小学数学讲义六年级优秀.pdf

1、1第 12 级下优秀 A 版教师版第 1 讲漫画释义六年级暑假整数裂项与通项归纳六年级暑假分数裂项六年级秋季数形结合六年级冬季计算模块综合选讲（一）六年级春季计算模块综合选讲（二）复习小学阶段分数的计算.知识站牌第一讲计算模块综合选讲(二)2第 12 级下优秀 A 版教师版第 1 讲1、分数与小数四则混合运算中常常用到凑整、分组、分小互化、约分、提取以及换元提取这些技巧.2、分数裂项：基本形式：母积子和差.和差：第一取决于分子拆成和或差，第二取决于算式整体的运算符号.目的：裂成两项.如果裂差，与前后相同相消；如果裂和，考虑凑整.(1)对于分母可以写作两个因数相乘的形式，即1ab形式的，这里我们

2、把较小的数写在前面，即ab，那么有1111()abba ab(2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)nnn，1(1)(2)(3)nnnn形式的，我们有：1111(1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn1111(1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn3、常用公式：1.1001abcabcabc；2.10101abababab；3.(1)1232nnn；4.2222(1)(21)1236nnnn；5.2223333(1)1231234nnnn；6.21 357211 231132 1nnnnn ；7.等比数列求和公式：01

3、11111(1)1nnna qSa qa qa qq(1q )；8.平方差公式：22ababab；9.111111 1111123321nnn 个个，其中9n 经典精讲3第 12 级下优秀 A 版教师版第 1 讲例 1：分组与凑整例 2：分数的四则运算(硬算)例 3：提取例 4：约分技巧例 5：分数裂项(1)39823.25341717(2)772523.273899(3)【分析】(1)原式39182334174173198323441717 4610.(2)原式=7860.273.145.8(3)原式20111201120112011120122012.【想想练练】(1)6241012171

4、717(2)(3)【分析】(1)6241012171717624101217 87.17(2)原式34(17)(29)411.(3)原式=19971997111997199719971997199711.1998199819981998（）2011201120112012 11343879411411 19971997199719986410例 2例 1例题思路4第 12 级下优秀 A 版教师版第 1 讲(1)541001.231615(2)7111357(4)(133)2182634168【分析】(1)原式56191003380.6515(2)原式=71172342317()(1312)24

5、.46381238128【想想练练】11130.531.2551.25 14845.【分析】原式112551585248444511254152248541133441.(1)13891211272.59102251717252(2)111111111111111234534342345 【分析】(1)13891211272.591022517172521389122.5127910251717252.540100.(2)111111111111111234534342345 11111111117111.342345234512【想想练练】计算:41211423167137713【分析】原式

6、412142342816713137.例 35第 12 级下优秀 A 版教师版第 1 讲【拓展】1532194.853.66.1535.51.7514185321【分析】本题观察发现除以 518 相当于乘以 3.6 则公因数就出来了.原式1757194.85 3.6 1 3.66.15 3.65.5443421 135194.85 16.153.65.541212154365.595.54.510.412(1)111111111111111123456789(2)1 32426483 9721 2424 83 6 12 【分析】(1)原式34561023459=5.(2)1 3 242 6 4

7、83 9 721 2 42 4 83 6 12 3333331 3 24 11 3 2421 3 24 31 24 11 2421 24 3 3333331 3 241231 2 4123 9.【想想练练】1 2 3246100200 3002 3 44 6 8200 300400 【分析】原式3333331 23 11 2321 23 100234 12342234 100 3333331 231210023412100 14.例 46第 12 级下优秀 A 版教师版第 1 讲【分析】原式=111112+=-=23349 102 105.【拓展】_.【分析】11111111612203042

8、56729012345678+=1 224477 11 11 1616222229293711 11 11111111111=1-+-+-+-+-+-+-+-22 44 77 11 11 1616 2222 2929 371=1-3736=37式一位疯狂的艺术家为了寻找灵感，把一张厚为 0.1 毫米的很大的纸对半撕开，然后再撕成两半叠起来。假设他如此重复这一过程 25 次，这叠纸会有多厚？A、像山一样高B、像一栋房子一样高C、像一个人一样高D、像一本书那么厚答案：这叠纸的厚度将达到 3355.4432 米，有一座山那么高.例 5夏琨塔拉戴维（Shakuntala Devi，1929 年 11

9、月 4 日2013 年 4 月 21 日），印度女性，曾是神童和著名心算家，有“人脑计算机”的美称.因其不可思议的计算能力而列入 1982 年版的吉尼斯世界纪录.夏琨塔拉戴维曾在全球各大学接受测试，现场示范其最著名的特殊能力：在 28 秒内计算出两个任意 13 位数的乘积.这项成就让戴维女士名列吉尼斯世界纪录，虽然这个记录后来被移除，原因是基于她的成绩远优于其它受测天才的计算能力.2013 年 4 月 21 日上午 08 时 15 分左右，在印度班加罗尔一家医院去世，享年 83 岁.7第 12 级下优秀 A 版教师版第 1 讲20082007200920092008201020082009 1

10、200920101【分析】原式200820072009200920082010200820091200920101200820072009200920082010200720092009120082010201012008200720092009200820101 12.2007200920082008201020091、分数与小数四则混合运算中常常用到凑整、分组、分小互化、约分、提取以及换元提取这些技巧.2、分数裂项：标志：母积子和差.和差：第一取决于分子拆成和或差，第二取决于算式整体的运算符号.目的：裂成两项，如果裂差，与前后相同相消；如果裂和，考虑凑整.(1)对于分母两个因数：1111(

11、)abba ab(2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)nnn，1(1)(2)(3)nnnn形式的，我们有：1111(1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn1111(1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn3、常用公式：1)1001abcabcabc；2)10101abababab；3)(1)1232nnn；4)2222(1)(21)1236nnnn；知识点总结杯赛提高8第 12 级下优秀 A 版教师版第 1 讲5)2223333(1)1231234nnnn；6)21 357211 231132 1nnnnn .1.(1

12、)121619_.2439412(2)1334_.34(3)233445517191_.354759【分析】(1)1216191216191 1 1324394122439412 .(2)133434413 334 3.(3)原式537495507090354759（）（）（）301401501123.2.11343879411411 =_.【分析】.3.1312013 22010.420133104【分析】原式77201320134201342013469733.4.(1)1 324264839724 1296_.1 2424836 1248 16 (2)1111100(1)(1)(1)(1

13、)_.23410011343879411411 3417294116410家庭作业9第 12 级下优秀 A 版教师版第 1 讲【分析】(1)1 324264839724 12961 2424836 1248 16 333433331 3 24 11 3 2421 3 24 31 3 2441 24 11 2421 24 31 244 333333331 3 2412341 241234 9.(2)原式1111=100(1)(1)(1)(1)23410012399=100=1234100.5.=_.【分析】原式.6.362548361362548186=_.【分析】原式362548 361362

14、548 3611361 1548 186361 548548 186.33333325588 1111 1414 1717201111111111111332558811111414171720111220 9201第 12 级下优秀 A 版教师版第 2 讲六年级秋季圆柱圆锥六年级秋季复合图形拆分六年级寒假几何模块综合选讲(一)六年级寒假几何模块综合选讲(二)六年级春季几何模块综合选讲(三)复习曲线形面积周长、图形变换、旋转轨迹问题.漫画释义知识站牌第二讲 几何模块综合选讲（二）2第 12 级下优秀 A 版教师版一、相关公式圆的面积 2r；扇形的面积=2360nr；圆的周长=2 r；扇形的弧长

15、=2360nr.二、基本图形1、“弓形”:弓形一般不要求求周长,主要求面积.一般来说,“弓形”面积=扇形面积三角形面积.(除了半圆)2、“弯角”:如图,“弯角”的面积=正方形扇形3、“谷子”:如图,“谷子”的面积=“弓形”面积24、“圆环”:如图,“圆环”面积=22()Rr,R、r 分别是大小圆半径三、常用的思想方法:1、转化思想(复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的)2、等积变形(割补、平移、旋转等)3、借来还去(加减法)4、外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的“关系”)5、容斥(实际上容斥思想是贯穿于加减法始终的.我们把两部分面积加起来,去掉总面积,剩下的就是重叠

