1、3.4定积分与微积分基本定理1定积分的定义(1)如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点i(i1，2，n)作和式当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作_，即f(x)dx其中f(x)称为_，x称为_，f(x)dx称为_，a，b为_，a为积分下限，b为积分上限，“”称为积分号(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为_、近似代替、求和、_.2定积分的性质(1)kf(x)dx_(k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dx_；(3)f(x)dx_(其中acb)3微积分基
2、本定理一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x) ，那么f(x)dx_，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式常常把F(b)F(a)记作_，即f(x)dx_.4定积分在几何中的简单应用(1)当函数f(x)在区间a，b上恒为正时，由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S_.(2)当函数f(x)在区间a，b上恒为负时，由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S_.(3)当xa，b有f(x)g(x)0时，由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)，yg(x)围成的曲边梯
3、形(图丙中阴影部分)的面积S_.一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线yf(x)以及直线xa，xb之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数(4)若f(x)是偶函数，则f(x)dx_(其中a0)；若f(x)是奇函数，则f(x)dx_(其中a0)5定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V(t)，速度方向不变)在时间区间a，b上所经过的路程S_.(2)在变力FF(x)的作用下，物体沿力F的方向作直线运动，并且由xa运动到xb(ab)，则力F对物体所做的功W_.(3)在变
4、力FF(x)的作用下，物体沿与力F的方向成角的方向作直线运动，并且由xa运动到xb(ab)，则力F对物体所做的功W_.自查自纠1(1)f(x)dx被积函数积分变量被积式积分区间(2)分割取极限2(1)kf(x)dx(2)f1(x)dxf2(x)dx(3)f(x)dxf(x)dx3F(b)F(a)F(x)|F(b)F(a)F(x)|4(1)f(x)dx(2)f(x)dx(3)f(x)g(x)dx(4)2f(x)dx05(1)V(t)dt(2)F(x)dx(3)F(x)cosdx 定积分(2xex)dx的值为()Ae2 Be1 Ce De1解：(2xex)dx(x2ex)|(1e)(01)e.故选
5、C. 已知函数f(x) 则f(x)dx()A0 B1 C2 D3解：f(x)dx1dx2dxx|2x|(10)(42)3.故选D. ()若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx()A1 B C. D1解：f(x)dx为常数，不妨设af(x)dx.则f(x)x22a，a(x22a)dx|，a2a，a.故选B. ()曲线yx2与yx所围成的封闭图形的面积为_解：由题意画出图形如图，得到积分上限为1，积分下限为0，因此直线yx与曲线yx2所围图形的面积S(xx2)dx|.故填. 从平衡位置开始，如果1 N能拉长弹簧1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，需做功_ J.解：设F(x)kx，又F(0.01
6、)1，k100，W100xdx100x2|0.18 J，故填0.18.类型一计算简单函数的定积分计算下列定积分：(1)(3x22x1)dx；(2)dx；(3)(sinxcosx)dx.解：(1)(3x22x1)dx(x3x2x) |24.(2)dx|ln2.(3)(sinxcosx)dxsinxdxcosxdx(cosx) |sinx|2.【点拨】求定积分的步骤：把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；分别用求导公式找到F(x)，使得F(x)f(x)；利用牛顿一莱布尼兹公式求出各个定积分的值；计算所求定
7、积分的值计算下列定积分：(1)x(x1)dx；(2)dx；(3)(1cosx)dx.解：(1)x(x1)dx(x2x)dxx2dxxdxx3|x2|.(2)dxexdxdxex|lnx|e2eln2.(3)(1cosx)dx1dxcosxdxx|sinx|.类型二计算分段函数的定积分求|x22x|dx.解：|x22x|x22x|dx(x22x)dx(x22x)dx|8.【点拨】对分段函数f(x)求定积分，关键是找到分段点c后利用定积分性质f(x)dxf(x)dxf(x)dx求解求函数f(x) 在区间2，4上的定积分解：f(x)dx(2x1)dx(1x2)dx(x2x) |.类型三利用定积分求平
