小学数学讲义秋季六年级秋季超常讲义第4讲数论中的规律.pdf

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1、1第 11 级下超常体系教师版第四讲漫画释义六年级暑期数论中的最值六年级暑期数论中的计数六年级秋季数论中的规律六年级秋季神奇的九六年级秋季进位制总结整除规律并归纳其他数的整除及数论内部知识体系综合知识站牌第四讲数论中的规律2第 11 级下超常体系教师版观察下列各个数列，你能快速说出每组数列中的下一个数是多少吗？1,2,4,8,16,32，1,1,2,3,5,8,13，1,11,21,1112,3112,211213，相信大家能秒杀前两个数列，原因是大家对前两个数列很熟悉，或者说已经知道了前两个数列的规律，但第 3 个数列大家也能秒杀，只是很少人能秒杀，原因是大家很难发现这个数列的规律，下面我把

2、这个规律告诉大家，相信你也能秒杀，第一个数几个 1？1 个 1，简记为：11。即为第二个数；第二个数几个 1？2 个 1，简记为：21。即为第三个数；第三个数几个 1 几个 2？1 个 1、1 个 2，简记为 1112。即为第四个数；因此横线填 312213。相信大家能秒杀横线后面的数了吧，通过上面练习，我们发现只要掌握数列规律，就能进行秒杀，如果我们也能掌握数论中相关规律，是否也可以进行秒杀呢，下面我们就来学习数论中的规律。1.总结并归纳数论中的相关规律2.会用数论中相关规律解决相关数论问题1.975935972，要使这个连乘积的最后 4 个数字都是 0，那么在方框内最小应填什么数？【分析】

3、积的最后 4 个数字都是 0，说明乘数里至少有 4 个因数 2 和 4 个因数 597555 39 ，9355 187，97222243，共有 3 个 5，2 个 2，所以方框内至少是 22520 2.从 50 到 100 的这 51 个自然数的乘积的末尾有多少个连续的 0？【分析】首先，50、60、70、80、90、100 中共有 7 个 0其次，55、65、85、95 和任意偶数相乘都可以产生一个 0，而 75 乘以偶数可以产生 2 个 0，50 中的因数 5 乘以偶数又可以产生 1个 0，所以一共有141247个 03.若四位数 9 8a a 能被 15 整除，则a 代表的数字是多少？【

4、分析】因为 15 是 3 和 5 的倍数，所以 9 8a a 既能被 3 整除，也能被 5 整除能被 5 整除的数的个位数字是 0 或 5，能被 3 整除的数的各位数字的和是 3 的倍数当0a 时，9817aa，不是 3 的倍数；当5a 时，9827aa，是 3 的倍数所以，a 代表的数字是 54.六位数 2008能被 99 整除，是多少？知识点回顾教学目标课堂引入3第 11 级下超常体系教师版第四讲【分析】根据一个数能被 99 整除的特点知道：208=28是 99 倍数，所以=9928=715.两个四位数275A和275B 相乘，要使它们的乘积能被 72整除，求

5、A 和B.【分析】考虑到728 9，而275A是奇数，所以275B 必为 8 的倍数，因此可得2B；四位数 2752各位数字之和为275216不是3 的倍数也不是9 的倍数，因此275A必须是9 的倍数，其各位数字之和27514AA能被 9 整除，所以4A.6.已知数298329832983298302n个能被 18 整除，那么 n 的最小值是多少？【分析】1892，由题知298329832983298302n个能被 9 整除，那么其各位数字之和 222n 是 9 的倍数，即222182(21)nnn是 9 的倍数，当4n 时满足条件，所以 n 的最小值是 4.一、整除规律：(1)看末位判断整

6、除：一个数能否被 2，5 整除，只需看这个数的末尾是不是 2，5 的倍数；判断一个数能否被 4，25 整除，只需要看其末两位是不是 4，25 的倍数；判断一个数能否被 8，125 整除，只需要看末三位是不是 8，125 的倍数。可以不断的延续下去。2，5 家族中有很多的成员。判断余数：看一个数被 2，5 除的余数只需看末位被 2，5 除的余数；看一个数被 4，25 除的余数只需看末两位被 4，25 除的余数即可；以此类推。(2)看数字和3，9 家族判断整除：一个数能否被 3，9 整除，只需看这个数的各个数位上的数字和是否是 3，9 的倍数即可。判断余数：一个数被 3 除的余数，等于这个数的各个