16、部分面积.)6、差不变例 1:扇形、弯角、谷子例 2:整体代入例 3:图形变换(割补,平移,等积)例 4:容斥原理例 5:轨迹问题例题思路经典精讲3第 12 级下优秀 A 版教师版第 2 讲(1)已知:如图,半径为 2,圆心角45,求扇形的弧长和面积(取 3.14).(2)已知:如图,正方形 ABCD 的边长为 2 厘米,以 B 为圆心以 2 厘米为半径在正方形内画圆求阴影部分面积(取 3)(3)已知:如图,正方形 ABCD 的边长为 2 厘米,分别以 B、D 为圆心以 2 厘米为半径在正方形内画圆求阴影部分面积(取 3)ADCBDCBA【分析】(1)弧长 452 3.1421.57360,面

17、积2453.1421.57.360(2)弯角=正方形-14 扇形,221224314S(平方厘米)；(3)法 1:把两个扇形放在一起得到 1 个正方形的同时还重叠了一块阴影部分则阴影部分的面积为 21 2226-4=22(平方厘米)；法 2:连接 AC,我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积,所以阴影部分面积22112(22)242(平方厘米).已知:如图,圆的周长是 16.4 厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等图中阴影部分的周长是多少厘米(取 3.14)?图Aa-RDRCaBRRO【分析】设 BCODa,OBOACDR,由已知 R Ra R,于是有aR阴影部分的周长为 14 圆

18、周+a+R+a-R=4.124.1 16.420.5R(厘米)【想想练练】已知:图中阴影部分的面积是225cm,求圆环的面积(取3.14)2例 2例 14第 12 级下优秀 A 版教师版【分析】设大圆半径为 R,小圆半径为r,依题有222522Rr,即2250Rr则圆环面积为:22222()50157(cm)RrRr已知:如图所示,四个全等的圆每个半径均为 2m,阴影部分的面积是多少?2m2m或2m【分析】我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式,但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知道这些公式也可以求出阴影部分面积如图,割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等,等于222216 m（）（）【想想

19、练练】求如图中阴影部分的面积(取3.14)【分析】可将橄榄型的阴影部分剖开,两部分分别顺逆时针旋转 90,则阴影部分转化为四分之一圆减去一个等腰直角三角形,所以阴影部分的面积为2114444.5642 已知:如图,三角形 ABC 是直角三角形,4cmAC,2cmBC,求阴影部分的面积(取3.14)例 4例 35第 12 级下优秀 A 版教师版第 2 讲CBA【分析】从图中可以看出,阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形 ABC 的面积之差,所以阴影部分的面积为:2214121422.543.8522222(2cm)【拓展】已知:如图,半径分别为 3,4,5 的三个圆,图中 A 部分(两

20、小圆重叠部分)的面积与阴影部分的面积相比,哪个更大?【分析】易得两个小圆面积之和等于大圆面积。根据重叠等于未覆盖,可知 A=阴影.欧几里得（约公元前 330 年前 275 年）古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前 323 年前 283 年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作几何原本是欧洲数学的基础，此外还有不少著作，如已知数，纠错集，圆锥曲线论，曲面轨迹，观测天文学等，遗憾的是除几何原本外这些都没有留存下来消失在时空的黑暗之中了。几何原本的目录：第一卷几何基础，第二卷 几何与代数，第三卷 圆与角，第四卷 圆与正多边形，第五卷 比例，第六卷 相似，第七卷 数论（一），第八

21、卷 数论（二），第九卷 数论（三），第十卷 无理量，第十一卷 立体几何，第十二卷 立体的测量，第十三卷 建正多面体.两千多年来，几何原本一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过几何原本，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，集整个古希腊数学的成果和精神于一书。既是数学巨著，又是哲学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识。很多人认为除圣经之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与几何原本相比。例 56第 12 级下优秀 A 版教师版已知:如图,正方形的边长是 4 厘米,圆形的半径是 1

22、厘米.当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时,扫过的面积有多大(取 3.14)?24【分析】如图,面积为:22244244.56.Scm【想想练练】已知:如图,等边三角形的边长是 3 厘米,圆形的半径是 1 厘米.当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时,扫过的面积有多大(取 3.14)?【分析】如图,面积为:2232341830.56 (平方厘米).把下列图形分成四小块，使它们形状大小完全相同，并且是已知图形的缩小版.答案：7第 12 级下优秀 A 版教师版第 2 讲已知:图中是一个钟表的圆面,图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少?O乙甲121110987654321【分析】根据图形

23、特点,可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解:阴影部分甲120的扇形 三角形 小弓形；阴影部分乙 三角形 小弓形；由于120扇形的面积容易求得,所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积:AB121110987654321阴影部分乙的面积=斜纹三角形B的面积+斜纹弓形A的面积甲乙OOO甲乙乙甲121110987654321120阴影部分的面积=圆的面积的13阴影部分乙的面积=圆的面积的16123456789101112综上所述:阴影部分甲的面积 圆的面积的 1136圆的面积的 16 所以甲、乙面积之比为1:11、“弓形”面积=扇形面积三角形面积.(除了半圆)知识点总结杯赛提高8第 12 级

24、下优秀 A 版教师版2、“弯角”的面积=正方形扇形3、“谷子”的面积=弓形面积2=两个 14圆正方形4、圆环面积=22()Rr,R、r 分别是大小圆半径5、常用方法技巧:旋转、平移、对称、割补、容斥原理、差不变1.如图,三角形 OAB 的面积是 5 平方厘米,则阴影部分面积是_平方厘米(取 3.14).【分析】由题意:25210r ,阴影部分面积 1103.1452.854.2.已知：如图，大圆半径为 R,小圆半径为 r,两个同心圆构成一个环形以圆心 O 为顶点,半径 R为边长作一个正方形:再以 O 为顶点,以 r 为边长作一个小正方形图中阴影部分的面积为 50 平方厘米,则环形面积是_平方厘

25、米(取 3.14)O【分析】已知阴影部分的面积,也就是2250Rr平方厘米,那么环形的面积为:2222()50=157RrRr(平方厘米)3.已知：如图，等腰直角三角形直角边边长为 4，则阴影部分面积为_(取 3.14).4家庭作业9第 12 级下优秀 A 版教师版第 2 讲【分析】:两个半圆减一个直角三角形241()444.5622.4.已知：如图，直角三角形的两条直角边长为 12,则图中阴影部分的面积是_1212DCBA1212DCBA【分析】如图,连接 BD,可知阴影部分的面积与三角形 BCD 的面积相等,即为 11 12 1236225.图中的长方形的长与宽的比为 8:3,则阴影部分的

26、面积是_(取 3.14)204OABCD【分析】如右图,设半圆的圆心为O,连接 OC 从图中可以看出,20OC,20416OB,根据勾股定理可得12BC 阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积,为:2120(162)1220038424426.一只狗被拴在底座为边长 3m 的等边三角形建筑物的墙角上(如图),绳长是 4m,则狗所能到的地方的总面积是_(取 3.14)3【分析】如图所示,狗活动的范围是一个半径 4m,圆心角300的扇形与两个半径1m,圆心角120的扇形之和所以答案是243.96m 1第 12 级下优秀 A 版教师版第 4 讲六年级秋季神奇的九六年级秋季数的进制六年级寒假数论模

27、块综合选讲（一）六年级春季数论模块综合选讲（二）六年级春季数论模块综合选讲（三）主要是对质数,合数,因数,倍数,平方数的复习和巩固.漫画释义知识站牌第四讲 数论模块综合选讲（二）2第 12 级下优秀 A 版教师版一、质数、合数、分解质因数1判断一个数是否为质数的方法根据定义,如果能够找到一个小于 P 的质数 p(均为整数),使得 p 能够整除 P,那么 P 就不是质数,所以我们只要拿所有小于 P 的质数去除P 就可以了；但是这样的计算量很大,对于不太大的 P,我们可以先找一个大于且接近 P 的平方数2K,再列出所有不大于 K 的质数,用这些质数去除 P,如没有能够除尽的那么 P 就为质数.例如

28、：149很接近216913,根据整除的性质149 不能被2、3、5、7、11、13 整除,所以149是质数.2分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数例如：3023 5 其中 2、3、5 叫做 30 的质因数又如21222323 ,2、3 都叫做12 的质因数,其中后一个式子叫做分解质因数的标准式,在求一个数因数的个数和因数的和的时候都要用到这个标准式分解质因数往往是解数论题目的突破口,因为这样可以帮助我们分析数字的特征3因数个数定理设自然数 n 的质因数分解式如312123naaaanpppp.那么 n 的因数个数为1231111nd naaaa()()()()()自

