1、双曲线综合必刷题（一）一、解答题1已知椭圆：（）的左、右两焦点分别为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，(1)若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；(2)若点到直线的距离不小于，求椭圆的离心率的取值范围2在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线.（1）求中点的轨迹曲线的方程；（2）斜率为的直线过点且与曲线交于、两点，求的面积.3已知双曲线C的两个焦点分别为，渐近线方程为（1）求双曲线C的方程；（2）若过点的直线与双曲线的左支有两个交点，且点到的距离小于1，求直线的倾斜角的范围4已知抛物线，直线交抛物线C于M、N两点，且线段中点的纵坐标为2(1)求抛物线
2、C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点，且与抛物线C有两个交点A，B，都有抛物线C的焦点F在以为直径的圆内？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由5已知抛物线C：（）的焦点为F，原点O关于点F的对称点为Q，点关于点Q的对称点，也在抛物线C上（1）求p的值；（2）设直线l交抛物线C于不同两点AB，直线与抛物线C的另一个交点分别为MN，且，求直线l的横截距的最大值.6已知圆的圆心为，过点作直线与圆交于点、，连接、，过点作的平行线交于点；(1)求点的轨迹方程；(2)已知点，对于轴上的点，点的轨迹上存在点，使得，求实数的取值范围7已知椭圆的右焦点为F，离心率为e，从第一象限内椭圆上一点P向x
3、轴作垂线，垂足为F，且tanPOFe，POF的面积为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l/PO，椭圆C与直线l的交于A，B两点，求APB的面积的最大值8已知椭圆过点，椭圆的焦距为2（1）求椭圆的方程；（2）设直线过点，且斜率为，若椭圆上存在两点关于直线对称，为坐标原点，求的取值范围及面积的最大值9已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率为.(1)求双曲线的方程；(2)若有两个半径相同的圆，它们的圆心都在轴上方且分别在双曲线的两条渐近线上，过双曲线右焦点且斜率为的直线与圆都相切，求两圆圆心连线的斜率的范围10已知椭圆的两个焦点为，椭圆上一点，满足（1）求椭圆的方程；（2）若直
4、线与椭圆有不同交点，且为坐标原点），求实数的取值范围11椭圆中心在原点，焦点在轴上， 、分别为上、下焦点，椭圆的离心率为， 为椭圆上一点且（1）若的面积为，求椭圆的标准方程；（2）若的延长线与椭圆另一交点为，以为直径的圆过点， 为椭圆上动点，求的范围12如图，椭圆C：(ab0)，圆O：x2y2b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：ykxb分别交圆O、椭圆C于不同的两点P，Q，设.(1)若点P(3，0)，点Q(4，1)，求椭圆C的方程；(2)若3，求椭圆C的离心率e的取值范围13已知椭圆：（）的长半轴长为(1)若椭圆经过点，求椭圆的方程；(2)为椭圆的右顶点，椭圆上存在点，使得求椭圆的离心率的取值范
5、围14已知椭圆经过点M（2，1），离心率为过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q(1)求椭圆C的方程；（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论15已知点是椭圆上的一点，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线交椭圆于，两点，且，三点互不重合.（1）求椭圆的方程；（2）若，分别为直线，的斜率，求证：为定值.16已知椭圆：离心率为，点在椭圆上，点坐标，直线：交椭圆于、两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）求的面积.17在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆相切于点（点在第一象限），过原点