7、数位上的数字和被 3 除的余数。同样的，一个数被 9 除的余数，等于这个数的各个数位上的数字和被 9 除的余数。长 9 家族（99，999，9999）判断整除：一个数能否被 99，999，9999整除，把这个多位数从个位开始两位，三位，四位一截，然后把这些两位数，三位数，四位数相加，相加的和能被 99，999，9999整除，那么这个多位数就能被 99，999，9999整除。一位一截，看差11一个数能否被 11 整除，从个位开始算第一位，把所有处于奇数位上的数字加起来，所有处于偶数位上的数字加起来，然后奇数位和与偶数位和相减（以大减小）所得的差如能被 11 整除，则这个数就能被 11 整除。7，

8、11，13 家族判断整除：一个多位数能否被 7 整除，只需看把这个数从个位开始三位一截，然后标上奇偶数位，把奇数位上的三位数加起来，偶数位上的三位数加起来，然后两个和相减（以大减小），最后看差能否被 7 整除即可。11 和 13 的判断方法也是如此。经典精讲4第 11 级下超常体系教师版二、求一组分数的最大公因数和最小公倍数先把带分数化成假分数，其他分数不变；a)最大公因数：求出各个分数的分母的最小公倍数 a；求出各个分数的分子的最大公因数 b；ba即为所求。b)最小公倍数：求出各个分数分子的最小公倍数 a；求出各个分数分母的最大公因数 b；ab 即为所求。三、猫捉老鼠的规律当老鼠排成一条直线

9、时，规则为猫从第一个位置开始吃，隔一个吃一个，最后剩下的一只老鼠为第2n 只（且保证2n 尽量的大，但不超过总只数）；规则为猫从第一个位置开始吃，隔一个吃两个，最后剩下的一只老鼠为第3n 只。依次类推当老鼠排成一个圆圈时，规则为隔一个吃一个，当老鼠个数是2n 时，最后剩下的一只老鼠便是开始吃掉第一只前面的那只老鼠，当老鼠个数不是2n 时，我们可以减去若干个数后变为2n，再用规律找到最后一个。模块一：整除的相关规律例 1：探索 7、11、13 整除规律例 2：探索 9、99、999 的整除规律例 3：探索多个数相乘末尾连续个“0”的规律例 4：试除法的综合运用模块二：整除以外的相关规律例 5：分

10、数的因数倍数规律例 6：猫捉老鼠的规律模块三：数论规律的综合运用例 7、例 8以多位数142857314275 为例，说明被7、11、13 的整除规律.（学案对应：超常 1，带号 1）【分析】142857314275142 1000000000857 1000000314 10002751421000000001 185799999913141001 1275()()()142 1000000001 142857999999857314 1001314275142 1000000001 857 999999314 1001857142275314()()因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一

11、个括号内的数能被 7、11、13 整除，再根据整除性质1，要判断142857314275 能否被 7、11、13 整除，只需判断857142275314能否被 7、11、13 整除，因此结论得到说明.例 1例题思路5第 11 级下超常体系教师版第四讲（2011 年学而思杯总决赛高年级试题）2011620116000学而思杯学而思杯学而思杯学而思杯是99的倍数，是101 的倍数，那么“学”+“而”+“思”+“杯”等于。（学案对应：带号 2）【分析】因为 99 和 101 互质，所以原数是 9999 的倍数。因此9999|2011620116000学而思杯学而思杯学而思杯学而思杯，所以9

12、999|(20116420116000)学而思杯，即9999|(48129)学而思杯，因为 8129 被 4 除余 1，9999 被 4 除余 3，所以481299999 3学而思杯，所以5467学而思杯，数字和为 22。一个七位数2058xyz 能同时被 2、3、4、5、6、7、8、9 整除，则 xyz。（学案对应：超常 2）【分析】试除法：2 3 4 5 6 7 8 92520,，205800025208161680，所以这个七位数为2058000(25201680)2058840，则84012xyz。已知：23!258 20 67388849766000DCAB则 AB

13、CD（学案对应：超常 3，带号 3）【分析】由于 123 中有 4 个 5 的倍数，所以 23!的末尾有 4 个 0，所以0B 由于 23!2 5 10 15 8 2010000 8 3MM (M 为正整数)，所以258 20 67388849766000DCAB去掉末尾的 4 个 0 后得到的数是 8 的倍数，那么66A 是 8的倍数，所以4A 易知 258 20 673888497664DC是9 和11的倍数，也就是 99的倍数，所以6476498838672582CD是 99 的倍数即444DC是 99 的倍数，所以51DC，得1C，5D，所以401 5=2005ABCD