29、然数 n 的因数和为 11221121211111222211aaaaS npppppppp1211nnaannnnpppp二、因数、倍数1最大公因数与最小公倍数有如下一些基本关系(,),ABmambmmabA BA B,即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积；最大公因数是 A、B、AB、AB及最小公倍数的因数2求一组最简分数的最大公因数与最小公倍数求一组最简分数的最大公因数：先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数 a；求出各个分数的分子的最大公因数 b；ba 即为所求例如：82(8,2)2(,)9 159,1545经典精讲3第 12 级下优秀 A 版教师版第 4

30、 讲求一组最简分数的最小公倍数先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公因数 b；ab即为所求例如：3 53,515,4 12(4,12)4三、平方数1定义我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数如.211,224,239,211121,212144,其中1,4,9,121,144,都叫做完全平方数平方数分解质因数后,它的质因数必定会成对出现2完全平方数的有关性质性质 1：完全平方数的末位数字只可能是 0,1,4,5,6,9性质 2：完全平方数的因数一定有奇数个,反之亦然因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质 3：

31、如果一个完全平方数的个位是 6,则十位是奇数,反之亦然性质 4：如果一个完全平方数的个位是 0,则它末尾连续的 0 的个数一定是偶数个如果一个完全平方数的个位是 5,则其十位一定是 2,且其百位一定是 0,2,6 中的一个性质 5：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数性质 6：平方差公式:22()()abab ab性质 7：偶数的完全平方是 4 的倍数,奇数的完全平方被 4 除一定余 1,任何自然数的平方数不可能被 4 除余 2模块一：例 1例 2：质数与合数模块二：例 3例 4：因数与倍数模块三：例 5：平方数（学生版仅有 1-4 题）观察下面几个数,并回答下面的问

32、题.9,17,24,30,60,91,2011,2014（1）出现的质数是_.（2）将合数分解质因数.例 1例题思路4第 12 级下优秀 A 版教师版（3）根据分解式,回答每个合数有多少个因数.（4）另外写出一个有 8 个因数的数.（5）若一个数有 3 个因数,则这个数平方后有多少个因数?（6）若一个数有 6 个因数,则这个数平方后可能有多少个因数?（7）若一个数的平方有 9 个因数，则这个数可能有多少个因数?【分析】（1）17,2011（2）293,32423,3023 5,26023 5 ,917 13,20142 1953（3）因数个数为指数加 1 连乘,因此 9 有 3 个因数,24

33、有 8 个因数,30 有 8 个因数,60 有 12个因数,91 有 4 个因数,2014 有 8 个因数.（4）只要能写成7a 或3bc或 def 形式的数均可.（5）有 3 个因数的数的形式是2a,平方后的形式为4a,因数个数为 5.也可拿具体数据尝试.（6）有 6 个因数的数的形式可能是5a 或2bc,平方后的形式为10a或24bc,因数个数为 11或 15（7）有 9 个因数的数的形式可能是8a 或22bc，因此原数可能是4a 或 bc，因数个数为5 个或 4 个.想想练练：567 有多少个因数?【分析】456737，共 10 个因数.把 40,44,45,63,65,78,99,10

34、5 这八个数平分成两组,使每组四个数的乘积相等.【分析】34025,244211,24553,26373,655 13,7823 13,299311,105357,要使每组四个数的乘积相等,需要每组含有相同的质因数,看质因数 2,第一组含有 40,第二组含有 44,78,再看11,13,第一组应有 40,99,65,再看 5 第二组应有 44,78,45,105,最后看 7,第一组应有 40,99,65,63.在下面的横线处填上适当的数.1.(18,45)_,(72,42)_,(38,2014)_2.(12,18,30)_,(24,40,88)_,(15,75,200)_3.12,15_,25

35、,40_,36,60_4.3,6,9_,8,12,20_,38,106,1007_5.2 4(,)_3 5,15 10,_22 33（选讲）【分析】1.9,6,382.6,8,53.60,200,180例 3例 25第 12 级下优秀 A 版教师版第 4 讲4.18,120,20145.215,3011想想练练：有 3 根铁丝,长度分别是 20 厘米、48 厘米、72 厘米.现在要把它们截成长度相等的小段,每根都不能有剩余,每一小段最长是多少厘米?一共可以截成多少小段?【分析】(20,48,72)4,因此每小段最长为 4 厘米,共可以截成 35 小段.（1）已知 A、B 两数的最小公倍数是 1

36、80,最大公因数是 30,若 A=90,则 B=.（2）已知两数的最大公因数是 21,最小公倍数是 126,求这两个数的和是_.【分析】（1）根据最小公倍数 最大公因数AB,知道180309060B（2）假设这两个数是 21a 和 21b,易得 21126ab,所以6ab,由 a 和b 互质,那么就有61 623 两种情况所以甲、乙是：21 121,21 6126或21 242,21 363两种情况它们的和是 147 或 105想想练练：已知两个自然数的积为 450,最小公倍数为 150,求这两个数.【分析】由于两个自然数的积 两数的最大公因数 两数的最小公倍数,可以得到,最大公因数是4501

37、503,设这两个数分别为 3a、3b,那么(,)1a b ,且150350ab,所以 a 和 b 可以取 1 和 50 或 2 和 25,所以这两个数是 3 和 150 或 6 和 75（1）两个平方数的差能否是 5?（2）两个平方数的差能否是 6?例 5雷劈数有位印度数学家叫卡普利加,在一次旅行中,遇到猛烈的暴风雨,电闪雷鸣过后,他看到路边一块里程碑被雷电劈成两半,一半上刻着 30,另一半刻着 25.这时,卡普利加的脑际中忽然发现了一个绝妙的数学关系:30+25=55,2553025把劈成两半的数加起来,和再平方,正好是原来的数.按照第一个发现者的名字,这种怪数被命名为“卡普列加数”或“雷劈

38、数”或“卡布列克怪数”,也叫“分和累乘再现数”.例 46第 12 级下优秀 A 版教师版（3）两个平方数的差能否是 8?（4）通过上面三题,你能总结出两平方数之差有什么特征吗?（5）三个自然数,它们都是完全平方数,最大的数减去第二大的数的差为 80,第二大的数减去最小的数的差为 60,求这三个数.【分析】（1）设这两个数分别为 a,b 且（ab）（下同）则2222()()5 1(32)(32)32abab ab （2）22()()6abab ab,因为 a+b 与 a-b 的奇偶性相同,而 6 不能拆成同奇偶的两数相乘,因此没有两个平方数差 6.（3）2222()()42(31)(3 1)31

39、abab ab（4）平方差公式中 a+b 与 a-b 的奇偶性相同,因此两个平方数的差可以是奇数,也可以是 4的倍数,但一定不能是除以 4 余 2 的数.（5）设这三个数从大到小分别为2A、2B、2C,那么有80ABAB,140ACAC,因为1402257,AC、AC同奇同偶,所以有14AC,10AC或70AC,2AC,分别解得12A,2C 和36A,34C,对于后者没有满足条件的 B,所以 A 只能等于 12,2C,继而求得8B,所以这三个数分别为212144、2864、224一次考试,参加的学生中有 17 得优,14 得良,13 得中,其余的得差,已知参加考试的学生不满 100 人,那么杯

40、赛提高小聪明“六一”儿童节,某小队全体同学（十人）去玩电子游戏,但每次只能一个人玩.同学们都想先玩,谁也不谦让.这时有人想了个主意,叫他们站成一排,1、2、3、4报数,报单数的离开队伍,剩下的再从队头开始报数,报单数的再离开,最后剩下谁,谁就先玩.小聪明很快找到了第一个先玩的应站的位置.想想看,小聪明站在_号位置上.答案：8 号7第 12 级下优秀 A 版教师版第 4 讲得差的学生有多少人?【分析】由题意“参加的学生中有 17 得优,14 得良,13 得中”,可知参加考试的学生人数是 7,4,3 的倍数,因为 7,4,3 的最小公倍数为 84(小于 100 人),所以参加的学生总数为 84 人

41、那么得差的学生有：8412212823人1.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数2.因数个数定理:设自然数 n 的质因数分解式如312123naaaanpppp.那么 n 的因数个数为1231111nd naaaa()()()()()3.短除模型：(,),ABmambmmabA BA B,即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积.4.最简分数的最大公因数与最小公倍数的求法(子同母反)：(,)(,),b db da ca c,(,)b db da ca c 5.完全平方数的有关性质性质 1：完全平方数的末位数字只可能是 0,1,4,5,6,9性质 2：完全

