1、1 2020 级 2022-2023 学年 10 月学情诊断考试数学学科考试题 本试卷,共 4 页，22 题，满分为 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在规定的位置上.2.第卷每小题选出答案后用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.3.第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其它笔.一、单项选择题：本题共 8 小题,每小题 5 分,共
2、40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合24Axx，集合2320Bx xx，则RAC B A.14xx B.12xxC.24xxD.2.设 xR，则“sin0 x”是“cos1x ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3.已知随机变量 服从正态分布2(2,)N，且(4)0.7P ，则(02)PA.0.1B.0.2C.0.3D.0.44.在某款计算器上计算loga b 时，需依次按下“Log”、“（”、“a”、“，”、“b”、“）”6 个键.某同学使用该计算器计算loga b（1a，1b ）时，误将“Log”、“（
3、”、“b”、“，”、“a”、“）”这 6 键依次按下，所得到的值是正确结果的 19倍，则A.2abB.21a b C.3abD.32ab5.函数ln()xxexf xee的图象大致为A.B.C.D.6.已知关于 x 的不等式210axbx 的解集为1,mm，其中0m，则2bab的最小值为 A.2B.2C.2 2D.32 7.已知函数 f x 的定义域为R，且 112,2f xf xf x 为偶函数，若 00f，则1101()=kf kA.109 B.110 C.111 D.1128.已知5a，15 ln 4ln3b，16 ln5ln 4c，则A.cba B.bca C.cab D.abc 二多
4、项选择题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分。9.已知2112nxx的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为 1:8，则 A.4n B.展开式中所有项的系数和为 1C.展开式中二项式系数和为42D.展开式中不含常数项10.济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数 ee2xxaaaf x，其中0
5、a，则下列关于悬链线函数 fx 的性质判断正确的是 A.fx 为偶函数 B.fx 为奇函数 C.fx 的单调递减区间为,0 D.f x 的最大值是a 11.函数()2 sin()0,|2f xx的部分图像如图所示，则下列说法中 正确的有 A.()f x 的最小正周期T 为 B.()f x 向右平移 38 个单位后得到的新函数是偶函数 C.若方程()1f x 在(0,)m 上共有 4 个根，则这 4 个根的和为 72 D.5()0,4f xx图像上的动点 M 到直线240 xy的距离最小时，M 的横坐标为 4 3 12.若过点 1,P 最多可作出 n nN条直线与函数 1 exf xx的图象相切
6、，则 A.n 可以取到3 B.+4n C.当1n 时，的取值范围是4,e D.当2n 时，存在唯一的 值 三、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13.已知tan 2，则sin 24 _.14.已知四棱锥OABCD，现有质点Q 从O 点出发沿棱移动，规定质点Q 从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为 1 次移动，则该质点经过 3 次移动后返回到O 点的不同路径的种数为_.15.设函数 221,0log,0 xxf xx x，若关于 x 的函数 21g xfxaf x 恰好有五个零点，则实数a 的取值范围是_.16.在ABC中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，120AB
7、C，ABC的平分线交 AC 于点 D，且1BD ，则,a c 满足的方程关系为_；4ac的最小值为_.（第一个空 2 分，第二个空 3 分）四、解答题：本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知函数4log(3)()24xf xx的定义域为集合 A，关于 x 的不等式2(2)20 xa xa的解集为 B.（1）求解集 B；（2）若 xB是 xA的必要条件，求实数a 的取值范围.18.已知向量3sin,cos2xxm，2cos,1nx，0，函数 f xm n，且满足函数 fx 的图象相邻两条对称轴之间的距离 2.（1）求 fx 的表达式，并求方程1f
