最小值时x的值为_解析：f(x)25.当且仅当，即x时上式取最小值，即f(x)min25.答案：259(2010重庆)已知t0，则函数y的最小值为_解析：依题意得yt4242，此时t1，即函数y(t0)的最小值是2.答案：210(2010浙江)若正实数x，y满足2xy6xy，则xy的最小值是_解析：由基本不等式得xy26，
4、令t得不等式t22t60，解得t(舍去)或者t3，故xy的最小值为18.答案：18三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11设a、b、c为正数，求证abc分析：通过观察可得：c2，b2，a2从而利用基本不等式即可证明：a、b、c均是正数，均是正数2c，2a，2b三式相加得：22(abc)abc评析：先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质，(注意限制条件)通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法12设函数f(x)x，x0，)(1)当a2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0a0，0.所
5、以f(x)21.当且仅当x1，即x1时，f(x)取得最小值，最小值为21.(2)因为f(x)xx11，(此时再利用(1)的方法，等号取不到)设x1x20，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).由于x1x20，所以x1x20，x111，x211.所以(x11)(x21)1.而0a1，所以0.即f(x1)f(x2)，所以f(x)在0，)上单调递增所以f(x)minf(0)a.评析：(2)问中因等号不能取到，所以考虑使用函数单调性，由此提醒我们时刻注意三个条件，在变形时拆分项及配凑因式是常用的方法13某厂为适应市场需求，投入98万元引进世界先进设备，并马上投入生产，第一年需各种费用12万元，从
6、第二年开始，每年所需费用会比上一年增加4万元而每年因引入该设备可获得年利润为50万元请你根据以上数据，解决以下问题：(1)引进该设备多少年后，开始盈利？(2)引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均利润达到最大值时，以26万元的价格卖出第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出问哪种方案较为合算？解：开始盈利就是指所获利润大于投资总数，据此建立不等式求解；所谓方案最合理，就是指卖出设备时的年平均利润较大，因此只需将两种方案的年平均利润分别求出，进行比较即可(1)设引进该设备x年后开始盈利盈利额为y万元则y50x982x240x98，令y0，得10x10，xN*，3x17.即引进
7、该设备三年后开始盈利；(2)第一种：年平均盈利为，2x4024012，当且仅当2x，即x7时，年平均利润最大，共盈利12726110万元第二种：盈利总额y2(x10)2102，当x10时，取得最大值102，即经过10年盈利总额最大，共计盈利1028110万元两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算评析：用基本不等式解决实际问题时，一般都是求某个量的最值，这时，先把要求最值的量表示为某个变量的函数，再利用基本不等式求该函数的最值，求最值时，仍要满足前面所说的三个求最值的要求有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用前面的求条件最值的方法求最值