42、平方数的因数一定有奇数个,反之亦然因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质 3：如果一个完全平方数的个位是 6,则十位是奇数,反之亦然性质 4：如果一个完全平方数的个位是 0,则它末尾连续的 0 的个数一定是偶数个如果一个完全平方数的个位是 5,则其十位一定是 2,且其百位一定是 0,2,6 中的一个性质 5：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数性质 6：平方差公式:22()()abab ab性质 7：偶数的完全平方是 4 的倍数,奇数的完全平方被 4 除一定余 1,任何自然数的平方数不可能被 4 除余 21.已知 300=22355,则 30

43、0 一共有个不同的因数.知识点总结家庭作业8第 12 级下优秀 A 版教师版【分析】32318个2.连续四个奇数的积是 3465,则这四个数中最大的一个是_【分析】根据四个全为奇数,来分解质因数34655 73 311 3.(35,63)_,(14,35,49)_,18,20_,30,40,50_【分析】7,7,180,6004.已知两个自然数的积为 360,最小公倍数为 120,求这两个数.【分析】由于两个自然数的积 两数的最大公因数 两数的最小公倍数,可以得到,最大公因数是3601203,设这两个数分别为 3a、3b,那么(,)1a b ,且120340ab,所以 a 和 b 可以取 1

44、和 40 或 5 和 8,所以这两个数是 3 和 120 或 15 和 245.有一个正整数将它分别加上 15 与减去 4 后都是完全平方数,请问此数是什么?【分析】a2-b2=19=119,a=10,b=9.99+4=85.6.60 乘以一个自然数 a,乘积是一个完全平方数,则 a 最小为_.【分析】26023 5,当 a=15 时,每个质数的指数均为偶数,因此 a 最小为 15.1第 12 级下优秀 A 版教师版第 5 讲三年级春季等差数列初步四年级暑假等差数列进阶四年级寒假数表从日历谈起五年级寒假数表从杨辉三角谈起六年级春季数列数表模块综合选讲复习数列，日历型数表，三角型数表.漫画释义知

45、识站牌第五讲数列数表模块综合选讲2第 12 级下优秀 A 版教师版数表就是把数列中各项按一定顺序排布成一定形状后形成的表格.首先,数表具有数列的一般特征,即各项与其项数之间具有特定的对应关系,可以用通项公式或递推关系表示出来;其次,数表又不等同于普通数列,由于具有一定的形状,因此各项必须受其所在位置的限制,这点是需要特别注意的.数列与数表问题常用的思考方法有：1.观察：观察是解决数列数表问题的根本前提,许多数列数表问题首先就是找规律问题,这需要观察出突破口;2.对应：找准数列的项与其项数及位置的对应关系,必要时要用代数式表示出来;3.周期性：许多数列数表问题是周期问题,特别是某些求某数在第几行

46、第几列的问题;4.递推关系：即数列的某项与其前面某些项之间的一种代数关系;5.整体及动态分析;6.利用特殊位置：比如中间项,拐角,最大数或最小数等;7.结合奇偶分析或整除分析等.杨辉三角形,又称贾宪三角形,帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.(如下图)11051105161441313112111它有以下一些特点(更多的特点并未列出)：1.每个数等于它上方两数之和.2.每行数左右对称,由 1 开始逐渐变大.3.第 n 行的数有 n 个.4.第 n 行所有数之和为12n.模块一：例 1-2,数列问题模块二：例 3-4,日历型数表模块三：例 5-6,三角型数表例题思路经典精讲3第

47、12 级下优秀 A 版教师版第 5 讲按规律填数,并写出每个数列的第 n 项(1)2,4,6,8,_,12.(2)1,3,5,7,_,11.(3)1,4,7,10,13,_.(4)1,4,9,16,_,36.(5)1,2,4,8,16,_.(6)2,6,12,20,30,_.(7)1,3,6,10,15,_.【分析】答案分别为 10,9,16,25,32,42,21,第n 项依次为 2n,2n-1,3n-2,2n,12n ,n(n-1),(1)2n n.数表中经常用这些规律.【想想练练】按规律填数：2,5,10,17,37,【分析】通项为21n ,26,50有一串数 11,12,22,12,1

48、3,23,33,23,13,14,24,34,44,34,24,14,这串数从左往右,第个数是 99【分析】需要求出 99 是第几个,先得知道分母是 18 的分数共有多少个?分母是 8 的分数共有28115(个),前 8 组共有1 158264 再算出,1999 共有 9 个分数,所以共有 64973(个)巧解为28973【想想练练】37 在这串数中的什么位置.【分析】从开始到以 6 为分母的分数,共2636个数,37 第 1 次出现在第 36+3=39 个数,第 2 次出现在第27247个数.一列自然数：0,1,2,3,2024,第一个数是 0,从第二个数开始,每一个都比它前一个大 1,最后

49、一个是2024现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行,竖排为列,则 2005 在数表中位于第_例 3例 2例 14第 12 级下优秀 A 版教师版行第_列【分析】观察可知第n 行的第 1 个数是21n,第n 列的第 1 个数是21n 由于224419362005202545,所以第 45 行的第 1 个数是 1936,第 45 列的第 1 个数是202512024 由于20242005120,所以 2005 在第 20 行第 45 列【想想练练】此表中的 2014 在第_行第_列.【分析】2024-2014+1=11,2014 在第 11 行第 45 列将 1 1001 各数按下面格式排列,

50、如图,框出 9 个数,要使这 9 个数之和等于(1)123,(2)252,(3)999,能否办到?请说出理由1001100099999899799699528272625242322212019181716151413121110987654321【分析】能不能框出,取决于两个方面,和为 9 的倍数,中心数不能除以 7 余 0 或 1(1)不能,123 不是 9 的倍数(2)不能,中间数是 252928,但 28 在第 7 列,不能作为正中心的数(3)9999111,11176 ,能例 45第 12 级下优秀 A 版教师版第 5 讲把自然数按如下规律排成三角形数表：如 4 是第 3 行的第 3

51、 个数,那么(1)自然数 100 是第_行左起的第_个数(2)2014 是第_行左起的第_个数.(3)第 20 行左起第 5 个数是_.(4)第 21 行左起第 8 个数是_.123654789101211【分析】观察规律.每n 行有 n 个数,奇数行是从大数到小数,偶数行是从小到大;(1)1232n nn,例 5神算小少年杨辉在南宋度宗年间,古城钱塘（今杭州）有一位少年,聪明好学,尤其喜爱数学.但由于当时数学书籍很少,这个少年只能零碎地收集一些民间流传着的算题,并反复研究,从中增长知识.一天,这个少年无意中听说 100 多里的郊外有位老秀才,不仅精通算学,而且还珍藏了许多九章算术、孙子算经等

52、古代数学名著,非常高兴,急忙赶去.老秀才问明来意后,望了望这位少年,不屑地说：“小子不去读圣书,要学什么算学?！”但少年仍苦苦哀求,不肯走.老秀才无奈,于是说：“好吧,听着！直田积八百六十四步,只云阔不及长十二步,问长阔共几何?（用现在的话来说就是：长方形面积等于 864 平方步已知它的宽比长少 12 步；问长和宽的和是多少步?）你回去慢慢算吧,什么时候算出来,什么时候再来”.说完便往椅子上一靠,闭目养起神来,心里却暗暗发笑：“小子一定犯难了,这道题老朽才刚刚理出点头绪（此题的解法一般要用到二次方程）,即使他懂得算学,那一年半载也是算不出来的.”谁料,正当老秀才闭目思量时,少年说话了：“老先生

53、,学生算出来了,长阔共 60 步.”“什么?！”老秀才一听,惊奇地从椅子上跳起来,一把夺过少年演算出来的草稿纸瞪大了眼睛看起来：“啊,这小子是从哪里学来的?居然用这么简单的方法就算出来了.妙哉！老朽不如.”老秀才转过脸来,对少年夸奖道：“神算,神算,怠慢了,请问高姓大名?”“学生杨辉,字谦光.”少年恭敬地回答.后来的事,同学们都能想象出来了,在老秀才的指导下,杨辉通读了许多古典数学文献,数学知识得到全面、系统地发展.经过不懈的努力,杨辉终于成了我国古代杰出的数学家,并享有数学“宋元第三杰”之誉.6第 12 级下优秀 A 版教师版(1)13 14912,14 151052,因此 100 在第 1