8、x在闭区间0,上的解；（2）在 ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c.已知3coscosacBbC，22Cf ，求cos A.19.某选手参加套圈比赛，共有 3 次机会，满足“假设第k 次套中的概率为 p.当第k 次套中时，第1k 次也套中的概率仍为 p；当第k 次未套中时，第1k 次套中的概率为 2p.”已知该选手第1 次套中的概率为 12.（1）求该选手参加比赛至少套中 1 次的概率；（2）求该选手本次比赛平均套中多少次？4 20.体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T（单位：C）平均在36 C37 C之间即为正常体温，超过37.1 C即为发热.发热状态下，不
9、同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.138T；高热：3840T；超高热（有生命危险）：40T.某位患者因患肺炎发热，于 12 日至 26 日住院治疗.医生根据病情变化，从 14 日开始，以 3 天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热.住院期间，患者每天上午 8:00 服药，护士每天下午 16:00 为患者测量腋下体温记录如下：抗生素使用情况 没有使用 使用“抗生素 A”治疗 使用“抗生素 B”治疗 日期 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 体温（C）38.7 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 38.9 39.0
10、 抗生素使用情况 使用“抗生素 C”治疗 没有使用 日期 20 日 21 日 22 日 23 日 24 日 25 日 26 日 体温（C）38.4 38.0 37.6 37.1 36.8 36.6 36.3（1）计算住院期间该患者体温不低于39 C的各天体温平均值；（2）在19 日23日期间，医生会随机选取3 天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“项目”的检查，记 X 为低热体温下做“项目”检查的天数，试求 X 的分布列与数学期望；（3）抗生素治疗一般在服药后 2-8 个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗
11、生素治疗效果最佳，并说明理由.21.已知函数 sinf xxx.（1）求函数 f x 在点 22，f处的切线方程；（2）当0 x 时，1xf xebx 恒成立，求实数b 的取值范围.22.已知0a，函数 lnf xxxa，exg xxa.（1）证明：函数 f x，g x 都恰有一个零点；（2）设函数 f x 的零点为1x，g x 的零点为2x，证明：1 2x xa.2020 级 2022-2023 学年 10 月学情诊断考试数学试题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B B C C D C D AD AC ACD ABD 13.210；148；155,22；16 a
12、cac，917【解析】（1）因为2(2)20 xa xa 所以2()0 xxa 当2a 时，解不等式得2x 当2a 时，解不等式得2ax 当2a 时，解不等式得 2xa 综上，不等式的解集为 2a 时，不等式的解集为2Bx x 2a 时，不等式的解集为2Bx ax 2a 时，不等式的解集为2Bxxa （2）由30240 xx得函数 fx 的定义域为23Axx 因为 xB是 xA的必要条件，所以 AB 当2a 时显然不成立，所以2a 且3a 综上a 的取值范围3,18.【解析】（1）因为3sin,cos2xxm，2cos,1nx，所以 3sin2coscos2f xm nxxx 3sin 2co
13、s22sin 26xxx.因为 22T，所以22T，故1 ，即 2sin 26f xx.因为0,x，所以132,666x.又 2sin 216f xx，所以1sin 262x，所以266x或5266x或13266x，即0 x 或3x或 x.所以方程1fx在闭区间0,上的解为0 x 或3x或 x.（2）由（1）知2sin226CfC，所以262Ck，k Z，即23Ck，k Z.因为0,C，所以3C，3sin2C，1cos2C.又3coscosacBbC，由正弦定理 sinsinsinabcABC，得sinsincossin3cosACBBC，整理得3sincossincoscossinsinsi
