1、专题01 角平分线的五种模型模型一、角平分线垂两边 例1.如图，AD是ABC的角平分线，且AB：AC3：2，则ABD与ACD的面积之比为（）A3：2B6：4C2：3D不能确定【答案】A【详解】过点D作DEAB于E，DFAC于FAD为BAC的平分线，DE=DF，又AB：AC=3：2，SABD：SACD=（ABDE）：（ACDF）=AB：AC=3：2故选A例2.如图，AOPBOP15，PCOA，PDOA，若PC4，则PD的长为 _【答案】2【详解】解：过P作PEOB，交OB与点E，AOPBOP，PDOA，PEOB，PDPE，PCOA，CPOPOD，又AOPBOP15，CPOBOP15，又ECP为O
2、CP的外角，ECPCOPCPO30，在直角三角形CEP中，ECP30，PC4，PEPC2，则PDPE2故答案为：2【变式训练1】如图所示，在四边形ABCD中，DC/AB，DAB =90，ACBC，AC =BC，ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则的值是_. 【答案】【详解】解：如图，作FGAB于点G，DAB-90，FG/AD， =ACBC，ACB =90又BF平分ABC，FG =FC在RtBGF和RtBCF中BGFBCF（HL），BC =BGAC =BC，CBA =45，AB =BC【变式训练2】如图，BD平分ABC的外角ABP，DA=DC，DEBP于点E，若AB=5，BC=3，求BE的长
3、【答案】1【详解】解：过点D作BA的垂线交AB于点H，BD平分ABC的外角ABP，DHAB，DEDH，在RtDEB和RtDHB中，RtDEBRtDHB（HL），BEBH，在RtDEC和RtDHA中，RtDECRtDHA（HL），AHCE，由图易知：AHABBH，CEBEBC，ABBHBEBC，BEBHABBC532，而BEBH，2BE2，故BE1【变式训练3】如图，在中，、的平分线相交于点E，过点E作交AC于点F，则EF的长为 . 【答案】【解析】延长FE交AB于点D，作于点G，作于点H，如图所示：四边形BDEG是矩形，平分，CE平分，四边形BDEG是正方形，在和中，同理可得，设，则，解得，即
4、，解得，.模型二、角平分线垂中间 例如图，已知，是的平分线，且交的延长线于点E求证：【答案】见解析【详解】证明：如图，延长与的延长线相交于点F，在和中，是的平分线，在和中，【变式训练1】如图，已知ABC，BAC45，在ABC的高BD上取点E，使AEBC（1）求证：CDDE；（2）试判断AE与BC的位置关系？请说明理由；【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）【详解】（1）证明：，在和中， ，CDDE；（2），理由如下：如图，延长AE，交BC于点F，由（1）得，即；【变式训练2】如图，D是ABC的BC边的中点，AE平分BAC，AECE于点E，且AB =10，AC =16，则DE的长度为_
5、 【答案】3【解答】解：如图，延长CE，AB交于点F. AE平分BAC，AEEC，FAE =CAE，AEF =AEC =90在AFE和ACE中，AFE ACE（ASA），AF =AC =16，EF =EC，BF =6又D是BC的中点，BD =CD，DE是CBF的中位线，DE =BF=3，故答案为：3.【变式训练3】如图，在中，是的平分线，于点,/交于点，求证:. 【答案】见解析【解答】证明：延长交于点.平分, .又,.又,.模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形例.如图所示，在ABC中，BC =6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，CBP的平分线交CE于Q，当C
6、Q =CE时，EP+BP =_. 【答案】12【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于点M.E、F分别是AB、AC的中点，EF/BC，CBM =EMBBM平分ABC，ABM =CBM，EMB =EBM，EB =EM，EP +BP =EP +PM =EMCQ =CE，EQ =2CQ由EF/BC得，EMQCBQ【变式训练1】如图，平分，于点C，求OC的长？【答案】【解析】如图所示：过点D作交OA于点E，则，平分，在中，.【变式训练2】在中，C=90，AD平分CAB，BE平分ABC，AD、BE相交于点F，且，则AC= 【答案】【解析】过点E作于G，连接CF，如图所示：分别是和的平分线，CF是的平分线，