14、例 4例 3例 26第 11 级下超常体系教师版3 条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙 3 人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时，3 人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长 15 千米，中圈跑道长 14 千米，外圈跑道长 38 千米.甲每小时跑 13 2 千米，乙每小时跑 4 千米，丙每小时跑 5 千米.问他们同时出发，几小时后，3 人第一次同时回到出发点?【分析】甲跑完一圈需 11235235小时，乙跑一圈需 114416小时，丙跑一圈需 335840小时，他们同时回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为 235，116，340 的倍数，即为它们的公倍数而2,1,3213

15、6,635 16 4035,16,401.所以，6 小时后，3 人第一次同时回到出发点.大家都看过“猫和老鼠”这部动画片吧，一天,汤姆（Tom)特别高兴，因为他终于抓到杰瑞（Jerry）了，并且还抓到了杰瑞的100个朋友，汤姆准备把他们分别关在从左到右编号为1,2,3,101的笼子里，然后排成一排，汤姆想逗逗杰瑞，于是对杰瑞说：“我从1号开始吃，每次都是每隔一个吃掉一个，吃到最右边后，再返回左边继续吃，依次下去，你自己选个笼子，如果最后剩下的一个是你，你就可以走了”.同学们你们能帮杰瑞选个笼子逃生吗？你发现了什么规律？上次杰瑞终于侥幸逃跑了，可是有一天杰瑞不幸又被汤姆抓到了，而且还抓到杰瑞的3

16、1 个朋友，汤姆真厉害！汤姆准备把他们分别关在编号为1,2,3,32的笼子里，然后围成一圈，并对杰瑞说：“上次你侥幸逃跑了，这次我把你们围成一圈，我还是从1号开始吃，每隔一个吃掉一个，依次下去，你自己选个笼子，如果最后剩下的一个还是你，你还可以走”.同学们这次你们还能帮杰瑞逃生吗？你发现了什么规律？例 6例 5数论的作用目前数论的最主要应用在数据编码和密码学上。举个例子，我们现在上网，可能要网络交易。网络交易要保证安全，就要有数字身份验证、数字签名、加密通讯，这些全都需要数论的知识。大名鼎鼎的 RSA 公钥加密系统，其实质就是利用了整数乘法相对容易而因子分解十分困难这一事实，如果数论发展使因子

17、分解的计算变得简单，那么这种加密方式即会失效。另外，在数学领域本身，数论也是各种数学手段的“实验田”。任何新颖的数学想法、手段，都可以在数论领域试试身手，反过来数论的研究也刺激着数学其他领域的研究（Fermat 大定理就是一个显著的例子，它被称为下金蛋的鸡）。从这个角度看，即使不直接应用，数论的研究也是很有意义的。7第 11 级下超常体系教师版第四讲杰瑞已侥幸逃跑两次了，可是天有不测风云，杰瑞再一次不幸被汤姆抓到了，而且还抓到杰瑞的300个朋友，汤姆太强悍了！汤姆不信杰瑞这次还能逃跑，于是还是定了第二次的规则，同学们这次杰瑞还能侥幸逃跑吗？如果能逃跑的话，杰瑞应选几号笼子才能逃生呢？如果汤姆抓

18、到杰瑞且还抓到杰瑞的 80 个朋友，从1号、2 号开始吃，但是每隔一个吃掉两个，依次下去.你还能帮杰瑞逃生吗？你发现了什么规律？如果把（4）中的 80 个朋友改为 300 个朋友，其他条件都不变，结果如何？（学案对应：超常 4，带号 4）【分析】第一次吃到右边剩下老鼠的编号为2,4,6,100，第二次吃到最右边剩下的是 4 的倍数，依次下去，因此杰瑞应选101以内 2n 最大的数.即64.，所以杰瑞应该选编号为64 的笼子才可以逃生.先对8 只老鼠分别编号1,2,3,8，1号老鼠被猫吃掉，2 号鼠生存下来；3 号老鼠被猫吃掉，4 号老鼠生存下来.就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另一只老鼠，依

19、次下去，最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？通过画图尝试发现，最后剩下的是 8号老鼠，如果是16只老鼠或 32只老鼠，还是按上述规则编号，最后剩下的是16 号老鼠、32号老鼠.因此规律是如果有 2n 只老鼠，每隔一个吃掉一个，最后剩下的那只老鼠的编号是被吃掉的第一只老鼠编号的前一个编号.1号老鼠被猫吃掉，2 号鼠生存下来；3 号老鼠被猫吃掉，4 号老鼠生存下来.就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另一只老鼠，依次下去，最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？为了解决这道题，我们首先得找到这道题和上题的不同之处：老鼠的只数不是2n 的形式，因为82256，所以应先吃掉 30125645只，吃掉第 45 只老鼠

