1、章末综合测评(三)圆锥曲线的方程(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()ABC1DB抛物线y24x的焦点为(1,0)，到双曲线x21的一条渐近线xy0的距离为，故选B2已知椭圆C的两个焦点分别为F1(3,0)，F2(3,0)，点P为椭圆C上一点，且|PF1|PF2|10，那么椭圆C的短轴长是()A6B7 C8D9C设椭圆C的标准方程为1(ab0)依题意得，2a10，a5，又c3，b2a2c216，即b4，因此椭圆的短轴长是2b8，故选C3在平面直
2、角坐标系Oxy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且2，则点P的轨迹方程为()Ax2y22Bx2y22Cxy22Dxy22B设P(x，y)，Q(x，y)，则(x，y)(x，y)x2y22，故选B4椭圆C：1(a0)的长轴长为4，则C的离心率为()AB CDB由椭圆C：1(a0)的长轴长为4，可知焦点在x轴上即2a4，a2.椭圆的标准方程为：1，a2，b，c，椭圆的离心率为e，故答案为B5“m3”是“曲线mx2(m2)y21为双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A当m3时，m20，mx2(m2)y211，则原方程是双曲线方程；当原方程为双曲线方程时，有m(m
3、2)0m2或m3”是“曲线mx2(m2)y21为双曲线”的充分不必要条件故选A6抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线l1与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4B3 C4D8Cy24x，焦点F(1,0)，准线l：x1，过焦点F且斜率为的直线l1：y(x1)，将其与y24x联立，解得x3或x(舍)，故A(3,2)，|AK|4，SAKF424.故选C7已知双曲线C1：1(a0，b0)的一个焦点F与抛物线C2：y22px(p0)的焦点相同，C1与C2交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线C1的离心率为()AB C2D1D由图形的对称性及
4、题设条件得AFx轴，且c，则p2c.不妨设交点A，代入y22px可得y1p，故A，代入双曲线方程可得1，即e21，即e21，由此可得(e21)24e2，即e212e，所以e1(负值舍去)故选D8直线yx与椭圆C：1(ab0)交于A、B两点，以线段AB为直径的圆过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为()AB C1D42C直线yx与椭圆C：1(ab0)联立方程得(3a2b2)x2a2b2，设A(x0，y0)，B(x0，y0)，右焦点F(c,0)，由0代入坐标得c2，整理得c48a2c24a40，e48e240，e1故选C二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
5、目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分)9若方程1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是()A若1t5，则C为椭圆B若t1，则C为双曲线C若C为双曲线，则焦距为4D若C为焦点在y轴上的椭圆，则3t5BD若方程1表示椭圆，则满足解得1t3或3t5.对于A，当t3时，此时方程为x2y22表示圆，所以A不正确；对于B，当t0，t10，此时表示焦点在x轴上的双曲线，所以B正确；对于C，当t0时，方程1所表示的曲线为双曲线，此时双曲线的焦距为2，所以C不正确；若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则满足解得3tb0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且0，双
6、曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点若F1PF2，则下列各项正确的是()A2Be1e2CeeDee1BD因为0且|，所以MF1F2为等腰直角三角形设椭圆的半焦距为c，则cba，所以e1.在焦点三角形PF1F2中，F1PF2，设|PF1|x，|PF2|y，双曲线C2的实半轴长为a，则故xyc2，故(xy)2x2y2xyxy，所以(a)2，即e2，故，e1e2，ee2，ee1，故选BD11已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|2|PF2|，且PF1F2的最小内角为30，则()A双曲线
7、的离心率为B双曲线的渐近线方程为yxCPAF245D直线x2y20与双曲线有两个公共点ABD依题意得，|PF1|PF2|2a，又知|PF1|2|PF2|，|PF1|4a，|PF2|2a.又|F1F2|2c，且a0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D若|AF|8，则以下结论正确的是()Ap4BC|BD|2|BF|D|BF|4ABC如图，F，直线l的斜率为，则直线方程为y，联立得12x220px3p20.解得xAp，xBp，由|AF|p2p8，得p4，所以抛物线方程为y28x.xBp，则|BF|2；|BD|，所以|BD|2
