1、章末综合测评(三)圆锥曲线的方程(满分:150分时间:120分钟)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()ABC1DB抛物线y24x的焦点为(1,0),到双曲线x21的一条渐近线xy0的距离为,故选B2已知椭圆C的两个焦点分别为F1(3,0),F2(3,0),点P为椭圆C上一点,且|PF1|PF2|10,那么椭圆C的短轴长是()A6B7 C8D9C设椭圆C的标准方程为1(ab0)依题意得,2a10,a5,又c3,b2a2c216,即b4,因此椭圆的短轴长是2b8,故选C3在平面直
2、角坐标系Oxy中,动点P关于x轴对称的点为Q,且2,则点P的轨迹方程为()Ax2y22Bx2y22Cxy22Dxy22B设P(x,y),Q(x,y),则(x,y)(x,y)x2y22,故选B4椭圆C:1(a0)的长轴长为4,则C的离心率为()AB CDB由椭圆C:1(a0)的长轴长为4,可知焦点在x轴上即2a4,a2.椭圆的标准方程为:1,a2,b,c,椭圆的离心率为e,故答案为B5“m3”是“曲线mx2(m2)y21为双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A当m3时,m20,mx2(m2)y211,则原方程是双曲线方程;当原方程为双曲线方程时,有m(m
3、2)0m2或m3”是“曲线mx2(m2)y21为双曲线”的充分不必要条件故选A6抛物线y24x的焦点为F,准线为l,经过点F且斜率为的直线l1与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,则AKF的面积是()A4B3 C4D8Cy24x,焦点F(1,0),准线l:x1,过焦点F且斜率为的直线l1:y(x1),将其与y24x联立,解得x3或x(舍),故A(3,2),|AK|4,SAKF424.故选C7已知双曲线C1:1(a0,b0)的一个焦点F与抛物线C2:y22px(p0)的焦点相同,C1与C2交于A,B两点,且直线AB过点F,则双曲线C1的离心率为()AB C2D1D由图形的对称性及
4、题设条件得AFx轴,且c,则p2c.不妨设交点A,代入y22px可得y1p,故A,代入双曲线方程可得1,即e21,即e21,由此可得(e21)24e2,即e212e,所以e1(负值舍去)故选D8直线yx与椭圆C:1(ab0)交于A、B两点,以线段AB为直径的圆过椭圆的右焦点,则椭圆C的离心率为()AB C1D42C直线yx与椭圆C:1(ab0)联立方程得(3a2b2)x2a2b2,设A(x0,y0),B(x0,y0),右焦点F(c,0),由0代入坐标得c2,整理得c48a2c24a40,e48e240,e1故选C二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题
5、目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分)9若方程1所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是()A若1t5,则C为椭圆B若t1,则C为双曲线C若C为双曲线,则焦距为4D若C为焦点在y轴上的椭圆,则3t5BD若方程1表示椭圆,则满足解得1t3或3t5.对于A,当t3时,此时方程为x2y22表示圆,所以A不正确;对于B,当t0,t10,此时表示焦点在x轴上的双曲线,所以B正确;对于C,当t0时,方程1所表示的曲线为双曲线,此时双曲线的焦距为2,所以C不正确;若方程1表示焦点在y轴上的椭圆,则满足解得3tb0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1,椭圆C1的上顶点为M,且0,双
6、曲线C2和椭圆C1有相同焦点,且双曲线C2的离心率为e2,P为曲线C1与C2的一个公共点若F1PF2,则下列各项正确的是()A2Be1e2CeeDee1BD因为0且|,所以MF1F2为等腰直角三角形设椭圆的半焦距为c,则cba,所以e1.在焦点三角形PF1F2中,F1PF2,设|PF1|x,|PF2|y,双曲线C2的实半轴长为a,则故xyc2,故(xy)2x2y2xyxy,所以(a)2,即e2,故,e1e2,ee2,ee1,故选BD11已知F1,F2分别是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,A为左顶点,P为双曲线右支上一点,若|PF1|2|PF2|,且PF1F2的最小内角为30,则()A双曲线
7、的离心率为B双曲线的渐近线方程为yxCPAF245D直线x2y20与双曲线有两个公共点ABD依题意得,|PF1|PF2|2a,又知|PF1|2|PF2|,|PF1|4a,|PF2|2a.又|F1F2|2c,且a0)的焦点为F,直线l的斜率为且经过点F,直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D若|AF|8,则以下结论正确的是()Ap4BC|BD|2|BF|D|BF|4ABC如图,F,直线l的斜率为,则直线方程为y,联立得12x220px3p20.解得xAp,xBp,由|AF|p2p8,得p4,所以抛物线方程为y28x.xBp,则|BF|2;|BD|,所以|BD|2
8、|BF|,|BD|BF|8,则F为AD的中点,.所以运算正确的是ABC三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中横线上)13抛物线y28x的焦点到双曲线1的渐近线的距离为_由抛物线y28x可得其焦点为(2,0),又双曲线1的渐近线方程为xy0,所求距离为d.14过直线y2与抛物线x28y的两个交点,并且与抛物线的准线相切的圆的方程为_x2(y2)216由题意知,抛物线x28y的焦点(0,2)即为圆心,圆的半径为4,则圆的方程为x2(y2)216.15椭圆1的左焦点为F,直线xm与椭圆相交于点M,N,当FMN的周长最大时,FMN的面积是_ 如图,设右焦点为F,连接MF,NF,因
