1、第二节二元一次不等式组及简单的线性规划问题课时作业练1.(2019南京模拟)若原点和点(1,1)在直线x+y-a=0的两侧,则实数a的取值范围是.答案(0,2)解析由题意得(-a)(2-a)=a(a-2)0,解得0a2.2.(2018淮海中学高三模拟)若实数x,y满足x1,y3,x-y-10,则2x-y的最大值为 .答案5解析不等式组对应的平面区域是以点(1,0)、(1,3)和(4,3)为顶点的三角形及其内部,目标函数z=2x-y的图象经过点(4,3)时2x-y取得最大值5.3.(2018江苏如东高级中学高三期中)函数y=log2x的图象上存在点(x,y)满足约束条件x+y-30,2x-y+2
2、0,ym,则实数m的最大值为.答案1解析作出约束条件x+y-30,2x-y+20,ym表示的平面区域,得到如图的三角形,再作出对数函数y=log2x的图象,可得该图象与直线x+y-3=0交于点M(2,1),当该点在区域内时,图象上存在点(x,y)满足不等式组,且此时m取得最大值,即m的最大值为1.4.(2018常州教育学会学业水平检测)已知实数x,y满足x-y0,2x+y-20,x-2y+40,则z=x+y的取值范围是.答案43,8解析不等式组x-y0,2x+y-20,x-2y+40对应的平面区域是以点23,23、(0,2)和(4,4)为顶点的三角形及其内部,当直线z=x+y经过点23,23时
3、,z取得最小值43,经过点(4,4)时,z取得最大值8,故x+y的取值范围是43,8.5.若不等式组x-y0,2x+y2,y0,x+ya表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是.答案(0,143,+解析不等式组x-y0,2x+y2,y0表示的平面区域如图(阴影部分且包含边界),易知A,B两点的坐标分别为23,23和(1,0),若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是00,4x+3y4,y0,则=y+1x的最小值是.答案1解析作出不等式组对应的平面区域如图(不包括y轴),=y+1x的几何意义是区域内的任意一点P(x,y)与定点A(0,-1)连线的斜率,由图象可知,当P位于点D
4、(1,0)时,直线AP的斜率最小,此时min=y+1x=-1-00-1=1.7.(2019江苏扬州高三模拟)若实数x,y满足x4,y3,3x+4y12,则x2+y2的取值范围是.答案14425,25解析不等式组x4,y3,3x+4y12表示的平面区域如图中的阴影部分,x2+y2的几何意义是可行域内的点与坐标原点的距离的平方,过点O作直线3x+4y=12的垂线,垂足为B,连接OA,由图可知最小值为OB的平方,最大值为OA的平方,则1232+422x2+y2(32+42)2,解得14425x2+y225.故答案为14425,25.8.如图所示,若z=mx+y(m0)在平面区域内取得最大值的最优解有
5、无穷多个,则m的值为.答案720解析由题意可得-m=kAC=3-2255-1=-720,所以m=720.9.若变量x,y满足约束条件yx,x+y4,yk,且z=2x+y的最小值为-6,则k=.答案-2解析要使不等式组构成一可行域,则k2,此时,可行域为以A(k,k),B(2,2),C(4-k,k)为顶点的三角形区域(包括边界).从而在点A(k,k)处,z有最小值3k,则3k=-6,得k=-2.10.(2018镇江模拟)设z=2y-2x+4,其中x,y满足条件0x1,0y2,2y-x1,求z的最大值和最小值.解析作出满足不等式组0x1,0y2,2y-x1的可行域,如图中阴影部分所示,且包含边界.