54、4 行,100-91+1=10,所以 100 是 14 行第 10 个数.(2)626319532,63 6420162,2016-2014+1=3,因此 2014 在第 63 行第 3 个数(3)1+2+3+19+5=195(4)1+2+3+20+21-8+1=224如图,按规律排列的三角形数阵(杨辉三角),那么第 10 行中左起第 3 个数是_【分析】第 n 行的第 3 个数为21nC ,因此第 10 行左起第 3 个数为2936C 1.按规律填空：32.25,64.5,129,516【分析】2582.一数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4请根据其规律指出第 100 个数是几?杯赛

55、提高家庭作业?处应填的数为_.99453936282172271821?137答案：72,99 数字和为 7+2+9+9=27；27,45 数字和为 18；18,39 数字和为 21；21,36 数字和为 12；12,28 数字和为 13；13,21 数字和为 7.答案为 12.7第 12 级下优秀 A 版教师版第 5 讲【分析】规律：1 个 1,2 个 2,3 个 3,n 个 n,1+2+3+13=91,1+2+3+14=105,因此第 100 个数是14.3.自然数按一定的规律排列如下：第 1 列第 2 列第 3 列第 4 列第 5 列第 1 行1491625第 2 行2381524第 3

56、 行5671423第 4 行1011121322第 5 行1718192021从排列规律可知,123 排在第行,第列【分析】第 1 行第一个数为列数的平方.2123111231212,因此第 11 列的第 1 个数为 121,123在第 12 行第 2 列.4.下图是一个由整数组成的三角形试研究它的组成规律,从而确定出 x 的数值*x61615646321601610161455542221110000011【分析】最后一行的数为 0,61,122,178,x 为 178.5.自然数按一定规律排成下表,则第 25 行的第 5 个数是_.12345678910 【分析】123245305.6.如

57、图,观察这个数表并找出它的规律,这个数表第 31 行的第 1 个数是_8第 12 级下优秀 A 版教师版252321191716141210975421【分析】发现这个数表的奇数行是奇数,偶数行是偶数,而 31 是个奇数,所以这一行的数必定是奇数.又数表的每一行的最后一个数就为这一行行数的平方,那么 30 行的最后一个数为 900,那么第 30 行的第 1 个数就为 901.1第 12 级下优秀 A 版教师版第 7 讲六年级秋季圆柱圆锥六年级秋季复合图形拆分六年级寒假几何模块综合选讲(一)六年级春季几何模块综合选讲(二)六年级春季几何模块综合选讲(三)复习长正方体，圆柱、圆锥，三视图，旋转问题

58、.漫画释义知识站牌第七讲几何模块综合选讲(三)2第 12 级下优秀 A 版教师版1、基本计算：立体图形表面积体积2222Srhr圆柱侧面积个底面积2Vr h圆柱22360nSlr圆锥侧面积底面积=注：l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长.(理解即可，不需要掌握)213Vr h圆锥体()2Sabacbca、b、c 分别为长方体的长宽高.Vabc或VSh26Sa(a 为正方体棱长)3Va或VSh2、三视图与空间想象：(1)积木块表面积的求法：三视图(是主视图、俯视图、左视图的总称).三视图法求表面积的口诀为：先俯后正侧检验；面积乘 2 加凹槽.三视图中，俯视图可能出现少木块的情况(2)正方体的

59、11 种展开图经典精讲3第 12 级下优秀 A 版教师版第 7 讲例 1：基本计算.例 2：简单的旋转.例 3：简单的组合图形计算.例 4：较复杂的组合图形计算.例 5：三视图与空间想象.(1)用一根 36 分米长的铁丝做一个长和宽都是 4 分米的长方体框架，它的高是_分米.(2)一个无盖的长方体水槽，长 5 米，宽 0.5 米，高 0.4 米，做这个水槽至少要铁皮_平方米.将它注满水，水的体积是_立方米.(3)两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5 厘米、4 厘米、3 厘米，把它们拼在一起可组成一个新长方体，在这些长方体中，表面积最小的是_平方厘米.(4)一个圆柱的底面半径为 2 厘米，

60、高为 5 厘米，则这个圆柱的表面积是_平方厘米,体积是_立方厘米.那么底面半径为 4 厘米，高为_厘米的圆锥和这个圆柱的体积相同(取3.14).【分析】(1)长+宽+高=3649,高=9421 分米.(2)长方体表面积:(50.50.50.40.45)9.4平方米,注意到水槽没有上面,9.450.56.9平方米;体积为50.50.41 立方米.(3)由于拼在一起可组成一个新长方体，所以拼接的两个面是完全相同的两个面，拼接成的长方体的面积，即等于原来的两个长方体的面积之和减去拼接在一起的两个面的面积，所以，在拼成的长方体中，表面积最小的为拼接的两个面的面积最大的情况，而原来的长方体中最大的面为

61、54这个面，所以，在拼成的这些长方体中，表面积最小的为：(54433 5)454218840148 (平方厘米).(4)圆柱表面积22252262.825.1287.92 平方厘米；体积22562.8 立方厘米；155 344 厘米.已知：如图，左边正方形的棱长为 4，右边正方形对角线长度为 6.如果按照图中所示的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是多少?例 2例 1例题思路4第 12 级下优秀 A 版教师版【分析】左边正方形旋转所围成的体积为：22416；右边正方形旋转所围成的体积为：21661834所以两者所围成的体积之比为 8:9.【想想练练】如图，ABCD 是矩形，6cmBC，1

62、0cmAB，对角线 AC、BD 相交 O E、F 分别是 AD 与 BC 的中点，图中的阴影部分以 EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米(取 3)?OFABCDEOFABCDE【分析】扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形两个圆锥的体积之和为2123530903(立方厘米)；圆柱的体积为2310270(立方厘米)，所以白色部分扫出的体积为 27090180(立方厘米)一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱，圆柱的底面周长是 12.56 米，高是 2 米，圆锥的高是 0.6米.求这个粮囤的体积是_立方米(取 3.14).例 35第 1

63、2 级下优秀 A 版教师版第 7 讲【分析】底面半径12.5623.142米，体积2212220.625.122.51227.6323立方米.【想想练练】如图所示，一个圆柱体的木料如果被切成四块，面积增加 48 平方厘米；如果被切成三块，面积增加 50.24 平方厘米；如果被削成一个最大的圆锥体，那么体积减少了_立方厘米(取 3.14).【分析】4248rh，2450.24r，解得 r=2，h=3.22223.142325.1233r h 立方厘米.求以下立体图形的体积和表面积(取 3)(单位：厘米).【分析】体积：238121220 81728192036484 立方厘米，表面积:34圆柱表

64、面积23(8228 12)7204，正方体表面积(208)1212 820 8220 12800 ，720+800=1520 平方厘米.例 46第 12 级下优秀 A 版教师版(1)已知：如图，将 15 个棱长为 1 厘米的正方体堆放在桌子上，把表面刷上红漆，则涂上红漆的部分面积是_平方厘米.(2)已知：如图，由 18 个棱长为 1 厘米的正方体重叠在一起，则它的表面积是_平方厘米.(3)思思在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如下左图，从侧面看如下右图，那么他最多用了_块木块，最少用了_块木块.阿基米德（公元前 287 年公元前 212 年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理

65、学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人。阿基米德流传于世的数学著作有 10 余种.其中方法论已经“十分接近现代微积分”，这里有对数学上“无穷”的超前研究，贯穿全篇的则是如何将数学模型进行物理上的应用。研究者们认为，“阿基米德有能力创造出伽利略和牛顿所创造的那种物理科学”。球与圆柱，熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的三分之二。在这部著作中，他还提出了著名的“阿基米德公理”。另一篇著作十四巧板组合数学的专家研究之

66、后，又有了惊人发现十四巧板中的十四巧板总共有 17152 种拼法可以得到正方形。十四巧板表明“希腊人完全掌握了组合数学这门科学的最早期证据”。“阿基米德羊皮书”提供的方法论和十四巧板这两篇阿基米德遗作的重新问世，确实可以说是“改写了科学史”。正因为他的杰出贡献，许多人都认为：任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两位通常是牛顿和高斯。例 57第 12 级下优秀 A 版教师版第 7 讲【分析】(1)涂上红漆的部分面积即为表面积，由三视图法，前面、后面面积均为 7，左面、右面面积均为 6，上面面积为 10，所以红色面积为2(76)21036()cm.如果题目问

67、未涂上红漆的面积为：90-36=542()cm.(2)(998)2254平方厘米.(3)从上往下看，分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数).321321223213001300203000最多 25，最少 9.【想想练练】(1)已知：如图，20 个棱长为 1 厘米的小正方体组成一个立体图形，它的表面积是_平方厘米.(2)已知：正视图和侧视图都如图所示，那么这个立体图形最少_块木块.(1)(2)【分析】(1)俯视图面积 11；侧视图面积 7；正视图面积 9；还有两个凹槽面积为 4，所以其表面积为(1179)2458平方厘米.(2)43212344+3+2+1+2+3+4=19 块.