6、作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.18设抛物线，为的焦点，过的直线与交于两点.（1）设的斜率为，求的值；（2）求证：为定值.19已知椭圆的右焦点为，离心率，点A、B分别是椭圆E的上、下顶点，O为坐标原点.（1）求椭圆E的方程；（2）过F作直线l分别与椭圆E交于C、D两点，与y轴交于点P，直线AC和BD交于点Q，求的值.20已知椭圆的中心为原点，离心率，焦点，斜率为的直线与交于两点（1）若线段的中点为为上一点，且成等差数列，求点的坐标；（2）若过点轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由21已知椭圆C：()的离心率为，短轴一个端点到右焦点
7、F的距离为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F的直线l交椭圆于AB两点，交y轴于P点，设，试判断是否为定值？请说明理由.22在平面直角坐标系中，直线与椭圆相交于、两点，与圆相交于、两点(1)若，求实数的值；(2)求的取值范围23在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和(1)求点P的轨迹C；(2)设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值24已知抛物线，过点作直线，满足与抛物线恰有一个公共点，交抛物线于两点.(1)若，求直线的方程；(2)若直线与抛物线和相切于点，且的斜率之和
8、为0，直线分别交轴于点，求线段长度的最大值.25已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点（不同于点）.（1）求椭圆的方程；（2）当的面积时，求直线的方程；（3）求的范围.26已知椭圆的离心率，为椭圆上一点.(1)求椭圆的方程；(2)已知为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆(异于椭圆顶点)于、两点，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.27已知椭圆中心为原点，离心率，焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过定点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.28已知P为圆：上一动点，点坐标为，线段的垂直平分线交直线于
9、点Q.（1）求点Q的轨迹方程；（2）已知，过点作与轴不重合的直线交轨迹于两点，直线分别与轴交于两点.试探究的横坐标的乘积是否为定值，并说明理由.29设椭圆，椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点椭圆的离心率为（1）求椭圆E的标准方程；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重合），证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值30已知椭圆经过点，且右焦点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过且斜率存在的直线交椭圆于、两点，记，若的最大值和最小值分别为、，求的值.31已知椭圆的左、右焦点分别为和，椭圆上任意一点，满足的最小值为，过作垂直于椭圆长轴的弦长为3(1)求椭
10、圆的方程；(2)若过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.1(1)(2)(1)由题意及椭圆的定义，得，又，故椭圆的标准方程为(2)设，可得点到直线的距离为，由题意知，故，从而，即，即椭圆的离心率的取值范围是2（1）；（2）.【详解】（1）设，则，曲线.（2）因为斜率为的直线过点所以直线，联立得，.设，则，又点到的距离，.3（1）；（2），【详解】（1）由题意设双曲线的方程为，双曲线的两个焦点分别为，、，渐近线方程为，双曲线的方程；（2）设直线方程为，过点，的直线与双曲线的左支有两个交点，或点到的距离小于1，直线的倾斜角的范围是，4(1)；(2)存在满足题意正数，且(1)设，由得，则，由题意，所以
11、抛物线方程为；(2)假设存在满足题意的点，显然直线的斜率存在，设直线方程为，由得，时直线与抛物线没有两个交点，由，因为，恒成立，设，则，焦点F在以为直径的圆内，则，恒成立，因为，所以，又所以所以存在满足题意正数，且5（1）；（2）最大横截距为.【详解】（1）由题知，故，代入C的方程得，；（2）设直线l的方程为，与抛物线C：联立得，由题知，可设方程两根为，则，（*）由得，又点M在抛物线C上，化简得，由题知M，A为不同两点，故，即，同理可得，将（*）式代入得，即，将其代入解得，在时取得最大值，即直线l的最大横截距为.6(1)（）(2).(1)，故，即，故轨迹为椭圆，故，故轨迹方程为：（）.(2)设
