1、吉林省长春市第八中学2020-2021学年高一数学上学期元旦作业（期末复习）试题（五）一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 设a，则“”是“”的A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件2. 幂函数的大致图象是A. B. C. D. 3. 已知函数若，则的取值范围是A. B. 或C. D. 或4. 设偶函数对任意，都有，且当时，则A. 10B. C. D. 二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 已知集合1，2，0，则_6. 不等式的解集是_7. 函数的定义域为：_ 8. 已知函数，则_9. 函数的值域是_10. 函数的反函数_11
2、. 已知函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是_12. 已知条件p：，条件q：，p是q的必要条件，则实数k的取值范围为_13. 函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为_14. 已知对于任意实数x，函数满足若方程有2019个实数解，则这2019个实数解之和为_15. 已知，则的最小值为_16. 已知函数在，上的最大值与最小值分别为M和m，则_三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知集合，集合，求集合18. 已知函数为幂函数，且为奇函数，函数求实数a的值及函数；是否存在自然数n，使？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由19. 已知，且，且，函数如果实数a、b满足，试判断函数
3、的奇偶性，并说明理由；设，判断函数在R上的单调性并加以证明20. 已知函数且若函数的反函数是其本身，求实数a的值；当时，求函数的值域21. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1单位量的水可清除蔬菜上残留农药量的，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数 试规定的值，并解释其实际意义； 设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由答案和解析1.【答案】D【解析】解：当，时，满足但“”不
4、成立，当，时，满足“”但不成立，即“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键2.【答案】C【解析】解：幂函数，定义域为，可排除A，B；值域为可排除D，故选：C利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项考查了负指数幂的定义和函数定义域以及利用排除法做选择题常用技巧，应属于掌握3.【答案】A【解析】解：当时，这与相矛盾，当时， 综上： 故选A通过对函数在不同范围内的解析式，得关于的不等式，从而可解得的取值范围本题主要考查对数
5、函数的单调性，及分段函数，在解不等式时注意分类讨论，是个基础题4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了函数的周期性要特别利用好题中的关系式在解题过程中，条件通常是告诉我们函数的周期为2a先通过，可推断函数是以6为周期的函数进而可求得，再利用以及偶函数和时，即可求得的值【解答】解：因为，故有函数是以6为周期的函数故选：B5.【答案】【解析】解：集合1，2，0，故答案为：根据已知集合1，2，0，以及集合交集运算法则我们易得出本题考查的知识点是集合交集及其运算，这是一道简单题，利用交集运算的定义即可得到答案6.【答案】【解析】解：不等式可化为，解得，所以不等式的解集是故答案为：把不等式化为，求出
6、解集即可本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题7.【答案】【解析】解：要使函数有意义，需 解得 所以函数的定义域为：故答案为： 要使函数有意义，需解得，写出区间或集合的形式，即为函数的定义域本题主要考查函数的定义域的求法，这是给定解析式的类型，定义域涉及到对数函数要求真数大于零且底数大于零不等于1；开偶次方根的被开方数大于等于0；分母不等于08.【答案】【解析】解：因为，则，因为，即故答案为：根据已知函数解析式代入即可直接求解本题主要考查了函数解析式的求解，属于基础试题9.【答案】【解析】解：结合反比例函数的性质可知，函数的值域故答案为：结合反比例函数的性质即可求解本题主要考查了函数值域的求
7、解，属于基础试题10.【答案】【解析】解：函数，值域为，反函数，故答案为：求出值域值域为，根据得出，转化变量求解反函数即可本题考查了反函数的概念，属于容易题，关键是求解自变量的范围11.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次函数性质的简单应用，属于基础题由已知结合二次函数的性质，结合已知区间与对称轴的位置关系即可求解【解答】解：由题意可知，二次函数的对称轴，由在区间上是增函数，结合二次函数的性质可知，故答案为12.【答案】【解析】解：若p是q的必要条件，则，即，得，得，即实数k的取值范围是，故答案为：根据必要条件的定义转化为不等式关系进行求解即可本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合必
8、要条件的定义转化为不等式关系是解决本题的关键比较基础13.【答案】或【解析】解：函数的图象如图所示，函数恰有两个零点，或故答案为：或画出函数，与的图象，利用函数的两个零点，写出结果即可本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键14.【答案】0【解析】解：因为函数满足，所以为偶函数，图象关于y轴对称，若方程有2019个实数解，函数图象关于y轴对称，则这2019个实数解之和为0故答案为：0由已知结合偶函数的对称性可知函数的所有零点也关于y轴对称，从而可求本题主要考查了偶函数对称性性质的应用，属于基础试题15.【答案】【解析】解：显然当时，当且
9、仅当，即，时等号成立；当时，当且仅当，即，时等号成立综上，的最小值为故答案为：由题意可知，分和两类取绝对值，结合，利用基本不等式求最值本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用基本不等式求最值，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题16.【答案】2【解析】解：，关于中心对称，可得取得最值的两点也关于点对称，则故答案为：2由已知结合可得关于中心对称，由此可得的值本题考查函数对称性的性质的应用，考查计算能力，是中档题17.【答案】解：，【解析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可本题考查了描述法的定义，分式不等式和绝对值不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题18.【答案】解：函数
10、为幂函数，所以，所以，解得或，又为奇函数，所以，所以函数；函数的定义域为R，任取，且，则，由，得，所以，所以函数在R上单调递増，又计算，所以不存在符合题意的n值【解析】本题考查了幂函数的定义与应用和利用定义法证明函数的单调性，是中档题由幂函数和奇函数的定义，列方程求出a的值，再求函数的解析式；用定义证明函数在R上单调递増，计算、，即可得出结论19.【答案】解：由已知，于是，则，若函数是偶函数，则，即，所以对任意实数x恒成立，所以，若函数是奇函数，则，即，所以对任意实数x恒成立，所以，综上，当时，是偶函数，当时，是奇函数，当时，不是奇函数也不是偶函数因为，所以函数是增函数，是减函数，由知，是增函
11、数，所以函数在R上是增函数，证明：设，且，则，因为，所以，所以，所以函数在R上是增函数【解析】由已知，于是，由奇偶性的定义可得出结论根据题意得，函数是增函数，是减函数，由知，是增函数，所以函数在R上是增函数，再用单调性的定义证明即可本题考查函数的单调性、奇偶性，属于中档题20.【答案】解：因为，即，所以反函数，故；当时，由可得，故的定义域，因为，当且仅当时取等号，所以，故函数的值域【解析】先求反函数的解析式，利用反函数与函数解析式相同可求a；先求出函数的定义域，化简函数解析式，然后利用基本不等式，结合对数函数的性质可求本题主要考查了反函数的求解及利用基本不等式及对数函数的性质求解函数值域，属于
12、中档试题21.【答案】解：表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为，又如果用单位量的水清洗1次，残留的农药量为，此后再用单位量的水清洗1次后，残留的农药量为，由于，当时，此时，把a单位量的水平均分成2份后清洗两次，残留的农药量较少当时，此时，两种清洗方式效果相同当时，此时，用a单位量的水一次清洗残留的农药量较少【解析】表示没有用水清洗，蔬菜上的农药量并没有变化，不妨设；设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为：；用单位量的水清洗2次后，残留的农药量为：；作差比较即可本题考查了一个自定义函数模型的实际应用，解题时要弄清题意，理解函数解析式的意义，并且在比较大小时用到作差法