68、8第 12 级下优秀 A 版教师版已知：如图所示(单位：厘米)长方体木块的长、宽、高分别为 3、2、1 厘米，6 个这样的长方体拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是_平方厘米.321【分析】每个长方体表面积为 22，6 个共 132；拼在一起时会失去几个表面；想要结果最大，失去的面应当小而少，结果使得图形变得“细长”；失去 10 个1 2 的面，最大值为13220112；想要结果最小，失去的面应当大而多，图形应尽量“正方”；失去 8 个32的面和 2 个3 3的面，最小值为132481866.1、基本计算：立体图形表面积体积有一个牛奶瓶，其下半部分是圆柱形，高度为整个瓶高的 34

69、；其上半部分形状不规则，占瓶高的 14.现在瓶内只剩一部分牛奶，在不打开瓶盖的情况下，利用一把直尺，怎样测定这些牛奶占整个牛奶瓶容积的几分之几(奶瓶的内径忽略不计)?答：先把奶瓶正放，用直尺量出瓶子里牛奶的高度记为 a；再把瓶子倒过来，量出从牛奶液面到瓶底的高度记为 b.所以 a+b 就是整个奶瓶容积的圆柱体高度。则牛奶占整个牛奶瓶容积的aab.知识点总结杯赛提高9第 12 级下优秀 A 版教师版第 7 讲2222Srhr圆柱侧面积个底面积2Vr h圆柱22360nSlr圆锥侧面积底面积=注：l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长.(理解即可，不需要掌握)213Vr h圆锥体()2Sabacb

70、ca、b、c 分别为长方体的长宽高.Vabc或VSh26Sa(a 为正方体棱长)3Va或VSh2、三视图与空间想象：(1)积木块表面积的求法：三视图(是主视图、俯视图、左视图的总称).三视图法求表面积的口诀为：先俯后正侧检验；面积乘 2 加凹槽.三视图中，俯视图可能出现少木块的情况(2)正方体的 11 种展开图1.分别求以下图形的体积(取 3).24610101056【分析】圆锥166248643.圆柱10 10103000.长方体：56 10300.2.已知直角三角形的三条边长分别为 3cm，4cm，5cm，分别以这三边为轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是_立方厘米(取3.14)

71、.【分析】以 3cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是 4 cm，高是 3cm 的圆锥体，体积为家庭作业10第 12 级下优秀 A 版教师版2314316(cm)3.以 4 cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是 3 cm，高是 4 cm 的圆锥体，体积为2313412(cm)3.以5cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高3 452.4 cm 的两个圆锥，高之和是 5cm 的两个圆的组合体，体积为2313.142.459.630.144(cm)3.3.张大爷去年用长 2 米、宽 1 米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤今年改用长 3 米宽 2米的长方形苇席围成容积最大的

72、圆柱形的粮囤则今年粮囤的容积是去年粮囤容积的_倍.【分析】底面周长是 3，半径是 32，2233()24所以今年粮囤底面积是234，高是 2同理，去年粮囤底面积是224，高是 12232(2)(1)4.5.44因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的 4.5 倍4.一个正方体的纸盒中，恰好能放入一个体积为 6.28 立方厘米的圆柱体，纸盒的容积是_立方厘米(取 3.14).【分析】圆柱的高与底面直径都等于正方体的棱长，即 6.28=3.14棱长22棱长所以(棱长)=6.28483.14，即纸盒的容积是 8 立方厘米.5.地上有一堆棱长为 1 厘米的小立方体，三视图如图所示，则这堆立方体共有_个，表面

73、积为_.俯视图正视图侧视图11第 12 级下优秀 A 版教师版第 7 讲【分析】210302011共 10 个，表面积为(666)2642平方厘米.6.一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高 2.5 厘米，玻璃杯内侧的底面积是 72 平方厘米在这个杯中放进棱长 6 厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块这时水面高_厘米.【分析】把放入铁块后的玻璃杯看作一个底面右图的新容器，底面积是 7266=36(平方厘米)水的体积是 722.5180(立方厘米)后来水面的高为 18036=5(厘米)1第 12 级下优秀 A 版教师版第 8 讲六年级秋季神奇的九六年级秋季数的进制六年级寒假数 论 模 块 综 合 选

74、讲（一）六年级春季数论模块综合选讲(二)六年级春季数论模块综合选讲(三)主要是对带余除法、余数性质、同余问题、中国剩余定理的复习和巩固.漫画释义知识站牌第八讲 数论模块综合选讲（三）2第 12 级下优秀 A 版教师版1.余数的定义一般地，如果a 是整数，b 是整数(0)b,若有 abqr ，或者 abqr,0rb；当0r 时，我们称a 能被b 整除；当0r 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以 b 的余数，q 为a 除以 b 的商2.同余若两个整数 a，b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a，b 对于模m 同余，用“同余式”表示为modabm意味着(我们假设 ab)abmk，k

75、是整数，即|mab若两个数 a，b 除以同一个数 c 得到的余数相同，则a，b 的差一定能被 c 整除3.余数的性质被除数 除数 商 余数；除数 (被除数 余数)商；商(被除数 余数)除数；余数小于除数如果,a b 除以 c 的余数相同，就称,a b 对于除数 c 来说是同余的，且有 a 与 b 的差能被 c 整除(,a b c 均为自然数)例如：17 与 11 除以 3 的余数都是 2，所以1711能被 3 整除 a 与b 的和除以c 的余数，等于,a b 分别除以 c 的余数之和(或这个和除以 c 的余数)例如：23,16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以(2316)除以 5 的余

76、数等于314 注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以 c 的余数例如：23,19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以(2319)除以 5 的余数等于(34)除以 5 的余数 a 与b 的乘积除以c 的余数，等于,a b 分别除以 c 的余数之积(或这个积除以 c 的余数)例如：23,16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以(23 16)除以 5 的余数等于3 13 注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以 c 的余数例如：23,19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以(23 19)除以 5 的余数等于(34)除以 5 的余数4.剩余问题四大绝招绝

77、招一：减同余例如 AaBbd,则有,NdA B n，而 N 的最小值是,NA Bd;绝招二：加同补例如：AaBbe;则有,NeA B n，而 N 的最小值是,NA Be;绝招三：中国剩余定理绝招四：逐步满足法经典精讲3第 12 级下优秀 A 版教师版第 8 讲模块一：例 1-3，带余除法模块二：例 4，同余模块三：例 5，剩余(1)一个数除以 18 的商为 5，余数为 6，则这个数为_.(2)除法算式208 中，被除数最小等于.(3)一个三位数除以 50，得余数 8，这样的三位数中，最大的是_.(4)两数相除，商 10 余 2，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 91，则被除数是_【分析】(

78、1)185+6=96.(2)本题的商和余数已经知道了，若想被除数最小，则需要除数最小即可，除数最小是8 19，所以本题答案为：20(8+1)+8=188.(3)因为最大的三位数为 999，999501949，所以满足题意的三位数最大为：999-49+8=958.(4)因 为 被 除 数 减 去 2 后 是 除 数 的 10 倍，所 以 根 据 和 倍 问 题 可 知，除 数 为91 102210 17（）（），所以，被除数为 7 10272.想想练练：两数相除，商 40 余 20，如果被除数和除数同时缩小 10 倍，所得的商和余数的和是_【分析】由商不变的性质可知，商还是 40，但余数会相应的

79、缩小 10 倍，例如：4020100=4020，40210=402.因此商和余数的和是 40+2=42.在下面的方格中分别填入除以 5，9，11 的余数.除以 5 的余数除以 9 的余数除以 11 的余数1643457326838939762438211+565037【分析】此题用的是“和余同余于余和，差余同余于余差，积余同余于余积，方余同余于余方”结果如下：例 2例 1例题思路4第 12 级下优秀 A 版教师版除以 5 的余数除以 9 的余数除以 11 的余数1643457132326838948839762433838211+564105037411注：差余同余于余差时，若是小减大，则需要

