1、高三数学选填专题练习（31）培优冲刺（1）难度评估：困难 测试时间：60分钟一、单选题(共60分)1(本题5分)若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记下列命题中正确的是（ ）A已知，且，则B已知，则存在实数a，使得C已知，若，则对任意，都有D已知，则对任意的实数a，总存在实数b，使得2(本题5分)已知数列满足，若，则正整数k的值是（ ）A8B12C16D203(本题5分)如图，在平面四边形中，若点F为边上的动点，则的最小值为（ ）A1BCD24(本题5分)已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离为，把图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿轴向左平移个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2
2、倍得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为（ ）ABCD5(本题5分)四面体中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，则的取值范围是ABCD6(本题5分)已知函数，若的图象与的图象在上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）ABCD7(本题5分)已知，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8(本题5分)用长度分别为2,3,4,5,6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）ABCD9(本题5分)已知是各项均为正整数的数列，且，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为（ ）ABCD10(
3、本题5分)若点集，设点集，现向区域M内任投一点，则点落在区域P内的概率为（ ）A BCD11(本题5分)动点为椭圆上异于椭圆顶点，的一点，为椭圆的两个焦点，动圆与线段的延长线及线段相切，则圆心的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）A抛物线B椭圆C双曲线的右支D一条直线12(本题5分)若函数满足：，其中为的导函数，则函数在区间的取值范围为（ ）ABCD二、填空题(共20分)13(本题5分)已知向量，满足，且，则的取值范围是_.14 (本题5分)设数列的前项和为,已知,则_.15(本题5分)九章算术中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形
4、，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑，现将鳖臑沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是_.16(本题5分)如图，椭圆：的离心率为，F是的右焦点，点P是上第一角限内任意一点，若，则的取值范围是_参考答案1D【分析】A直接计算即可判断；B分类讨论判断；C举反例判断；D对任意的实数，求出满足条件即可【详解】对于A，于是或，A错；对于B，假设存在实数，使，若，矛盾，若，矛盾，若，矛盾，若，矛盾，若，矛盾，B错；对于C，取，则，但对任意，不成立，C错；对于D，对任意
5、的实数，只须满足，就有，从而，D对故选：D2B【分析】利用递推关系式计算数列各项的值，确定满足题意的k值即可.【详解】解：由题意结合递推关系式可得：，.故选：B.3B【分析】建立平面直角坐标系，设出点坐标，求得的表达式，进而求得的最小值.【详解】以为原点建立如图所示平面直角.依题意，在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.而，所以.在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.在三角形中，所以三角形是等边三角形，所以.所以，设依题意令，即，所以，所以，所以.对于二次函数，其对称轴为，开口向上，所以当时，有最小值，也即有最小值为.故选：B.4A【分析】化简函数，根据题意求得，得到，再结合三角函数的图象变换
6、，求得函数，最后结合三角函数的单调性，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数，因为函数的图象与轴的两个相邻交点的距离为，所以函数的最小正周期，所以，所以，将函数图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，可得再沿轴向左平移个单位长度，可得，最后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数，令，可得，因此，则，解得，所以实数的最大值为.故选：A.5C【详解】由于四面体的三组对棱分别相等，故可构造在长方体内的三棱锥(如图所示)，其中设长方体的三条棱长分别为，则有（1）由得，又，解得（2）由得，又，解得综上可得故的取值范围是故选：C6C【分析】由题意可得在上有两个不等实根，转化为，即原问题等价于与在上有两个交点，
7、然后利用导数求出的单调区间，画出函数图像，由图像可得要使与在上有两个交点，只要，从而可求出实数的取值范围【详解】解：关于轴对称的解析式为，因为的图像与的图像在上恰有两对关于轴对称的点，所以在上有两个不等实根，所以，所以，即，所以，令，则恒成立，所以在上单调递增，所以，即，所以，所以原问题等价于与在上有两个交点，由，得，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得最小值，当时，函数在上的图像如图所示，所以要使与在上有两个交点，只要，因为，所以，即实数的取值范围是，故选：C.7B【分析】若，则，利用函数的单调性可得反之不一定成立，例如取，即可得出其不成立【详解】解：若，则，又当时
8、，单调递增，反之不一定成立，“”不一定得出“”，例如取，则“”“”是“”的必要不充分条件故选：B8B【分析】利用海伦面积公式确定三角形面积的最大取法：三角形三边长最接近时面积最大，再确定三边长最接近的情况，最后求出对应三角形面积.【详解】设三角形的三边分别为，令，则由海伦公式得三角形的面积为，当且仅当时取等号，显然等于号取不到，所以,故当三边长最接近时面积最大，此时三边长为，用连接，连接各为一边，第三边长为组成三角形，此三角形面积最大，面积为故选：B.9B【分析】令，由题设易知或有一项为1，则，判断各项取值情况，进而求的最小值.【详解】当满足时，令，则或有一项为1，而，又是各项均为正整数的数列
9、，此时的最小值为，当满足时，时，因为，所以的最小值为20故选：B.10A【分析】先分析集合所表示的区域，将，转化为，结合集合，可得，作出集合所表示的区域，并计算出该区域的面积；对于集合所表示的区域，分析集合、表示的区域，把、代入，可得，分析可得集合所表示的区域形状与面积，根据几何概型的概率公式可计算出答案【详解】任取，得，由于点，则，所以，所以，表示的区域是以点，半径为的圆及其内部，其面积为；，集合所表示的区域是以、为顶点的正方形，把、代入，可得，集合所表示的区域是以集合的圆心在区域的边长移动，圆所覆盖的区域，区域的面积为，则向区域内任投一点，该点落在区域内的概率为，故选A11D【分析】由切线
10、长相等关系和椭圆定义可得，可知点横坐标为，由此可得轨迹为除去坐标轴上的点的一条直线.【详解】如图，设切点分别为由切线长相等可得：，由椭圆的定义可得：点与点重合 的横坐标是的轨迹是一条直线（除去点）故选：D.12D【分析】变换得到，代入数据计算得到，求导得到函数单调性，计算最值得到答案.【详解】由有，可得：，故有：，得（为常数），得，由，解得：.故，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.则当时，由，故所求取值范围为：.故选：D.13【分析】将转化为，两边平边再利用化简分析可求出的范围.【详解】因为，所以， 等式两边平方得，所以，所以，所以，当且仅当与共线时取等号，所以.故答案为：14240【详
11、解】由，当为奇数时，有；当为偶数时，数列的偶数项构成以为首项，以为公差的等差数列，则，故答案为.15【分析】当沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，A点翻折到E点，关于对称，所拼成的几何体为三棱锥，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解.【详解】当沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，A点翻折到E点，关于对称，所拼成的几何体为三棱锥,如图，由可得,即为正三角形，所以外接圆圆心为三角形中心，设三棱锥外接球球心为，连接，则平面，连接,在中作,垂足为，如图，因为,所以是的中点，由矩形可知,因为为三角形的中心，所以在中，,所以,故答案为：.16【分析】由于点在椭圆上运动时，与轴的正方向的夹角在变，所以先设，又由，可知，从而可得，而点在椭圆上，所以将点的坐标代入椭圆方程中化简可得结果【详解】设，则，由，得，代入椭圆方程，得，化简得恒成立，由此得，即，故故答案为：.