8、|BF|，|BD|BF|8，则F为AD的中点，.所以运算正确的是ABC三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13抛物线y28x的焦点到双曲线1的渐近线的距离为_由抛物线y28x可得其焦点为(2,0)，又双曲线1的渐近线方程为xy0，所求距离为d.14过直线y2与抛物线x28y的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为_x2(y2)216由题意知，抛物线x28y的焦点(0,2)即为圆心，圆的半径为4，则圆的方程为x2(y2)216.15椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点M，N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是_ 如图，设右焦点为F，连接MF，NF，因
9、为FMN的周长|MF|NF|MN|2a|MF|2a|NF|MN|4a|MN|MF|NF|，且|MN|MF|NF|，当M，N，F三点共线，即m1时，等号成立，所以当FMN的周长最大时，|MN|，所以FMN的面积S2.16已知椭圆M：1(ab0)，双曲线N：1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_(第一空2分，第二空3分)12如图，六边形ABF1CDF2为正六边形，直线OA、OB是双曲线的渐近线，则AOF2是正三角形，直线OA的倾斜角为，其斜率k，双曲线的离心率e12；连接F1A，正六边形的边长为c，|F1A|
10、c.由椭圆的定义得|F1A|F2A|2a，即cc2a，椭圆的离心率e21.四、解答题(本题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求椭圆C的标准方程解因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.双曲线的渐近线方程为yx，代入椭圆方程得1，即1，所以x2b2，xb.所以yb，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4bbb216，所以b25，所以椭圆C的方程为1.18(本小题满
11、分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程解依题意，设抛物线的方程为y22px(p0)，点P在抛物线上，62p.p2，所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，c1，即a2b21，又点P在双曲线上，1，解方程组得或(舍去)所求双曲线的方程为4x2y21.19(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆1(0b10)的左、右焦点，P是椭圆上一点(1)求|PF1|PF2|的最大值；(2)若F1PF260，且F1PF2的面积为，求b的值解(1)|PF1
12、|PF2|2100(当且仅当|PF1|PF2|时取等号)，|PF1|PF2|的最大值为100.(2)SF1PF2|PF1|PF2|sin 60，|PF1|PF2|，由题意知：3|PF1|PF2|4004c2.由得c6，b8.20.(本小题满分12分)如图所示，已知抛物线C：x24y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值证明(1)依题意可设AB的方程为ykx
13、2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x28，直线AO的方程为yx，BD的方程为xx2，则交点D的坐标为.又x1x28，x4y1，则有2，即D点在定直线y2上(x0)(2)依题意，切线l的斜率存在且不等于0.设切线l的方程为yaxb(a0)，代入x24y，得x24(axb)，即x24ax4b0，由0得(4a)216b0，化简整理，得ba2，故切线的方程为yaxa2.分别令y2，y2，得N1，N2，则|MN2|2|MN1|24228，即|MN2|2|MN1|2为定值8.21(本小题满分12分)设M(x，y)与定点F(1,0)的距离和
14、它到直线l1：x3的距离的比是常数.记点M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过定点F的直线l2交曲线C于A，B两点，以O、A、B三点(O为坐标原点)为顶点作平行四边形OAPB，若点P刚好在曲线C上，求直线l2的方程解(1)由题意得，则3(x1)2y2(x3)2，即2x23y26，1，故曲线C的方程为1.(2)设直线l2的方程为xmy1，P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x，得(2m23)y24my40.则y1y2，x1x2m(y1y2)22，x0x1x2，y0y1y2.P(x0，y0)在椭圆1上，1，即2m234，解得m.直线l2的方程为xy1或xy1，即xy
15、0或xy0.22(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)设椭圆C的焦距为2c，则c1，A在椭圆C上，2a|AF1|AF2|2，a，b2a2c21，故椭圆C的方程为y21.(2)假设这样的直线存在，设直线l的方程为y2xt，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由，消去x，得9y22tyt280，y1y2，且4t236(t28)0，故y0且3t3，由，知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点，y0，得y4，又3t3，可得y41，点Q不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l.