7、在中，由勾股定理可得.模型四、利用角平分线作对称例.已知：如图，在中，平分，求证：.【答案】见解析【解析】证明：在AB上截取，连接DE，如图所示：.【变式训练】AD是ABC的角平分线，过点D作DEAB于点E，且DE3，SABC20（1）如图1，若ABAC，求AC的长；（2）如图2，若AB5，请直接写出AC的长【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）如图1，作DFAC于F，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，DFDE3，由题意得，AB3AC320，解得，ACAB；（2）如图2，作DFAC于F，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，DFDE3，由题意得，53AC320，解得，AC模型
8、五、内外模型例.如图，在ABC中，AB=AC，A=30，E为BC延长线上一点，ABC与ACE的平分线相交于点D，则D的度数为（）A15 B17.5 C20 D22.5【答案】A【解析】ABC与ACE的平分线相交于点D，DCE=DCA，CBD=ABD，即，.【变式训练】如图，的外角的平分线CP与内角的平分线BP交于点P，若，则 .【答案】【解析】是的外角，是的外角，平分平分，又，过点P分别作的延长线，垂足分别为点E、F、G，如图所示：由角平分线的性质可得，AP是的平分线，.课后训练1如图，BD是ABC的外角ABP的角平分线，DADC，DEBP于点E，若AB5，BC3，则BE的长为（）A2B1.5
9、C1D0【答案】C【详解】解：如图，过点作于，是的角平分线，DEBP，在和中，在和中，解得：故选：C2如图，是中的平分线，交于点E，交于点F，若，则的长为（ ）AB4C5D6【答案】A【详解】是中的平分线，于点E，交于点F，又，故选：A3如图，在RtABC中，C90，BAC的平分线交BC于点D，CD2，BD3，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（）A1B2C2.5D【答案】B【详解】解：作DHAB于H，如图，AD平分BAC，DHAB，DCAC，DH=DC=2，Q为AB上一动点，DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2故选：B4如图，已知在四边形ABCD中，BCD90，BD平分ABC，AB6，
10、BC9，CD4，则四边形ABCD的面积是_【答案】30【详解】过D作DEAB，交BA的延长线于E，则EC90，BCD90，BD平分ABC，DEDC=4，四边形ABCD的面积SSBCDSBADBCCDABDE946430，故答案为：305如图，在ABC中，AD为ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，DFAC，垂足为F，若AB=5，AC=3，DF=2，则ABC的面积为_【答案】8【详解】解：AD为ABC的角平分线，DEAB， DFAC，DE=DF=2，ABC的面积=52+32=8，故答案侍：86在ABC中，ABC62，ACB50，ACD是ABC的外角 ACD和ABC的平分线交于点E，则AEB_【答
11、案】25【详解】解：如图示：过点，分别作交于点，交于点，交延长线于点，平分，平分，平分，平分，在和中，故答案是：257如图，DEAB于E，DFAC于F，若BD=CD，BE=CF（1）求证：AD平分BAC：（2）已知AC=18，BE=4，求AB的长【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：，在和中，平分；（2）解：，8如图1，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A（-4，0），B（0，4），ADBC交BC于D点，交y轴正半轴于点E（0，t）（1）当t=1时，点C的坐标为 ；（2）如图2，求ADO的度数；（3）如图3，已知点P（0，3），若PQPC，PQ=PC，求Q的坐标（用含t的式子表示）【答
12、案】（1）点C坐标（1，0）；（2）ADO=45；（3）Q（-3，3-t）【详解】（1）如图1，当t=1时，点E（0，1），ADBC， EAO+BCO=90，CBO+BCO=90，EAO=CBO，在AOE和BOC中，AOEBOC（ASA），OE=OC=1，点C坐标（1，0）故答案为：（1，0）；（2）如图2，过点O作OMAD于点M，作ONBC于点N，AOEBOC，SAOE=SBOC，且AE=BC，OMAE，ONBC，OM=ON，OD平分ADC；ADBC，ADO=；（3）如图3，过P作GHx轴，过C作CGGH于G，过Q作QHGH于H，交x轴于F，P（0，3），C（t，0），CG=FH=3，PG=OC=t，QPC=90，CPG+QPH=90，QPH+HQP=90，CPG=HQP，QHP=G=90，PQ=PC，PCGQPH，CG=PH=3，PG=QH=t，Q（-3，3-t）