6、作直线l:2y-2x=t,当直线l过点A(0,2)时,zmax=22-20+4=8;当直线l过点B(1,1)时,zmin=21-21+4=4.11.(2019南通模拟)某工厂有甲、乙两种产品,计划每天各生产甲、乙两种产品不少于15吨.已知每生产1吨甲产品需煤9吨、电力4千瓦时、劳动力3个,可获利7万元;每生产1吨乙产品需煤4吨、电力5千瓦时、劳动力10个,可获利12万元.但每天用煤不能超过300吨,电力不能超过200千瓦时,劳动力不能超过300个,问每天生产甲、乙两种产品各多少吨,能使利润总额达到最大?解析设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨,利润总额为z万元,则z=7x+12y,且x,y
7、满足9x+4y300,4x+5y200,3x+10y300,x15,y15.作出可行域如图中阴影部分所示,当直线过4x+5y=200和3x+10y=300的交点A(20,24),即生产的甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时,利润总额最大,zmax=720+1224=428(万元).12.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在ABC三边所围成的区域(含边界)内.(1)若PA+PB+PC=0,求|OP|;(2)设OP=mAB+nAC(m,nR),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.解析(1)PA+PB+PC=0,即(OA-OP)+(OB-OP
8、)+(OC-OP)=0,OP=13(OA+OB+OC)=(2,2),|OP|=22.(2)OP=mAB+nAC,(x,y)=(m+2n,2m+n),即x=m+2n,y=2m+n,两式相减得m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.已知集合A=1,2,3,B=xZ|(x+1)(x-2)0,则AB=.答案0,1,2,3解析B=xZ|-1x0的单调减区间是.答案-a,a解析f (x)=6x2-6a=6(x2-a)=6(x+a)(x-a)0,又a0,解得-axa,则f(x)的单调减区间是-a,a.5
9、.(2018江苏南京多校高三段考)区域D是由直线y=-2x-1、x轴和曲线y=ln x在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,若点(x,y)在区域D内,则z=x-2y的最大值为.答案2解析y=ln x的导数为y=1x,则曲线y=ln x在点(1,0)处的切线的斜率为1,方程为y=x-1,区域D是由x轴、直线y=-2x-1和直线y=x-1所围成的封闭区域,如图中阴影部分.z=x-2y可变形成y=12x-12z,当直线y=12x-12z过点A(0,-1)时,截距最小,此时z最大,最大值为2.6.设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且b=3,c=1,A=2B,则cos B=.答案33解
10、析因为A=2B,asinA=bsinB,所以a2sinBcosB=3sinB,a=6cos B,由余弦定理得,a=6a2+1-92a,则a=23,则cos B=a6=33.7.(2019南京模拟)若log2a1+a21+a1,即a12时,1+a21+a1,解得0a1,则12a1;当02a1,即0a1,解得a1,此时无解.综上可得,a的取值范围是12,1.8.(2018南京模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn,公比q=2,S10=1 023,则S2+S4+S6+S8+S10=.答案1 359解析由S10=a1(1-210)1-2=1 023得a1=1,则Sn=1-2n1-2=2n-1,则S2+
11、S4+S6+S8+S10=22+24+26+28+210-5=4(1-45)1-4-5=1 359.9.(2019江苏盐城高三模拟)已知y=1与函数f(x)=x2-|x|+a的图象有两个交点,则实数a的取值范围是.答案aa0或1-a=-14,则a1或a=54.故答案为aa1或a=54.10.(2018苏州学业阳光指标调研)已知函数f(x)=(3cos x+sin x)2-23sin 2x.(1)求函数f(x)的最小值,并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合;(2)若x-2,2,求函数f(x)的单调增区间.解析(1)f(x)=(3cos x+sin x)2-23sin 2x=3cos2x+23sin xcos x+sin2x-23sin 2x=3(1+cos2x)2+1-cos2x2-3sin 2x=cos 2x-3sin 2x+2=2cos2x+3+2.当2x+3=2k+(kZ),即x=k+3(kZ)时, f(x)取得最小值,为0.故f(x)取得最小值时自变量x的取值集合为xx=k+3,kZ.(2)由(1)知f(x)=2cos2x+3+2,令+2k2x+32+2k(kZ),解得3+kx56+k(kZ),又x-2,2,令k=-1,则x-2,-6,令k=0,则x3,2,所以函数f(x)在-2,2上的单调增区间是-2,-6和3,2.