20、的编号为452189，第 46 只被吃掉老鼠的编号是91，因此杰瑞应该选编号为 90的笼子.先假设有9 只老鼠，分别编号1,2,3,9，1 号、2 号老鼠被猫吃掉；3 号老鼠生存下来，4 号、5 号老鼠被猫吃掉.就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另两只老鼠，依次下去，最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？通过画图尝试发现，最后剩下的是 9 号老鼠，如果是27 只老鼠、81只老鼠，还是按上述规则编号，最后剩下的分别是 27 号、81号老鼠.因此规律是如果有 3n 只老鼠，每隔一个吃掉两个，最后剩下的那只老鼠的编号是被吃掉的第一只老鼠编号的前一个编号.因为53243，所以应先吃掉 30124

21、358只，吃掉第 58 只老鼠的编号为5823 186，第59 只被吃掉老鼠的编号是88，因此杰瑞应该选编号为87 的笼子.（2008 年学而思杯六年级数学试题）a，b，c，d 各代表一个不同的非零数字，如果 abcd 是13 的倍数，bcda 是11的倍数，cdab 是9的倍数，dabc 是7 的倍数，那么 abcd 是。【分析】由于 cdab 是9 的倍数，说明其各位数字之和能被 9 整除；由于 abcd 与 cdab 的各位数字之和相同，所以 abcd 也是 9 的倍数；由于 bcda 是11的倍数，那么其奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，也就是 ac与bd的差

22、能被11整除，而abcd 的奇位数字之和与偶位数字之和分别为bd和 ac，差能被11整除，恰好与bcda 互换了一下，可知 abcd 的奇位数字之和与偶位数字之和的差也能被11整除，也就是abcd 是11的倍数；又根据题意，abcd 是13 的倍数，那么 abcd 是9，11，13 的公倍数，也就是9,11,131287的倍数，又是四位数，可能为1287，2574，3861，5148，6435，7722，9009，其中 7722 和9009 出现重复数字，可予排除由于 abcd 是7 的倍数，说明 abcd是7 的倍数，对1287，2574，3861，5148，6435，一一进行检验，发现只有

23、3861 满足这一点，所以 abcd 是3861。例 78第 11 级下超常体系教师版有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 1 号到 15 号。1 号同学写了一个自然数，2 号说：“这个数能被 2 整除。”3 号说：“这个数能被 3 整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除。1 号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对。问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1 号写的数是五位数，请求出这个数【分析】1.我们发现，拿编号15 来说，能被15 整除就一定能被3 和5 整除，能被3 和5 同时整除就一定能被15 整除，

24、我们简单的记作5315和，所以说，如果这个数不能被15 整除就不能同时被3 和5 整除。所以，这两位同学的编号一定不是5,3,15。同样的道理，类似的还有7214和，4312和，5210和，326和。所以两位同学的编号一定不是15,14,12,10,7,6,5,4,3,2。剩下有可能不对的编号为13,11,9,8，由于这两个编号是连续的，所以是8 和9。2.由上一道题我们知道这个五位数可以被15,4,3,2整除（不包括8和 9），那么这个五位数分解质因数我们可以很轻松的得到131175322，计算可得 60060。一、长 9 家族（99，999，9999）一个数能否被 99，999，9999整

25、除，把这个多位数从个位开始两位，三位，四位一截，然后把这些两位数，三位数，四位数相加，相加的和能被 99，999，9999整除，那么这个多位数就能被 99，999，9999整除。例 8知识点总结求一个七位质数,满足它的末 6 位数字相同.答案：2999999，49999999第 11 级下超常体系教师版第四讲二、分数的最大公因数和最小公倍数(,)(,),a ba bc dc d，,(,)a ba bc dc d三、猫捉老鼠隔一个吃一个的规律：当老鼠排成一个圆圈时，规则为隔一个吃一个，当老鼠个数是 2n 时，最后剩下的一只老鼠便是开始吃掉第一只前面的那只老鼠，当老鼠个数不是 2n 时，我们可以减

26、去若干个数后变为 2n，再用规律找到最后一个。1.已知五个数依次是16，24，15，25，20 它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数请问最后这个数从个位起向左数，可以连续地数到几个 0?2025152416因子5的个数10564133101511200因子2的个数451323102037182003【分析】几个整数的乘积，如果要确定它后面的几个 0，可以用这样的办法：把每个乘数分解质因数，把分解中 2 的重数加起来，5 的重数也加起来，看哪一个小，哪一个就是乘积尾部 0的个数我们可以分别计算质因数 2 和 5