80、借数.方余同余于余方，实质是找周期.想想练练：数列 1，1，2，3，5，8，13中的第 30 项除以 7 的余数是_.【分析】和余同余于余和的应用.余数分别为 1，1，2，3，5，1，6，0，6，6，5，4，2，6，1，0，1，1，2发现余数以 16 个为周期.301614，周期中的第 14 个数为 6.因此余数是 6.(1)110 除以一个两位数，余数是 5求出符合条件的所有的两位数.(2)75 除以一个自然数，余数是 3，则这个自然数有多少种可能.【分析】(1)110-5=105，1053 57 共 8 个因数，但余数小于除数，因此符合要求的数为 15，21，35.(2)75-3=72，3

81、27223，共 12 个因数，但余数小于除数，因此要去掉 1，2，3 这三种可能，共有 12-3=9 种可能.想想练练：一个两位数除 325，余数是 52，求这样的两位数.【分析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题-即“不整除问题”转化为整除问题.方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数.本题中 325-52=273，说明 273 是所求余数的倍数，而 273=3713，所求的两位数因数还要满足比 52 大，符合条件的有 91.(1)幼儿园的老师给班里的小朋友送来 75 个桔子，112 个

82、苹果.平均分发完毕，还剩 1 个桔子，1 个苹果.这班里共有_位小朋友.(2)幼儿园的老师给班里的小朋友送来 40 个桔子，200 块饼干，120 块奶糖.平均分发完毕，还剩 4 个桔子，20 块饼干，12 粒奶糖.这班里共有_位小朋友.【分析】(1)75-1=74，112-1=111，小朋友的人数应是 74 和 111 的公因数，(74，111)=37，共有 37 位小朋友.(2)40-4=36，200-20=180，120-12=108.小朋友的人数应是 36，180，108 的大于 20 的公因数，只有 36.例 4例 35第 12 级下优秀 A 版教师版第 8 讲(1)某个两位数加上

83、3 后被 3 除余 1，加上 4 后被 4 除余 1，加上 5 后被 5 除余 1，这个两位数是_(2)某个两位数减去 2 是 3 的倍数，减去 3 是 4 的倍数，减去 4 是 5 的倍数，这个两位数是_(3)一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 6，则这个数最小为_.【分析】(1)“加上 3 后被 3 除余 1”其实原数还是余 1，同理这个两位数除以 4、5 都余 1，这样，这个数就是3，4，5+1=60+1=61(2)这个两位数加 1 就是 3，4，5 的倍数，因此这个数是3，4，5-1=59.(3)利用口诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得

84、知.(702+213+156)10583.费马数221n 人们一般把整数看作最基本的数，其它数都由整数衍生出来.然而专业的数学人士却不这么看，他们认为质数才是最基本的数，他们试想用一个公式能找出所有的质数.被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质.费马发现，设2()21nF n=，则当 n 分别等于 0、1、2、3、4 时，()F n 分别给出 3、5、17、257、65537，都是质数，由于5F 太大（54294967297F），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，()F n 都是质数，这便是费马数.但是，就是在5F 上出了问题！费马死后 67 年，25 岁的瑞

85、士数学家欧拉证明：54294967297641 6700417F，它并非质数，而是一个合数！更加有趣的是，之后人们发现随着 n 增大，很多数都不是质数.质数和费马开了个大玩笑！这又是一个合情推理失败的案例！同学们，寻找质数之旅就需要依赖大家的智慧啦！过去使用过这样的币制：12 便士相当于 1 先令，20 先令相当于 1 磅.如果我花了 3 磅 11 先令4 便士买了一所崭新的豪华居所，那么我付 5 磅的钞票应该找回我多少钱？【答案】1 磅 8 先令 8 便士例 56第 12 级下优秀 A 版教师版两个正整数相除，商是 7，余数是 5，如果被除数、除数都扩大到原来的4 倍，那么被除数、除数、商、

86、余数的和等于 1039.原来的被除数是多少，除数是多少?【分析】被除数 除数=7 余 5，如果被除数、除数都扩大到原来的 4 倍，那么商不变，但是余数也要变成原来的 4 倍，即 44720被除数除数余，这时，由题意有：447201039 被除数除数，化简可以得到253被除数除数，结合75被除数除数余，得 25357 131除数，25331222被除数.1.余数的定义一般地，如果a 是整数，b 是整数(0)b,若有 abqr ，或者 abqr,0rb；当0r 时，我们称a 能被b 整除；当0r 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以 b 的余数，q 为a 除以 b 的商2.同余若两个整数

87、a，b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a，b 对于模m 同余，用“同余式”表示为modabm意味着(我们假设 ab)abmk，k 是整数，即|mab3.余数的性质被除数 除数 商 余数；除数 (被除数 余数)商；商(被除数 余数)除数；余数小于除数和之余同余于余之和.差之余同余于余之差.积之余同余于余之积.4.剩余问题四大绝招绝招一：减同余绝招二：加同补绝招三：中国剩余定理绝招四：逐步满足法知识点总结杯赛提高7第 12 级下优秀 A 版教师版第 8 讲1.两数相除，商 7 余 4，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 79，则被除数是_【分析】因 为 被 除 数 减 去4 后 是 除

88、数 的 8倍，所 以 根 据 和 倍 问 题 可 知，除 数 为797447 18 （）（），所以，被除数为 8 7460 .2.一个数被 7 除，余数是 3，该数的 3 倍被 7 除，余数是_.【分析】余数是 337 的余数，为 2.3.2354735794 分别除以 5，8，9 的余数之和为_.【分析】2354735794243(mod 5）2354735794326(mod 8）23547357943 13(mod 9）余数之和为 3+6+3=12.4.100 除以一个自然数，余数是 4，则这个自然数有多少种可能.【分析】100-4=96，59623，共 12 个因数，但余数小于除数，因

89、此要去掉 1，2，3，4 四种答案，共有 12-4=8.5.老师给班里的学生发本子.一共 85 本数学本，130 本语文本.平均分发完毕，还剩 3 本数学本，7本语文本.这班里共有_位学生.【分析】85-3=82，130-7=123，(82，123)=41，共 41 名学生.6.一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，则满足条件的最小自然数为_.【分析】法 1：中国剩余定理”：(702+321+415)10553法 2：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用 7的倍数加 4，当 4 被加上两个 7 时得到 18，恰好除以 5 余 3，此时符

90、合后两个条件；再依次用 7 和 5 的最小公倍数的倍数加 18，当 18 被加上 1 个 35 时，得到 53，检验符合三个条件所以所求的最小自然数就是 53.家庭作业1第 12 级下优秀 A 版教师版第 9 讲六年级暑假最值问题综合六年级秋季数字谜中的计数六年级秋季抽屉原理进阶六年级寒假组合模块综合选讲（一）六年级春季组合模块综合选讲（二）对组合中最值问题，体育比赛，统筹问题，构造论证等问题的复习漫画释义知识站牌第九讲 组合模块综合选讲（二）2第 12 级下优秀 A 版教师版组合数学可以一般地描述为：组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门学科.简单来说组合数学解决的主要有

91、以下几个问题：1.是否存在?2.存在构造或论证3.不存在论证4.存在的话,上下限最值问题5.共有多少种情况计数6.哪种情况最佳统筹与最优化,必胜策略例 1：最值原理例 2：体育比赛例 3：统筹与最优化例 4：计数例 5：构造与论证(1)四边均为正整数,且周长为 100 米的长方形(包括正方形),面积最大为_,最小为_.(2)面积为 100 平方米,且四边均为正整数的长方形(包括正方形),周长最大为_,最小为_.【分析】(1)和一定,差小积大,差大积小.周长为 100,长与宽的和为 50,50=25+25=49+1,面积最大为225625平方米,最小为49 149 平方米.(2)积一定,差小和小

92、,差大和大.100=1001=1010,因此周长最大为2(100+1)=202米,最小为 2(10+10)=40 米.【想想练练】三个自然数的和是 19,它们的乘积最大可能是多少?【分析】在和相同的情况下,差越小,积越大.19667,乘积最大为667252.例题思路经典精讲例 13第 12 级下优秀 A 版教师版第 9 讲有 10 支队伍参加比赛：(1)如果采用单循环赛(每两队赛 1 场),需比赛_场.(2)如果进行淘汰赛(胜者继续比赛,负者下场)产生冠军,共需比赛_场.(3)如果进行双循环赛(每两队赛 2 场),需比赛_场.(4)如果在2-0 赛制下(胜者得 2 分,负者得0 分,无平局),

