1、第三节三角函数的图象与性质【知识重温】一、必记2个知识点1周期函数(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_，那么函数f(x)就叫做周期函数_叫做这个函数的周期(2)最小正周期，如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_，那么这个_就叫做f(x)的最小正周期2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域xRxRx|xR且xk，kZ值域_单调性_上递增，kZ；_上递减，kZ_上递增，kZ；_上递减，kZ_上递增，kZ最值x _时，ymax1(kZ)；x_时，ymin1(kZ)x_时，ymax
2、1(kZ)；x_时，ymin1(kZ)无最值奇偶性_对称性对称中心：_对称中心：_对称中心：_对称轴l：_对称轴l：_无周期性_二、必明2个易误点1三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结2研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易受基本函数影响，遗漏问题的多解，同时也可能忽视“kZ”这一条件【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x在第一、第四象限是增函数()(2)余弦函数ycos x的对称轴是y轴()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(4)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(5)ysin|x|是偶函数()
3、(6)若sin x，则x.()二、教材改编2下列关于函数y4sin x，x0,2的单调性的叙述，正确的是()A在0，上单调递增，在，2上单调递减B在0，上单调递增，在，2上单调递减C在0，及，2上单调递增，在，上单调递减D在，上单调递增，在0，及，2上单调递减3函数ycos(x)的最大值为_，此时x的集合为_三、易错易混4关于三角函数的图象，有下列说法：ysin|x|与ysin x的图象关于y轴对称；ycos(x)与ycos|x|的图象相同；y|sin x|与ysin(x)的图象关于x轴对称；ycos x与ycos(x)的图象关于y轴对称其中正确的是_(写出所有正确说法的序号)5函数y12si
4、n(x)的单调增区间是_四、走进高考62019全国卷下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是()Af(x)|cos 2x| Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos |x| Df(x)sin |x|三角函数的定义域自主练透型1y 的定义域为_2函数y的定义域为_3函数ylg(sin x) 的定义域为_悟技法求与三角函数有关的函数定义域的基本方法是“数形结合”，也就是在求这类函数定义域时，往往需要解有关的三角不等式，而解三角不等式的方法是：要么利用正、余弦曲线，正切曲线，要么利用单位圆等图形的直观形象来解决问题.考点二三角函数的值域与最值互动讲练型例1(1)2019全国卷函数f(x)si
5、n3cos x的最小值为_(2)函数ysin xcos xsin xcos x，x0，的值域为_悟技法三角函数最值或值域的三种求法(1)直接法：利用sin x，cos x的值域(2)化一法：化为yAsin(x)k的形式，确定x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题. 变式练(着眼于举一反三)1函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2 B0C1 D12函数f(x)sin在区间上的最小值为_考点三三角函数的性质互动讲练型考向一：三角函数的周期性例2函数f(x)(sin xcos x)(
6、cos xsin x)的最小正周期是()A. BC. D2考向二：三角函数的对称性例3已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则函数f(x)的图象()A关于直线x对称 B关于直线x对称C关于点对称 D关于点对称考向三：三角函数的单调性例4已知f(x)sin，x0，则f(x)的单调递增区间为_悟技法1.奇偶性与周期性的判断方法(1)奇偶性：由正、余弦函数的奇偶性可判断yAsin x和yAcos x分别为奇函数和偶函数(2)周期性：利用函数yAsin(x)，yAcos(x)(0)的周期为，函数yAtan(x)(0)的周期为求解2求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数
7、含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间.变式练(着眼于举一反三)32021贵阳市监测考试已知函数f(x)cos 2xsin 2x，则f(x)的单调递增区间是()Ak，k(kZ) Bk，k(kZ)Ck，k(kZ) Dk，k(kZ)4关于函数ytan，下列说法正确的是()A是奇函数B在区间上单调递减C.为其图象的一个对称中心D最小正周期为5若函数f(x)sin x(0)在上单调递增，在区间上单调递减，则_.第三节三角函数的图象与性质【知识重温】f(xT)f(x)T最小正数最小正数y|1y1y|1y1R(
8、2k1)，2k2k，(2k1)2k2k2k2k奇函数偶函数奇函数(k，0)，kZ，kZ，kZxk，kZxk，kZ22【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2解析：结合正弦函数ysin x，x0,2的图象可知C正确答案：C3解析：当cos(x)1，即x2k，kZ，即x4k，kZ时，函数y有最大值.答案：x|x4k，kZ4解析：对于，ycos(x)cos x，ycos|x|cos x，故其图象相同；对于，ycos(x)cos x，故其图象关于y轴对称；由图象(图略)可知均不正确故正确的说法是.答案：5解析：y12sin(x)12sin(x)令ux，根据复合函数的单调性知，所给函数
9、的单调递增区间就是ysin u的单调递减区间，解2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，故函数y12sin(x)的单调递增区间是2k，2k(kZ)答案：2k，2k(kZ)6解析：当x(，)时，2x(，)，由于f1(x)cos 2x在x(，)上单调递减，且cos 2x0，故f(x)|cos 2x|在(，)上单调递增f1(x)cos 2x的周期为，f(x)|cos 2x|的周期为，故A符合题意而f(x)|sin 2x|以为周期，在(，)上单调递减；f(x)cos|x|cos x的周期为2；f(x)sin|x|不是周期函数，故选A.答案：A课堂考点突破考点一1解析：要使函数有意义，则cos x，由三角函数图象可得：2kx2k，kZ.故函数y的定义域为x|2kx2k，kZ答案：x|2kx2k，kZ2解析：要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为x|xk，且xk，kZ答案：x|xk且xk，kZ3解析：要使函数有意义，则即解得所以2kx2k(kZ)所以函数的定义域为x|2kx2k，kZ答案：x|2k0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f(x)的周期，故，解得.解法二由题意，得f(x)maxfsin 1.由已知并结合正弦函数图象可知，2k(kZ)，解得6k(kZ)，所以当k0时，.答案：