27、的重数为此我们画两个图由图可知最后乘积中含有 18 个因数 2，15 个因数 5，所以末尾有 15 个 0。2.123456789101112131420082009 除以 9，商的个位数字是。【分析】首先看这个多位数是否能被 9 整除，如果不能，它除以 9 的余数为多少。由于任意连续的 9 个自然数的和能被 9 整除，所以它们的各位数字之和能被 9 整除，那么由于 200992232，所以 123456789101112131420082009 这个数除以 9 的余数等于20082009（或者 12）除以 9 的余数，为 3.那么 123456789101112131420082009 除

28、以 9 的商，等于这个数减去 3 后除以 9 的商，即 123456789101112131420082006 除以 9 的商，那么很容易判断商的个位数字为 4.附加题10第 11 级下超常体系教师版3.对怎样的最小值 n，数122221n个2被9999个9整除？【分析】设122221nA 个2，999B 9个9，根据 A、B 的特征可对 A、B 进行分解：因为111111011111 111nnnA个1个1个1，9 111B 9个1，根据条件19 111|11 111n 9个1个1注意到111 1119个1（，），根据整除的性质，为使 A 被 B 整除，必须且只需算式11119 111n 个

29、19个1是一个整数，这就说明了两点：算式1111111n 个19个 1也是一个整数，所以 199808011111111110011001111111nk 个1个1个1个个个19个19个1 算式 808010011001k个个个1的数字之和应是 9 的倍数，这说明对于最小值 n，9k 综上所述，99180n 4.试求105253168的末两位数【分析】分别考虑这两个幂除以 4 和 25 所得的余数首先考虑 4，253 除以 4 余数是 1，所以 25310 除以 4 的余数仍是 1；168 是 4 的倍数，它的 5 次方仍是 4 的倍数，即除以 4 的余数为 0，则原数除以 4 的余数也是 0

30、再考虑 25，253 除以 25 余 3，则只需看 310 除以 25 的余数，又 310=2727273，则310除以 25 的余数为 2223=24；168 除以 25 余 18，则只需看518324324 18除以 25的余数，可知余数为 18；又 24 18432除以 25 的余数为 7，所以原式除以 25 的余数即为7两位数中，能被 4 整除，除以 25 余 7 的数只有 32，则原式的末两位即为 325.有一叠 300 张卡片，从上到下依次编号为 1300，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片拿掉，把下一张卡片放在这一叠卡片的最下面；再把最上面的依次重复这样

31、做，直到手中剩下一张卡片那么剩下的这张卡片是原来 300 张卡片的第几张？【分析】当有82562（张）卡片时，第一轮过后剩下的是 2 的倍数号卡片，第二轮过后剩下的是22的倍数号卡片第 8 轮过后，剩下的是82 的倍数号卡片，即就剩下 1 张卡片，是第 256号卡片现在有 300 张卡片，如果拿掉30025644（张）卡片，剩下 256 张卡片，那么就变为上述的情况了拿掉的第 44 张卡片是编号为442187（号）的卡片，此时剩下 256 张卡片，下一个要拿掉的是第 89 号卡片，第 88 号是最后一张所以，剩下的这张卡片是原来的第 88 张6.分别在3 3 的方格表的每个小方格内填入不同的数

32、码，使得(1)ABC 是8 的倍数且0A、0B、0C；(2)123DEFn，其中 n是正整数；(3)GHJ 为三个连续质数的乘积；11第 11 级下超常体系教师版第四讲(4)ADG 是11的倍数且000ADG、(5)2mBEH 其中 m 是正整数；(6)CFJ 是11的倍数。第11题JHGFEDCBA请问 ABCDEFGHJ 之值为何？【分析】由于1 23424，1 2345675040，而 DEF 是一个三位数，所以5n 或6，无论 n取何值，20EF 都是一定的。因为6264，1021024，所以7m、8、9 之一，当7m 时，128BEH；当8m 时，256BEH，与2E 不符，舍去；当

33、9m 时，512BEH，也与2E 不符，舍去。故只有7m 时，128BEH 符合要求。因为 23 530，7 11 131001不是三位数，所以GHJ 等于357105或57 11385。因为8H，所以 GHJ 等于385。因为CFJ 是11的倍数，所以505CJFCC是11的倍数，所以6C。因为 ABC 是8 的倍数，即 16A是8 的倍数，所以 A 是偶数，0 9 中剩下的偶数只有 4，所以4A。因为 ADG 是11的倍数，所以437AGDDD是11的倍数，所以7D。所以416720385ABCDEFGHJ。7.甲、乙两人进行下面的游戏：两人先约定一个自然数 N，然后由甲开始，轮流把 0，