8、面图形的面积(1)dx_.解：根据定积分的几何意义，可知dx表示的是圆(x1)2y21的面积的(如图中阴影部分)故dx.故填.(2)由抛物线yx21，直线x0，x2及x轴围成的图形面积为_解：如图所示，由yx210，得抛物线与x轴的交点分别为(1，0)和(1，0)所以S|x21|dx(1x2)dx(x21)dx|2.故填2.【点拨】用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积应注意：对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化()直线l过抛物线C：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A. B2 C. D.解：由已知得l：y1，解
9、方程组 得交点坐标为(2，1)，(2，1)如图阴影部分，由于l与C围成的图形关于y轴对称，所以所求面积S2dx2|2.故选C.类型四定积分在物理中的简单应用一质点在直线上从时刻t0开始以速度v(t)t24t3(m/s)做减速运动，则质点初次减速到0时经过的路程为_ m.解：由v(t)t24t3(t1)(t3)0，得t1或3(舍去)所以路程s(t24t3)dt|(m)故填.【点拨】物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间()设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且方向和x轴正向相同，则变力F(x)
10、对质点M所做的功为_J(x的单位：m，力的单位：N)解：变力F(x)x21使质点M沿x轴正向从x1运动到x10所做的功为WF(x)dx(x21)dx|342(J)故填342.1用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F(x)f(x)的函数F(x)，可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)2利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值3利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为
11、定积分来解决1定积分3xdx的值为()A3 B1 C. D.解：3xdxx2|.故选C.2.|x|dx等于()A1 B1 C. D.解：|x|dx(x)dxxdxx2|x2|2.故选D.3由直线x，x2，曲线y及x轴所围成图形的面积为()A. B. C.ln2 D2ln2解：因为所围图形在x轴的上方，所以S2dxlnx|2ln2ln2ln2.故选D.4()一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v(t)5t(t的单位：s，v的单位：m/s)紧急刹车至停止在此期间火车继续行驶的距离是()A55ln10 m B55ln11 mC1255ln7 m D1255ln6 m解：令5t0，
12、注意到t0，得t10，即经过的时间为10 s；行驶的距离sdt5tt255ln(t1)|55ln11，即紧急刹车后火车继续行驶的路程为55ln11 m故选B.5若y(sintcostsint)dt，则y的最大值是()A1 B2 C D0解：y(sintcostsint)dtsintdtsin2tdt(cost) |cosx1cos2x(cosx1)22，故当cosx1时，ymax2.故选B.6()在平面直角坐标系中，记抛物线yxx2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线ykx(k0)所围成的平面区域为A，向区域M内随机投一点P，若点P落在区域A内的概率为，则k的值为()A. B. C. D
13、.解：令xx20得x0或x1，令kxxx2得x0或x1k.M的面积为(xx2)dx|，A的面积为(xx2kx)dx(x2x3x2)|(1k)3，k.故选A.7()设函数f(x)ax2b(a0)，若f(x)dx3f(x0)，则x0_.解：因为f(x)dx(ax2b)dx|9a3b，3f(x0)3ax3b，所以9a3b3ax3b，所以x3，x0.故填.8.dx_.解：dxdxxdx，xdx，dx表示四分之一单位圆的面积，为，所以计算结果是.故填.9计算下列定积分的值：(1)dx；(2)|x2x|dx.解：(1)被积函数y，即x2y21，y0.根据定积分的几何意义，所围成的图形如图所示，dx.(2)
14、|x2x|dx(x2x)dx(xx2)dx(x2x)dx|.10有一动点P，在时间t时的速度为v(t)8t2t2(m/s)求从t0到t4时，点P经过的路程解：由v(t)8t2t22t(4t)，可知当0t4时，v(t)0.因此，路程S(8t2t2)dt|(m)11在曲线yx2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.试求切点A的坐标及过切点A的切线方程解：如图所示，设切点A(x0，y0)，由y2x，得过点A的切线方程为yy02x0(xx0)，即y2x0xx.令y0，得x，即C.设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，S曲边AOBdxx3x，SABCxx.Sxxx.