93、单循环赛结束后,所有队的总积分为_分,每个队的得分均为_(填“奇”或“偶”)数.(5)如果在2-1-0 赛制下(胜者得2 分,平局各得1 分,负者得0 分),单循环赛结束后,所有队的总积分为_分.(6)如果在3-1-0 赛制下(胜者得 3 分,平局各得 1 分,负者得 0 分),单循环赛结束后,所有队的总积分最高为_分,最低为_分.若最后总积分为 128 分,则出现了_场平局.【分析】(1)21045C场(2)每场淘汰一个,最终剩下一个,因此共比赛了 9 场.(3)双循环赛,每只队伍都比赛 9 场,因此共比赛了 90 场.(4)2-0 赛制下,每场总积分为 2 分,单循环共比赛了 45 场,因

94、此总积分为 452=90 分,2 和 0均为偶数,因此每个队的得分也均为偶数.(5)2-1-0 赛制下,每场总积分为 2 分,单循环共比赛了 45 场,因此总积分为 452=90 分.(6)3-1-0 赛制下,每场最高积 3 分(无平局),最低积 2 分(出现平局),总积分最高为 453=135分,最低为 90分.每出现一场平局,就会在最高分上减 1 分,135-128=7,若总积分为 128 分,则出现了 7 场平局.【想想练练】有 8 个队伍进行足球循环赛,每队都恰与其他队伍各赛一场,胜方得 3 分,负方得 0 分；若为平局,各得 1 分.比赛结束后,全部队伍的总得分为 80 分.比赛中有

95、_场比赛结果为平局.【分析】共赛 872=28场,最高能得 283=84分,一场平局总分减少一分,总分为80 分,共有84-80=4场平局.小明骑在牛背上赶牛过河.共有甲、乙、丙、丁 4 头牛.甲牛过河需要 1 分钟,乙牛过河需要 2 分钟,丙牛过河需要 5 分钟,丁牛过河需要 6 分钟.每次只能赶两头牛过河,那么小明要把这 4 头牛都赶到对岸,最少要用多少分钟?【分析】要想用最少的时间,4 头牛都能过河,保证时间最短：第一步：甲与乙一起过河,并由小明骑甲牛返回,共用：213(分钟)；第二步：返回原地的小明再骑丙与丁过河后再骑乙牛返回,共用了628(分钟)；第三步：最后小明骑甲与乙一起过河用了

96、 2 分钟；所以,小明要把这 4 头牛都赶到对岸,最少要用38213(分钟).例 3例 24第 12 级下优秀 A 版教师版abcde，五个人排成一排,a与b 不相邻,共有多少种不同的排法?【分析】法 1：插空法,先排 c,d,e,有33A 种排法.在 c,d,e 三个人之间有2 个空,再加上两端,共有 4 个空,a,b 排在这4 个空的位置上,a 与b 就不相邻,有24A 种排法.根据分步计数乘法原理,不同的排法共有323472A A(种).法 2：排除法,把 a,b 当作一个人和其他三个人在一起排列,再考虑 a 与b 本身的顺序,有4242A A种排法.总的排法为55A.总的排法减去 a

97、与 b 相邻的排法即为 a 与 b 不相邻的排法,应为54254272AA A(种).【想想练练】学校乒乓球队一共有 4 名男生和 3 名女生.某次比赛后他们站成一排照相,请问：(1)如果要求男生不能相邻,一共有多少不同的站法?(2)如果要求女生都站在一起,一共有多少种不同的站法?【分析】(1)要求男生不能相邻,则可以先排女生,然后把男生插进女生之间的空位里.因为有 3 名女生,考虑到两端也可以放人,所以一共有四个空位.则站法总数为：3434624144AA(种)(2)根据题意,采用捆绑法,将所有女生看成一个整体,则站法总数为：53531206720AA(种).中国邮递员问题著名图论问题之一。

98、邮递员从邮局出发送信，要求对辖区内每条街，都至少通过一次，再回邮局。在此条件下，怎样选择一条最短路线?此问题由中国数学家管梅谷于 1960 年首先研究并给出算法，故名。此问题类似于 TSP 问题。TSP 问题（Traveling Salesman Problem），即旅行商问题，是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访 N 个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值，这是一个 NP 难问题。TSP 的历史很久，最早的描述是 1759 年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋盘

99、中的 64 个方格，走访 64 个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。例 45第 12 级下优秀 A 版教师版第 9 讲今有长度为 1,2,3,198,199 的金属杆各一根.请问：能否用上全部的金属杆,不弯曲其中的任何一根,把它们焊接成：(1)一个正方体框架；(2)一个长方体框架?【分析】(1)总长(1 199)199219900,不是 12 的倍数,不能；(2)能,此时长方体框架的长、宽、高之和为19925,可以分别为 4577、199、199机器猫玩电子游戏,必须打过 10 关.在过第 6、7、8、9 关时分别得了 90、84、81、93 分,它过前 9 关所得的平均分数高于过前 5

100、 关所得的平均分数.如果机器猫想要在过 10 关后所得的平均分数超过 88分,那么,它在过第 10 关时至少要得_分(得分均为整数分).【分析】后四关的平均数为 87,所以前九关的平均分至少少了 10 分,第十关至少超过平均分 11 分,即99 分.1.用 24 根长 1 厘米的火柴棒围成一个矩形,这个矩形的面积最大是多少?如果用 22 根火柴棒呢?【分析】在和相同的情况下,差越小,积越大.2446,那么我们围成一个 66的正方形,面积最大,为36 平方厘米.而 22 不能被 4 整除,那么我们让这个矩形的长和宽尽量接近.22256,那如图每个小正方形的边是一根火柴棒，图中共有_根火柴棒，共有

101、_个正方形，至少去掉_根火柴棒，才能破坏掉所有的正方形.答案：有 452=40 根火柴棒，4433221=30 个正方形.一共有 16 个小正方形，每去掉 1 根火柴棒最多破坏两个小正方形，至少要去掉 8 根，但是要破坏最大的正方形要去掉边上的火柴棒，而去掉边上的火柴棒只能破坏 1 个小正方形，所以至少要去掉 9 根火柴棒，构造如右图.杯赛提高例 5家庭作业6第 12 级下优秀 A 版教师版么这个矩形的面积最大为5630.2.编号是 1,2,3,4,5,6,7 的七位选手参加象棋比赛,每两人都要比赛一场.其中有六位选手分别参加了1,2,3,4,5,6 场比赛,那么一共还有_场比赛没有进行.【分

102、析】共有 762=21 场.此时共进行了(6+5+4+3+2+1+3)2=12 场,剩余 9 场.3.有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥.此桥每次只能让 2 个人同时通过,否则桥会倒塌.过桥的人必须要用到手电筒,不然会一脚踏空.只有一个手电筒.4 个人的行走速度不同：小强用 1分钟就可以过桥,中强要 2 分钟,大强要 5 分钟,最慢的太强需要 10 分钟.17 分钟后桥就要倒塌了.请问：4 个人要用什么方法才能全部安全过桥?【分析】小强和中强先过桥,用 2 分钟；再由小强把电筒送过去,用 1 分钟,现在由大强跟太强一起过桥,用 10 分钟,过去以后叫中强把电筒送给小强用 2 分钟,最后小

103、强与中强一起过河再用 2 分钟,他们一起用时间：21 102217(分钟),正好在桥倒塌的时候全部过河.(时间最短过河的原则是：时间长的一起过,时间短的来回过.这样保证总的时间是最短的).4.5 名男生和 2 名女生在一起照相,要求女生站在一起,一共有多少种不同的站法?【分析】捆绑法,2!6!1440种5.有 12 根长木棍,长度分别为 1,2,3,4,12 厘米.(1)能否用这 12 根小木棍拼成一个正方形,要求木棍全用上且不能折断或弯曲.(2)能否用这 12 根小木棍拼成一个长方形,要求木棍全用上且不能折断或弯曲.【分析】(1)不可以.78419.5,不是整数.(2)可以.123.1278

104、,取四条边分别为：1 12211 13;34910567826.6.将 1 至 30 依次写成一排：1232930,形成一个多位数.从这个多位数中划掉 45个数字,剩下的数最大是多少?如果要求剩下的数首位不为 0,这个数最小是多少?【分析】1-30 共有921 251个数,去掉 45 个数,还剩 6 个数.要让剩下的数最大,那么我们让前面的数尽量是 9.1-30中共有 3 个数字 9.如果前3 位都是9,那么要划去 46 个数,显然是不行的.那么我们让第 3 位是 8.于是这个数最大是 998930.要让剩下的数最小,那么首位为1,其他尽量为 0.1-30 中共有3 个 0.但是第3 个 0 只能在最后一位,第 2 个 0 后,最小的 2 个数是 1,2.所以最小值为 100120.