34、1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个数字中的一个填入图中的某个方格中，每一方格只能填一个数字，但各方格所填的数字可以重复当 6 个方格都填有数字后，就形成一个六位数如果这个六位数能被 N 整除，那么乙获胜；如果这个六位数不能被 N 整除，那么甲获胜设N 小于 15，问当 N 取哪几个数时乙能取胜?【分析】当 N 取 2，4，6，8，10，12，14 这 7 个偶数时，当甲将某个奇数放到最右边的方格中，则这个六位数一定是奇数，奇数显然不能被偶数整除，所以此时乙无法取胜；而当 N 取 5 时，当甲在最右边的方格内填入一个非 0 非 5 的数字时，则这个六位数一定不能被 5 整除，所以此

35、时乙无法获胜：此时还剩下 1，3，7，9，11，13 这 6 个数，显然当 N 取 l 时，乙一定获胜；当 N 取 3 或 9 时，只要数字和对应是 3 或 9 的倍数时，这个六位数就能被对应的 3 或 9 整除，显然乙可以做到；当 N 取 7，1l 或 13 时，只要前三位数字和与后三位数字和的差对应是 7，11，13 的倍数时（可以让前三位与后三位的数相同），这个六位数就对应是 7，11，13 的倍数，乙可以做到于是，当 N 取 1，3，7，9，11，13 时，乙适当的操作能保证自己一定获胜12第 11 级下超常体系教师版8.有 4 个不同的数字共可组成 18 个不同的 4 位数，将这 1

36、8 个不同的 4 位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数，则这 18 个数中最大的数是【分析】4 个数字组成 18 个数，33183P，故必有一个 0设 4 个数字为0abc，则 0a bc，0cb a 都是完全平方数001001()1100(mod11)a bccb aacb而完全平方数被 11 除的余数只有 0，1，4，9，5，3，因此 000(mod11)a bccb a，于是容易得到：2108933，2980199所以，最大为 98011.以多位数142857 为例，说明“一个多位数的各个数位上的数字之和能被 9 整除，那么这个多位数能被9 整除.”

37、【分析】1428571 1000004 100002 10008 1005 107 1 11999994199992199981995197 1 ()()()()()1 999994 99992 9998 995 9142857 ()()因为根据整除性质1，等式右边第一个括号内的数能被9 整除，再根据整除性质1，要判断142857 能否被9 整除，只需判断142857能否被9 整除，因此结论得到说明.2.201919191919个除以 99 的余数是多少？【分析】由于10099aaa，所以100a 除以 99 的余数等于 a 除以 99 的余数同样，10000a，1000000a 等数除以 9

38、9 的余数等于 a 除以 99 的余数可知，一个自然数a，如果在它后面加上偶数个 0，那么这个数除以 99 的余数等于a 除以 99 的余数本题中，从个位数字开始，每两位一节，可以把201919191919个分成 20 节，每节都是 19，这样，201919191919个除以 99 的余数，就等于2019191919191920380个除以 99 的余数；再用前面的方法，把 380 从个位开始分为两节：3 和 80，所以 380 除以 99 的余数等于38083也就是说201919191919个除以 99 的余数是 833.（首届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛决赛试题）一个六位数3434

39、ab能同时被 8和 9 整除。已知 a+b=c，求 c 的值。【分析】方法一整除分析法：六位数能被 9 整除，所以 9|(3+4+34)ab，于是4(mod9)ab，又因为018ab，所以4ab或 13，得到三位数4ab 的可能值有 440，422，404，494，476，458。经筛选，只有 440 能被 8 整除。所以40ab，因此404c。方法二试除法：因为8972，所以这个六位数是 72 的倍数。343400 除以 72 的余数为 32，所以家庭作业13第 11 级下超常体系教师版第四讲343400+40=343440 能被 72 整除。所以404c。4.已知 21!0909421

40、717094000ABCD，那么四位数 ABCD 是多少？【分析】由于 121 中有 4 个 5 的倍数，所以 21!的末尾有 4 个 0，所以0D 由于 21!2 5 10 15 8 2010000 8 3MM (M 为正整数)，所以0909421717094000ABCD去掉末尾的 4 个 0 后得到的数是 8 的倍数，那么 94C 是 8 的倍数，所以4C 由于该数既是 9 的倍数，又是 11 的倍数。则该数必然为 99 的倍数。则有：0449 17174299147ABAB 为 99 的倍数。所以51AB。则该四位数 ABCD 为 5140。5.已知一个苹果重 415 千克，一个梨重