14、nABBCBCBCA.因为0,A，所以sin0A，所以1cos3B.又0,B，得2212 2sin1cos133BB，所以coscoscossiconsssincoBCBABCBCC 1132 22 6132236.19.【解析】（1）A=“该选手至少套种一次则 1 3 7212 4 864P A 所以 2143116464P AP A （2）记 X 为套中的次数，则 X 的取值为 0,1,2,3 21064P X 1 1 31 1 31 3 1211+=2 2 42 4 42 4 864P X 1 1 11 1 11 1 11472+=2 2 22 4 42 2 46432P X 138P
15、X X 0 1 2 3 P 2164 2164 732 18 21217173()0123646432864E X 即该选手本次比赛平均套中 7364 次 20.【解析】（1）由表可知，该患者共 6 天的体温不低于39 C，记平均体温为 x，1(39.439.740.139.939.2+39.0)39.55 C6x 所以，患者体温不低于39 C的各天体温平均值为39.55 C.（2）在19日23日这五天中，低热体温有 3 天，所以 X 的所有可能取值为1,2,3 1232353(1)10C CP XC，21323563(2)105C CP XC,3032351(3)10C CP XC 则 X
16、的分布列为：X 1 2 3 P 310 35 110 所以3319()123105105E X （3）“抗生素 C”治疗效果最佳可使用理由：“抗生素 B”使用期间先连续两天降温 1.0 C 又回升 0.1 C，“抗生素 C”使用期间持续降温共计 1.2 C，说明“抗生素 C”降温效果最好，故“抗生素 C”治疗效果最佳抗生素 B”治疗期间平均体温 39.03 C，方差约为0.0156；“抗生素 C”平均体温 38 C，方差约为0.1067，“抗生素 C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素 C”治疗效果最佳“抗生素 B”治疗效果最佳可使用理由：（不说使用“抗生素
17、B”治疗才开始持续降温扣 1 分）自使用“抗生素 B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素 B”治疗当天共降温 0.7 C，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素 B”治疗效果最佳 （开放型问题，答案不唯一，但答“抗生素 A”效果最好不得分，理由与结果不匹配不得分，不用数据不得分）21【解析】（1）由已知 1 cosfxx 所以切线的斜率1 cos122kf 又sin12222-f，所以切线过点12 2，-所以切线方程为1yx（2）方法一：令 1xh xf xebx，则 1sin1,0,xh xeb xxx .cos1xh xexb hx的导函数 sinxhxex.因为0,x，所以 1
18、 sin0,hxxh x 在0,单调递减，当1b 时，对 0,1,00 xh xhb 所以 h x 在0,上单调递减，所以对 00,0 xh xh.当1b 时，因为 h x在0,单调递减，010hb ，当 x 时，.h x 故00,x，使00hx，且00,xx时，0,h xh x单调递增，所以 000,h xh与0 x，0h x 矛盾.所以实数b 的取值范围是1,.方法二：1+-xf xebx，当0 x 时，原不等式恒成立当0 x 时，原不等式等价于sin1sin11+xxxxex ebxx 令 sin11+xx eg xx，则 2sincos1xxx exxxegxx+令 sincos1si
19、ncos11xxxh xx exxxexxx ex+coscossin11sin+xxh xxxxx exxxe因为0 x，所以1xe ，所以 0hx，所以 h x 在区间0，+上单调递减，即 00h xh所以 0gx，即 g x 在区间0，+上单调递减由洛必达法则 000sin1limlimlim 1 cos1+xxxxxxxeg xxex 所以 1-g x，所以实数b 的取值范围是1,.22.【解析】（1）函数 lnfxxxa的定义域为0,，ln1fxx，10ex时，0fx，1ex 时，0fx，f x在10,e上单调递减，fx 在 1,e上单调递增，1x 时，0fx，10fa ，令max,
20、eba，lnln10f bbbaaa，函数 fx 恰有一个零点.函数 exg xxa的定义域为R，1exxgx，1x 时，0gx，1x 时，0gx，g x在,1 上单调递减，g x 在1,上单调递减增，0 x 时，0g x，00ga ，ee10aag aaaa，函数 g x 恰有一个零点.（2）由（1）得函数 f x 的零点为1x，且11x ，g x 的零点为2x，且20 x，则有11ln0 xxa，22e0 xxa，2112lnexxxx，12ln12lneexxxx，12lngxg x，g x 在0,上单调递增，由（1）可得11x ，20 x，1ln0 x，12ln xx，12lnxx，11e0 xxa，1 20 x xa，1 2x xa.原式得证