15、x01，从而切点A(1，1)，切线方程为y2x1. 抛物线y22x与直线y4x围成的平面图形的面积为_解：如图所示，所求面积SSASB，解方程组 得交点坐标为(2，2)，(8，4)A部分：由于抛物线的上半支方程为y，下半支方程为y，所以：SA()dx2xdx2x|.B部分：SB4x()dx|.于是S18.故填18.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1()函数f(x)cosx，则f(1)()A B C0 D.解：f(x)sinxsinx.f(1).故选A.2已知曲线ylnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A3 B2 C1
16、D.解：y，令，解得x1或x2(舍去)故选C.3()函数f(x)xexex1的单调递增区间是()A(，e) B(1，e)C(e，) D(e1，)解：f(x)exxexex1ex(1xe)，由f(x)0得xe1.故选D.4()函数f(x)x33x22在区间1，1上的最大值是()A2 B0 C2 D4解：f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或2.f(x)在1，0)上是增函数，在(0，1上是减函数f(x)在区间1，1上的最大值为f(0)2.故选C.5()已知f(x)x2sin，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图象是()解：f(x)x2cosx，f(x)xsinx，令g(x)f(x)，则g
17、(x)为奇函数，排除B，D；由g(x)cosx知g(x)在上单调递减，排除C.故选A.6定积分(16x2)dx的值等于()A半径为4的球的体积B半径为4的四分之一球的体积C半径为4的半球的体积D半径为4的球的表面积解：(16x2)dx|，等于半径为4的半球的体积，故选C.7()设aR，若函数yexax，xR，有大于1的极值点，则()Aa1 Ca解：由yexa0得exa，函数有大于1的极值点，aex.故选C.8已知函数f(x)在R上可导，且f(x)x22xf(2)，则f(1)与f(1)的大小关系为()Af(1)f(1) Bf(1)f(1)Cf(1)f(1) D以上答案都不对解：f(x)2x2f(
18、2)，f(2)42f(2)，得f(2)4，f(x)x28x，f(1)9，f(1)7，f(1)f(1)故选B.9一质点运动时速度(v)与时间(t)的关系为v(t)t2t2，质点直线运动，则此质点在时间1，2内的位移为()A. B. C. D.解：质点在时间1，2内的位移为(t2t2)dt|.故选A.10设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()解：因为函数f(x)在x2处取得极小值，可得f(2)0，且当x(a，2)(a2)时，f(x)单调递减，即f(x)0.所以函数yxf(x)在x(a，2)内的函数值为正，在区间(2，b)内
19、的函数值为负，由排除法可得只有选项C符合，故选C.11()若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1，其导函数f(x)k1，则下列结论中一定错误的是()Af BfCf Df解：令h(x)f(x)kx1，则h(x)f(x)k0，即h(x)在R上单调递增，而h(0)0，0，h0，得f，C项一定错误也可用特值法(如令f(x)2x1及f(x)10x1等排除A，B，D)故选C.12()设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是()A. B.C. D.解：由a1，易知存在整数x00，使得ex0(2x01)ax0a.设g(x)ex(2x1)，h(x)a
20、xa，则g(x)ex(2x1)可得g(x)在上单调递减，在上单调递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示，若存在唯一整数x0，使得f(x0)0，还须满足 即 a1.故选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13()已知直线y2x1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_解：yln(xa)，y，设切点为(x0，y0)，则y02x01，y0ln(x0a)，且2，解之得a.故填.14()已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x22x3)f(x)0的解集为_解：由yf(x)的图象可得yf(x)的大致图象如图f(x)0x1或x1；f(x)01x1.而x22x30的解为x3或
21、x1；x22x30的解为1x3.原不等式的解为x3或x1或1x1.故填(，1)(1，1)(3，)15已知函数yf(x)的图象是折线段ABC，其中A(0，0)，B，C(1，0)，函数yxf(x)(0x1)的图象与x轴围成的图形的面积为_解：根据题意得f(x) 从而得到yxf(x) 所以函数yxf(x)与x轴围成的图形面积为S010x2dx1(10x210x)dxx3|0|1.故填.16()若函数f(x)x2x1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是_解：若函数f(x)在区间上无极值，则当x时，f(x)x2ax10或f(x)x2ax10恒成立当x时，易得yx的值域是.当x时，f(x)x2ax10，
22、即ax恒成立，a2；当x时，f(x)x2ax10，即ax恒成立，a.因此要使函数f(x)在 上有极值点，实数a的取值范围是.故填.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)函数f(x)(aR)(1)若f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为，求实数a的值；(2)若f(x)在x1处取得极值，求实数a的值解：(1)f(x)，若f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为，则f(1).所以f(1)，得a1.(2)若f(x)在x1处取得极值，则f(1)0，即0，得a3，经检验，合题意18(12分)已知函数yx33ax23bxc在x2处有极值，且其图象在x1处的切线斜率为3.(1)求函