41、524 千克，且苹果和梨的总重量相同，求最少有几个苹果和几个梨？【分析】方法一：根据上述分析本题实质上是求 415 和 524 的最小公倍数根据求分数最小公倍数的方法知道这个数是 4 515 24，（，）203所以苹果和梨的总重量都是 203 千克，因此苹果个数是 20425315个，梨的个数是20532324个。方法二：设苹果有 x个，梨有 y 个所以 451524xy，推出:25:32x y 故 x 最小是 25，y 最小是 32。44202515153x 所以总重量是 203千克。上面两个方法一个是直接使用分数最小公倍数的公式（请同学们自己想一想这个公式为什么成立）另一个是列方程6.把

42、12013 这 2013 个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从 1 开始沿顺时针方向，保留 1，擦去 2；保留 3，擦去 4；(每隔一个数，擦去一个数)，转圈擦下去求最后剩的是哪个数？【分析】本题中，因为1021024，1122048，所以1011220132，且20131024989，就是说，要剩102个数，需要擦去 989 个数，按题意，每两个数擦去一个数，当擦第 989 个数时，擦的数是 98921978,下一个起始数是 1979，那么最后剩的就应该是 19797.（第二届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛笔试一）一个五位回文数，它是 7 的倍14第 11 级下超常体系教师版

44、数除以 2 余 1；这个数除以3 余 2。”乙说：“这个数除以 4 余 3；这个数除以 5 余 4。”丙说：“这个数除以 6 余 5；这个数除以 7 余 6。”丁说：“这个数除以 8 余 7；这个数除以 9 余 8。”老师说每位同学都只说对了一半，请问这个两位数是多少？【分析】我们观察到，如果这8 句话全对，那么我们设这个数为 x，则1x能被9,8,7,6,5,4,3,2同时整除。但是我们知道，这是不可能的。我们用假设法：假设1x能被9 整除，则1x不能被8整除；则1x就能被3 整除，则1x就不能被 2 整除；而且1x也不能被 4 整除，则1x就能被5 整除；这样1x就不能被 6 整除，则1x

45、就能被7 整除。这样的话1x能被9,7,5,3整除，1x最小为315，这不是一个两位数，所以这是不可能的。那么我们知道1x不能被9 整除，则1x能被 8整除；则1x不能被3 整除，1x能被 2 整除；则1x不能被 6 整除，1x能被 7 整除；则1x不能被5 整除，1x能被 4 整除。这样的话1x能被8,7,4,2整除，1x最小为56，所以55x。【超常班学案1】（2009 年“数学解题能力展示”读者评选活动小学五年级组初赛试题）将数字 4，5，6，7，8，9 各使用一次，组成一个被 667 整除的 6 位数，那么，这个 6 位数除以 667的结果是【分析】注意到45678939是 3 的倍数

46、，因此这个 6 位数一定被 3 整除继而，这个六位数一定是 66732001的倍数设这个六位数为 abcdef，显然 abcdef 除以 2001的结果是一个三位数，且这一个三位数一定是 def 于是，2abcdef由百位数字知，9a，超常班学案15第 11 级下超常体系教师版第四讲4d 接着由个位数字知，6c，8f 从而，可以确定956abc，478def，956478abcdef 因此，6679564786671434abcdef 综上所述，这个 6 位数除以667 的结果是1434【超常班学案2】在 523后面写出三个数字，使所得的六位数被 7、8、9 整除那么这三个数字的和是_【分析】

47、7、8、9 的最小公倍数是504，所得六位数应被504整除5240005041039344，所以所得六位数是 524000344523656，或523656504523152因此三个数字的和是 17 或 8【超常班学案3】11个连续两位数的乘积能被 343整除，且乘积的末4 位都是 0，那么这11个数的平均数是多少？【分析】因为 343777，由于在11个连续的两位数中，至多只能有 2 个数是 7 的倍数，所以其中有一个必须是 49 的倍数，那就只能是49 或98又因为乘积的末 4 位都是 0，就是说这连续的 11 个自然数应该“含有”4 个 5连续的 11 个自然数中至多只能有

48、 3 个是 5 的倍数，至多只能有 1 个是 25 的倍数，所以其中有一个必须是 25 的倍数，那么就只能是 25、50 或 75可以发现，25 与 49 相差太远，98 与 75 相差太远，只能是 49 与 50 比较接近，所以 49 和50 都在这 11 个数中由于其中有 3 个是 5 的倍数，所以这 11 个数中最大的、中间的和最小的都是 5 的倍数，既然 50 不是最小的，那可能是最大的或中间的如果 50 是最大的，则这 11 个数为 4050，满足题意；如果 50 是中间的数，则这 11 个数为 4555，此时其中只有 49 一个数是 7 的倍数，不合题意所以这 11 个数是 40，

