1、培优冲刺（9）难度评估：困难 测试时间：60分钟一、单选题(共60分)1(本题5分)设是直角坐标平面上的任意点集，定义若，则称点集“关于运算*对称”给定点集，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为A0B1C2D32 (本题5分)在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则（）A BCD3(本题5分)已知复数，且，则的最大值为（）ABCD4(本题5分)已知函数，对0， ，都有，满足f(x2)=0的实数x有且只有3个，给出下述四个结论:满足题目条件的实数x0有且只有1个；满足题目条件的实数x1有且只有1个；f(x)在上单调递增；的取值范围是；其中所有正确结论的编号是（）ABCD5(本题5分
2、)如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为ABCD6(本题5分)若函数在区间内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）ABCD7(本题5分)吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）AB
3、CD8(本题5分)定义为个正数的“均倒数”，若已知正整数数列 的前项的“均倒数”为，又，则ABCD9(本题5分)如图所示，在平面四边形中，已知，记的中垂线与的中垂线交于一点，恰好为的角平分线，则（）A BCD10(本题5分)如图，在正方体中，在棱上，平行于的直线在正方形内，点到直线的距离记为，记二面角为为，已知初始状态下，则（）A当增大时，先增大后减小B当增大时，先减小后增大C当增大时，先增大后减小D当增大时，先减小后增大11(本题5分)在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（）对任意三点A、B、
4、C，都有已知点P(3,1)和直线则到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点其中真命题的个数是（）A4B3C2D112(本题5分)已知定义在(0,+)上的函数f(x)的导函数f(x满足且，其中为自然对数的底数,则不等式的解集是A(0,e)B(0, )C( ,e)D(e,+)二、填空题(共20分)13(本题5分)定义：对于实数和两个定点、，在某图形上恰有个不同的点，使得，称该图形满足“度囧合”，若在边长为的正方形中，且该正方形满足“度冏合”，则实数的取值范围是_.14(本题5分)如图，等腰直角三角形的斜边为正四面体的侧棱，直角边绕斜
5、边旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：四面体的体积有最大值和最小值；存在某个位置，使得；设二面角的平面角为，则.正确命题的序号是_.15 (本题5分)已知数列满足：，用x表示不超过x的最大整数，则的值等于_.16(本题5分)如图，的棱长为1的正方体，任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为，周长为的范围分别是_（用集合表示）参考答案1B【解析】【详解】试题分析：将带入，化简得，显然不行，故集合A不满足关于运算对称，将带入，即，整理得，显然不行，故集合B不满足关于运算对称，将带入，即，化简得，故集合C满足关于运算对称，故只有一个集合满足关于运算对称，故选
6、：B.2D【解析】以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立直角坐标系，设，由题意写出，的坐标，由结合向量的数量的坐标表示可得关于的一元二次不等式，结合二次不等式的性质即可求出得值，进而可得正确答案.【详解】以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立直角坐标系，设，则，所以，因为对于边上任一点都成立，所以在上恒成立，即在上恒成立即若，则恒成立，故恒成立，故，若，则恒成立，故恒成立，故，故即点在的垂直平分线上，所以，故选：D.3C【解析】【分析】将复数代入，化简后可知对应的点在圆上.设过点的切线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求得的值，表示的集合意义是与点连线的斜率，由此求得斜率的最大值.【详解】解：
7、复数，且，设圆的切线，则，化为，解得的最大值为故选：C4D【解析】【分析】计算，设，作的图象如图，根据图像知，解得正确，根据极值点知结论正确，结论错误，正确，得到答案.【详解】，故，设，作的图象如图，在上满足的实数有且只有3个，即函数在上有且只有3个零点，由图象可知，结论正确；由图象知，在上只有一个极小值点，有一个或两个极大值点，结论正确，结论错误；当时，由知，所以在上递增，则在上单调递增，结论正确.故选：D.5D【解析】【详解】因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的
8、高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.故选：D.6A【解析】【分析】根据题意，结合对数运算将问题转化为方程在区间内有两个不同的实数根，进而构造函数，研究函数值的分布得，再解不等式即可得答案.【详解】解：因为函数在区间内有两个不同的零点，所以方程在区间内有两个不同的实数根，所以方程在区间内有两个不同的实数根，令，所以，所以在为减函数，在上为增函数，所以当时，取得最小值， 当时， 当时， 所以，即，所以，即实数a的取值范围是故选：A.7D【解析】【分析】“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可.【详解】由题：“口香糖吃完时还剩2支