23、数的单调区间；(2)求函数的极大值与极小值的差解：(1)y3x26ax3b，由题意得y|x21212a3b0，y|x136a3b3，解得a1，b0，所以yx33x2c，y3x26x.令y0，得x0或x2，函数的单调递增区间是(，0)，(2，)；单调递减区间是(0，2)(2)由(1)可知函数在x0处取得极大值c，在x2处取得极小值c4，函数的极大值与极小值的差为c(c4)4.19(12分)()设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围解：(1)f(x)，f(x)在x0
24、处取得极值，f(0)0，解得a0.当a0时，f(x)，f(x)，f(1)，f(1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化为3xey0.(2)解法一：由(1)可得f(x)，令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0，解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，此时函数f(x)为减函数；当x1xx2时，g(x)0，即f(x)0，此时函数f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0，此时函数f(x)为减函数由f(x)在3，)上为减函数，可知x23，解得a.故a的取值范围是.解法二：由f(x)在3，)上为减函数，f(x)0在3，)上恒成立，可得a，在3，)上
25、恒成立令u(x)，u(x)0，u(x)在3，)上单调递减，au(x)maxu(3)，故a的取值范围是.20(12分)某景区为提高经济效益，现对景区进行升级改造，经过市场调查，旅游收入增加y万元与投入x(x10)万元之间满足：yf(x)ax2xbln，a，b为常数当x10万元时，y19.2万元；当x20万元时，y35.7万元(参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6)(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点升级改造后利润增加的最大值(利润增加值旅游收入增加值投入)解：(1)由条件解得a，b1.则f(x)xln(x10)(2)设T(x)f(x)xxln(x10)则T(x).令T(x)0，
26、得x1(舍)或x50.T(x)在10，50)上是增函数；在(50，)上是减函数，x50为T(x)的极大值点即该景点改造升级后利润T(x)的最大值为T(50)24.4万元21(12分)()已知函数f(x)ln.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求证：当x(0，1)时，f(x)2；(3)设实数k使得f(x)k对x(0，1)恒成立，求k的最大值解：(1)由0得1x1.因此f(x)ln(1x)ln(1x)，所以f(x)，f(0)2.又因为f(0)0，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y2x.(2)证明：令g(x)f(x)2，则g(x)f(x)2(1x2)，因为
27、g(x)0(0x1)，所以g(x)在区间(0，1)上单调递增所以g(x)g(0)0，x(0，1)，即当x(0，1)时，f(x)2.(3)由(2)知，当k2时，f(x)k对x(0，1)恒成立当k2时，令h(x)f(x)k，则h(x)f(x)k(1x2)，所以当0x时，h(x)0，因此h(x)在区间上单调递减当0x时，h(x)h(0)0，即f(x)k.所以当k2时，f(x)k并非对x(0，1)恒成立综上可知，k的最大值为2.22(12分)()已知函数f(x)(e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数(x)xf(x)tf(x)，存在实数x1，x20，1，使得2(x1)(x2)
28、成立，求实数t的取值范围解：(1)函数的定义域为R，f(x)，当x0，当x0时，f(x)0，f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，)(2)假设存在x1，x20，1，使得2(x1)(x2)成立，则2(x)min(x)max(x0，1)(x)xf(x)tf(x)ex，(x).当t1时，在0，1上(x)0，(x)在0，1上单调递减，2(1)31.当t0时，在0，1上(x)0，(x)在0，1上单调递增，2(0)(1)，即t32e0.当0t1时，若x0，t)，(x)0，(x)在(t，1上单调递增，所以2(t)max(0)，(1)，即2max，(*)由(1)知，g(t)2在0，1上单调递减
29、，故22，而，所以不等式(*)无解综上所述，t的取值范围是(，32e).第四章三角函数(基本初等函数()1.基本初等函数(三角函数)(1)任意角、弧度制了解任意角的概念和弧度制的概念能进行弧度与角度的互化(2)三角函数理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出ysinx，ycosx，ytanx的图象，了解三角函数的周期性理解正弦函数、余弦函数在0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tanx.了解函数yAsin(x)的物理
30、意义；能画出函数yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型2三角恒等变换(1)两角和与差的三角函数公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)3解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