49、41，42，43，44，45，46，47，48，49，50它们的平均数即为它们的中间项 45【超常班学案4】（2008 年“数学解题能力展示”读者评选活动）在纸上写着一列自然数 1，2，98，99。一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把三个数和写在数列的最后面。例如第一次操作后得到 4，5，98，99，6；而第二次操作后得到 7，8，98，99，6，15。这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是。【分析】第一轮：划了 33次，在后面写上 6，15，24，294，一共33 个数。第二轮：划了11次，在后面写上45，126，207，855，共11个数。设这11个数为：1a，

50、2a，3a，11a。接下去的数是：123()aaa，456()aaa，789()aaa，1011123()aaaaa，1011123456789()aaaaaaaaaaa。最后一个数为：(199)9949502。16第 11 级下超常体系教师版【123班学案1】把数字 1 到 9 各使用一次，组成一个被 555667 整除的 9 位数，这个 9 位数是_【分析】由于这个九位数的各位数字之和为 45，是 9 的倍数，所以该 9 位数 abcdefghi 一定被 9 整除，而 555667 不被 3 整除，所以该 9 位数一定能够被55566795001003整除9 位数 abcdefghi 除以

51、 5001003 的商显然小于 200，考虑这个商与 5001003 的乘法竖式，可以发现:5:1:3abc defghi 显然5c，1d ，f 和i 都是奇数假设3f ，则9i，由3ghidef得35g，所以4g，根据3ghidef 中的进位，可知 36e，所以6e，这样163 3489，1635815，出现重复数字，不符合题意；假设7f，则1i ，出现重复数字，不符合题意；假设9f，则7i，因为 g 不能再等于 5，所以3500ghidef，由此得到6e，依次尝试2e，3，4，6，发现只有2e 符合：1293387，1295645所以所求的 9 位数为 645129387【123班学案2】

52、已知 82 位数 88880 个8学学被9999个9整除，则“学”=【分析】根据被9999个9整除规律，应该是9位一段，求和，因此有 8999888888888888个8个8个8个8学学和是 9999个9倍数，因此当+=8学学时，恰好是9999个9倍数，因此“学”=4【123班学案3】1 351991 的末三位数是多少？【分析】首先，由于要求末三位数字，可以仅考虑后三位数字，也就是考虑这个数除以 1000 的余数，由于10008 125，而题中这个数肯定是 125 的倍数，那么如果能知道这个数除以 8 的余数，也就可以知道它除以 1000 的余数了由于这个数是奇数

53、数列 1，3，5，7，9，11，1991 的乘积，而 9 与 1、11 与 3除以 8 的余数相同，所以如果将这个数列每 4 个分为一组：(1，3，5，7)，(9，11，13，15)，那么每组中的 4 个数的乘积除以 8 的余数是相同由于 11991 共有 996 个数，所以恰可以分成 9964249组第一组中 4 个数的乘积为1 357105，除以 8 的余数为 1，所以每组中 4 个数的乘积除以 8 的乘积也都是 1，这样 249 组数的总乘积除以 8 的余数也是 1由于末三位是 125 的奇数倍，可能为 125，375，625，875，它们除以 8 的余数分别为 5、7、1、3，只有 6

54、25 除以 8 的余数为 1，所以原题中乘积的末三位数字为 625123 班学案17第 11 级下超常体系教师版第四讲【123班学案4】（2008 年“数学解题能力展示”读者评选活动）在纸上写着一列自然数 1，2，98，99一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面例如第一次操作后得到 4，5，98，99，6；而第二次操作后得到 7，8，98，99，6，15这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，最初的 99 个数连同后面写下的数，纸上出现的所有数的总和是【分析】从简单的情况入手找规律(1)若纸上只写有 1，2，3 则一次操作即可为 1，2，3，6；(2)若纸上

55、只写有 1，2，3，8，9 则操作四次即可为 1，2，3，7，8，9，6，15，24，45显然，当数的个数为3n 个时，划13n 次，划去了前3n 个，写上了13n 个，继续如此划下去，最终变成 1 个并且，个数由3n 变成13n 时，3n 个数的和与13n 个数的和相等对于 1，2，97，98，99，首先划去一部分，使其个数变为 3n 个，4381，998118，先去掉 18 个数，使数的总数变成 81，即先划去 127 这 27 个，写上 9 个，写上的 9 个数之和等于 127 的总和，对于此时留在纸上的 81 个数，划 27 次变成 27 个，再划 9 次变成 9 个，接着划 3 次变成 3 个，最后划 1 次，变成 1 个，纸上所出现的所有数的和是(12399)5(12327)25128

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