9、为FMN的周长|MF|NF|MN|2a|MF|2a|NF|MN|4a|MN|MF|NF|,且|MN|MF|NF|,当M,N,F三点共线,即m1时,等号成立,所以当FMN的周长最大时,|MN|,所以FMN的面积S2.16已知椭圆M:1(ab0),双曲线N:1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为_;双曲线N的离心率为_(第一空2分,第二空3分)12如图,六边形ABF1CDF2为正六边形,直线OA、OB是双曲线的渐近线,则AOF2是正三角形,直线OA的倾斜角为,其斜率k,双曲线的离心率e12;连接F1A,正六边形的边长为c,|F1A|
10、c.由椭圆的定义得|F1A|F2A|2a,即cc2a,椭圆的离心率e21.四、解答题(本题共6小题,共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,求椭圆C的标准方程解因为椭圆的离心率为,所以e,c2a2a2b2,所以b2a2,即a24b2.双曲线的渐近线方程为yx,代入椭圆方程得1,即1,所以x2b2,xb.所以yb,则在第一象限,双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为,所以四边形的面积为4bbb216,所以b25,所以椭圆C的方程为1.18(本小题满
11、分12分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线1(a0,b0)的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交于点P,求抛物线的方程和双曲线的方程解依题意,设抛物线的方程为y22px(p0),点P在抛物线上,62p.p2,所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上,c1,即a2b21,又点P在双曲线上,1,解方程组得或(舍去)所求双曲线的方程为4x2y21.19(本小题满分12分)已知F1,F2分别为椭圆1(0b10)的左、右焦点,P是椭圆上一点(1)求|PF1|PF2|的最大值;(2)若F1PF260,且F1PF2的面积为,求b的值解(1)|PF1
12、|PF2|2100(当且仅当|PF1|PF2|时取等号),|PF1|PF2|的最大值为100.(2)SF1PF2|PF1|PF2|sin 60,|PF1|PF2|,由题意知:3|PF1|PF2|4004c2.由得c6,b8.20.(本小题满分12分)如图所示,已知抛物线C:x24y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明:动点D在定直线上;(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2.证明:|MN2|2|MN1|2为定值,并求此定值证明(1)依题意可设AB的方程为ykx
13、2,代入x24y,得x24(kx2),即x24kx80,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x28,直线AO的方程为yx,BD的方程为xx2,则交点D的坐标为.又x1x28,x4y1,则有2,即D点在定直线y2上(x0)(2)依题意,切线l的斜率存在且不等于0.设切线l的方程为yaxb(a0),代入x24y,得x24(axb),即x24ax4b0,由0得(4a)216b0,化简整理,得ba2,故切线的方程为yaxa2.分别令y2,y2,得N1,N2,则|MN2|2|MN1|24228,即|MN2|2|MN1|2为定值8.21(本小题满分12分)设M(x,y)与定点F(1,0)的距离和
14、它到直线l1:x3的距离的比是常数.记点M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程;(2)过定点F的直线l2交曲线C于A,B两点,以O、A、B三点(O为坐标原点)为顶点作平行四边形OAPB,若点P刚好在曲线C上,求直线l2的方程解(1)由题意得,则3(x1)2y2(x3)2,即2x23y26,1,故曲线C的方程为1.(2)设直线l2的方程为xmy1,P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x,得(2m23)y24my40.则y1y2,x1x2m(y1y2)22,x0x1x2,y0y1y2.P(x0,y0)在椭圆1上,1,即2m234,解得m.直线l2的方程为xy1或xy1,即xy
15、0或xy0.22(本小题满分12分)已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1,0),F2(1,0),点A在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在斜率为2的直线l,使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M,N时,能在直线y上找到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由解(1)设椭圆C的焦距为2c,则c1,A在椭圆C上,2a|AF1|AF2|2,a,b2a2c21,故椭圆C的方程为y21.(2)假设这样的直线存在,设直线l的方程为y2xt,设M(x1,y1),N(x2,y2),P,Q(x4,y4),MN的中点为D(x0,y0),由,消去x,得9y22tyt280,y1y2,且4t236(t28)0,故y0且3t3,由,知四边形PMQN为平行四边形,而D为线段MN的中点,因此D为线段PQ的中点,y0,得y4,又3t3,可得y41,点Q不在椭圆上,故不存在满足题意的直线l.