9、香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物，基本事件总数为：种事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：烟、糖、糖、糖：种糖、烟、糖、糖： 种糖、糖、烟、糖：种包含的基本事件个数为：54，所以，其概率为故选：D.8C【解析】【详解】试题分析：设数列的前n项和为，则由题意可得，故选：C.9B【解析】【分析】由题意可知四边形是以为圆心的圆内接四边形，由可得，则，由可得，从而得，再利用结合余弦定理可得结果【详解】由题意可知四边形是以为圆心的圆内接四边形，因为，所以，所以，又由题目条件可知，所以，所以，所以故选：B.10C【
10、解析】【分析】由题设，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，求出面的法向量与面的法向量为的夹角， 对于AB，令，则，分析函数单调性，结合余弦函数性质判断；对于CD，令时，化简整理得到 ，利用导数判断函数的单调性，进而判断余弦函数的单调性，进而得解.【详解】由题设，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，设直线与交于，则，则， 设平面的法向量为， ，令，则设平面的法向量为，又，令，则利用空间向量夹角公式得对于AB，令，则显然函数在时为减函数，即减小，则增大，故AB 错误；对于CD，当时，则令，求导，令，得故当时，函数单减，即单减，增大；当时，函数单增，即单增，减小；故当增大时，先增
11、大后减小故选：C11A【解析】【分析】讨论，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；设点是直线上一点，且，可得，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；讨论在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断【详解】解：对任意三点、，若它们共线，设，、，如右图，结合三角形的相似可得，为，或，则，；若，或，对调，可得，；若，不共线，且三角形中为锐角或钝角，由矩形或矩形，；则对任意的三点，都有，；故正确；设点是直线上一点，且，可得，由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，的范围是，无最值，综上可得，两点的“切比雪夫距离”
12、的最小值为故正确；由题意，到原点的“切比雪夫距离” 等于的点设为，则，若，则；若，则，故所求轨迹是正方形，则正确；定点、，动点满足，可得不轴上，在线段间成立，可得，解得，由对称性可得也成立，即有两点满足条件；若在第一象限内，满足，即为，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点故正确；综上可得，真命题的个数为4个，故选：A.12A【解析】【详解】令，则有， ,又 ,得，,再令,则 ,故函数在上递减,不等式 等价于,所以 ,故选：A13【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，求出点的轨迹方程为，
13、分析可知，圆与正方形有个交点，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、，因为，则、，设，则，整理可得，则，可得，所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，因此，只需圆与正方形有个交点即可，当时，即当时（图中从内往外第一个圆），此时圆与正方形有个交点，当动圆在图中第二个圆与第三个圆之间（从内往外）时，圆与正方形有个交点，此时，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.14【解析】【分析】由题易得点的轨迹是以线段的中点为圆心，为半径的圆，设点 ；所以，为圆锥的母线，对于，直线 与平面所成的角为，可得
14、出，进而可得出四面体 的体积有最大值和最小值；对于，可得出直线与所成角范围为，所以存在夹角为 的情况，即可得出结论；对于，取中点为，分别连接，易得 ，可得为二面角 的平面角为，然后比较三角形与三角形的边长关系可得出 ，即可得出结论.【详解】因为等腰直角三角形绕斜边旋转，所以点的轨迹是以线段的中点为圆心， 为半径的圆，设点；所以，为圆锥的母线，直线与平面所成的角为， ，所以以为旋转轴，所以当在平面内时，达到最大值和最小值， 有最大值和最小值，故成立；因为直线与旋转轴所成的夹角为，母线与旋转轴 所成夹角为，所以直线与所成角范围为 ，即，因为 ，所以存在夹角为的情况，又因为线线角的取值范围不为钝角，
15、所以直线与所成角为 ， 即可得出，故成立；取中点为，分别连接，易得 ，所以为二面角 的平面角为，比较三角形与三角形， ，所以 ，所以，得 ，故成立.综上，均成立.故答案为：.151【解析】【分析】由题意说明数列的项为正，化简数列递推关系式为，求出的范围即可求出表达式的最大整数【详解】由题意知，移项得又，又因，所以数列单调递增故所以，故故答案为：1.16;【解析】【分析】由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长为定值.【详解】连接，平面，又平面，同理可证则平面，设平面与平面的交线为，则，又，同理可得平面与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，设，则，同理可得六边形其他相邻两边的和为,六边形的周长为定值.因为截面与各面的交线与各面的对角线平行，所以不管六边形如何变化，六边形的每个内角都是，并且相邻边长的和为，通过构造边长为的菱形，并且有一个角为，六边形的面积是如图两个等边三角形的面积减上下两个等边三角形的面积， ， ，所以截面多边形面积的取值范围是故答案为：；.
