1、第十三节定积分与微积分基本定理【考纲下载】1. 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2. 了解微积分基本定理的含义.1定积分(1)定积分的相关概念：在f(x)dx中，叫作积分号，a叫作积分的下限，b叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数(2)定积分的性质：1dxba；kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx.(3)定积分的几何意义：当函数f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线xa，xb，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)一般情况下，
2、定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线xa、xb之间的曲边梯形面积的代数和(如图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数2微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)F(x)，则有f(x)dxF(b)F(a)这个式子称为牛顿莱布尼茨公式通常称F(x)是f(x)的一个原函数为了方便，常把F(b)F(a)记成F(x)|，即f(x)dxF(x)|F(b)F(a)1. 与相等吗？提示：相等2一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个
3、，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算3定积分 (f(x)g(x)的几何意义是什么？提示：由直线xa，xb和曲线yf(x)，yg(x)所围成的曲边梯形的面积1(2013江西高考)若S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1S2S3 BS2S1S3CS2S3S1 DS3S2S1解析：选BS1，S2ln 2ln e1，S3e2e2.722.74.59，所以S2S10.若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.自主解答(1)由题意知二次函数f(x)x21，它与x轴
4、所围图形的面积为2 2 2.(2)作出曲线y，直线yx2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积由得交点A(4,2)因此y与yx2及y轴所围成的图形的面积为81624.(3)由题意知a2.又a2.即aa2，所以a.答案(1)B(2)C(3)利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略(1)知图形求面积首先，依据函数的图象求出解析式；其次，确立被积函数；最后，利用定积分求面积(2)知函数解析式求面积解决此类问题应分四步：画图；确定积分上、下限，即求出曲线的交点坐标；确定被积函数；由定积分求出面积(3)知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；确定积分的上、下限，确
5、定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值1曲线yx2和曲线y2x围成的图形的面积是()A. B. C1 D.解析：选A解方程组得两曲线的交点为(0,0)，(1,1)所以，即曲线yx2和曲线y2x围成的图形的面积是.2由抛物线yx21，直线x0，x2及x轴围成的图形面积为_解析：如图所示，由yx210，得抛物线与x轴的交点分别为(1,0)和(1,0)所以S2.答案：2课堂归纳通法领悟1个定理微积分基本定理利用微积分基本定理求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分互为逆运算2条结论定积分应用的两条常用结论(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积
6、分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程4条性质定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行；(4)f(x)在区间a，a上连续，若f(x)为偶函数，则2 ；若f(x)为奇函数，则0. 易误警示(四)利用定积分求平面图形面积的易错点典例(2012上海高考)已知函数yf(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)函数yxf(x)(0x1)的图象与x轴围成的图形的面积为_解题指导根据已知条件，求出
7、f(x)的解析式，然后利用定积分求解解析由题意可得f(x)所以yxf(x)与x轴围成图形的面积为.答案名师点评1.本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误2本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错3解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量曲线yx22与直线5xy40所围成的图形的面积等于_解析：由消去y，得x25x60，解得x12，x23.如图所示，当2x3时，直线5xy40在曲线yx22的上方，所以所求面积为.答案：全盘
8、巩固1已知f(x)是偶函数，且8，则()A0 B4 C6 D16解析：选D因为函数f(x)是偶函数，所以函数f(x)在y轴两侧的图象对称，所以216.2由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A. B1 C. D.解析：选D结合函数图象可得所求封闭图形的面积是sin x.3已知f(x)2|x|，则()A3 B4 C. D.解析：选Cf(x)2|x|2.4以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v4010t2，则此物体达到最高时的高度为()A. m B. m C. m D. m解析：选A由v4010t20，得t2(t2舍去)，则此物体达到最高时的高度为4028
9、 (m)5(2014德州模拟)由曲线yx2，yx3围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.解析：选A由得x0或x1，由图易知封闭图形的面积.6如图，由曲线yx2和直线yt2(0t1)，得a2ln a4ln 2，所以a2.答案：28设f(x)(e为自然对数的底数)，则的值为_解析：依题意得ln x1.答案：9曲线y在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为_解析：由题意得y，所以曲线在点(4，e2)处的切线斜率为e2，因此切线方程为ye2e2(x4)，则切线与坐标轴的交点为A(2,0)，B(0，e2)，所以SAOB|e2|2e2(O为坐标原点)答案：e210已知二次函数f(x
10、)ax2bxc，直线l1：x2，直线l2：yt28t(其中0t2，t为常数)，若直线l1，l2与函数f(x)的图象以及l1、l2、y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示(1)求a，b，c的值；(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式解：(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f(x)的最大值为16，则解得故函数f(x)的解析式为f(x)x28x.(2)由得x28xt(t8)0，x1t，x28t.0t2，直线l2与f(x)的图象的交点坐标为(t，t28t)，由定积分的几何意义知：S(t)t310t216t.11如图所示，直线ykx分抛物线yxx2
11、与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值解：抛物线yxx2与x轴两交点的横坐标为x10，x21，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S.又由此可得，抛物线yxx2与ykx两交点的横坐标为x30，x41k，所以，dx(1k)3.又知S，所以(1k)3，于是k1 1.12求曲线y，y2x，yx所围成图形的面积解：由得交点A(1,1)；由得交点B(3，1)故所求面积S.冲击名校1一物体在变力F(x)5x2(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与F(x)成30角的方向做直线运动，则从x1处运动到x2处时变力F(x)所做的功为()A. J B. J C. J D2 J解析：选C由已知条件可得，F(x
12、)所做的功为 J.2如图，设点P从原点沿曲线yx2向点A(2,4)移动，直线OP与曲线yx2围成图形的面积为S1，直线OP与曲线yx2及直线x2围成图形的面积为S2，若S1S2，则点P的坐标为_解析：设直线OP的方程为ykx，点P的坐标为(x，y)，则，即，整理得kx2x32k，解得k，即直线OP的方程为yx，所以点P的坐标为.答案：高频滚动已知函数f(x)ax2bln x在点(1，f(1)处的切线方程为y3x1.(1)若f(x)在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，求实数k的取值范围；(2)若对任意x(0，)，均存在t1,3，使得t3t2ctln 2f(x)，试求实数c的取值
13、范围解：(1)f(x)2ax，由得f(x)2x2ln x，f(x)4x，令f(x)0，得x，则函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以故实数k的取值范围为.(2)设g(t)t3t2ctln 2，根据题意可知g(t)minf(x)min，由(1)知f(x)minfln 2，g(t)t2(c1)tc(t1)(tc)，当c1时，g(t)0，g(t)在t1,3上单调递增，g(t)ming(1)ln 2，满足g(t)minf(x)min.当1c3时，g(t)在t1，c时单调递减，在tc,3时单调递增，g(t)ming(c)c3c2ln 2，由c3c2ln 2ln 2，得c33c220，(c1)(c22c2)0，此时1c3.当c3时，g(t)0，g(t)在t1,3上单调递减，g(t)ming(3)ln 2，g(3)ln 2ln 2ln 2.综上，c的取值范围是(，11，)