12、，则，即，即，即，设，.故实数的取值范围为.7(1)(2)(1)解：设椭圆C的焦距为2c令，得，因为点P在第一象限，解得，所以，所以，因为的面积为，解得，所以椭圆C的标准方程(2)解：因为，所以可设l：因为直线，所以由得因为，所以且因为，点P到直线l的距离，所以的面积，当且仅当时等号成立，所以的面积最大值为8（1）；（2）；【详解】（1）椭圆过点，椭圆的焦距为2，解得，椭圆C的方程为（2）由题意，设直线的方程为，,由，整理化简可得，即，且，线段AB中点的横坐标，纵坐标，将，代入直线l方程可得，由可得，又，且原点到直线的距离，当时，的最大，且最大为，此时，故当时，的最大值为9（1）；（2）.【详
13、解】解：（1）由抛物线y24x得焦点（1，0），得双曲线的c1又，a2+b2c2，解得，双曲线的方程为（2）直线l的方程为x+y10由（1）可得双曲线的渐近线方程为y2x由已知可设圆C1：（xt）2+（y2t）2r2，圆C2：（xn）2+（y+2n）2r2，其中t0，n0因为直线l与圆C1，C2都相切，所以，得直线l与t+2t1n2n1，或t+2t1n+2n+1，即n3t，或n3t2，设两圆C1，C2圆心连线斜率为k，则k，当n3t时，；当n3t2时，t0，n0，故可得2k2，综上：两圆C1，C2圆心连线斜率的范围为（2，2）10（1）；（2）.【详解】解：（1）由题意得：设，则，因为，所以所
14、以，又再椭圆上，所以，又解得，椭圆方程为（2）由，消去整理得设，所以，解得则，解得11（1）（2）【详解】试题分析：（1）根据与椭圆的对称性可得为椭圆的左、右顶点，再由题设条件列出方程组，即可求出椭圆的方程；（2）由离心率得出之间的关系，由为直径的圆过点，可得点横坐标，再根据三点共线，求出点纵坐标，将点坐标代入到椭圆方程化简可求出的值，即可得到椭圆方程，设点，根据向量坐标表示出，根据取值范围即可求出的范围.试题解析：（1）由椭圆的对称性可知，为椭圆的左、右顶点，可设，解得（2）椭圆的离心率为，则，以为直径的圆过点，又的延长线与椭圆另一交点为，则、三点共线，又在椭圆中，则代入椭圆方程有，设椭圆上
15、动点，则， ，12(1)(2)e1(1)由P在圆O：x2y2b2上，得b3.又点Q在椭圆C上，得，解得a218，所以椭圆C的方程是.(2)由得x0或xP.由得x0或xQ.因为，3，所以，所以，即，所以k24e21.因为k20，所以4e21，即e，又0e1，所以e1.13(1)(2)(1)由题意可得：，又椭圆过，解得故椭圆的方程为(2)由（1）知：，设，则由，则，即联立，解得由，即，故，解得，于是，即，即，即故椭圆的离心率的取值范围是14（1）（2）见解析【详解】(1)由题设，得1，且，由、解得a26，b23，故椭圆C的方程为1.(2)设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为k，记P(x1，y1
16、)、Q(x2，y2)设直线MP的方程为y1k(x2)，与椭圆C的方程联立，得(12k2)x2(8k24k)x8k28k40，则2，x1是该方程的两根，则2x1，即x1.设直线MQ的方程为y1k(x2)，同理得x2.因y11k(x12)，y21k(x22)，故kPQ1，因此直线PQ的斜率为定值15（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由双曲线方程易得双曲线的离心率为，则椭圆的离心率，将代入，得 ，又，解得，所以椭圆C的方程；（2）证明：设直线的方程为，又，三点不重合，设，则由消去 ，整理得 ，所以，则 ，设直线，的斜率分别为，则 所以，即直线，的斜率之和为定值.16（1）；
17、（2）.【详解】解：（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为（2）设，中点为，由得，得，所以，由，有，所以，得， 所以，此时，点到直线：的距离，所以的面积.17（1）；（2）是定值， .【详解】解：（1）由题意知椭圆的方程为（2）设直线的方程为过原点且与平行的直线的方程为椭圆的右焦点，由整理得到直线的方程为，联立为定值18（1）5；（2）证明见解析.【详解】（1）依题意得，所以直线的方程为.设直线与抛物线的交点为，由得，所以，.所以.（2）证明：设直线的方程为，直线与抛物线的交点为，由得，所以，.因为.所以为定值.19（1）；（2）1.【详解】（1），椭圆.（2）易知l的斜率存在且不为0，设，
18、由，设点，则，由A、Q、C三点共线，由B、Q、D三点共线，上面两式相除得：，结合图形易知与同号，即为定值1.20（1）；（2）存在这样的点Q满足题意，且坐标为，理由见解析【详解】（1）依题意设椭圆的标准方程为，又，所以，所以，设，则，因为，所以，同理，所以，又成等差数列，故，. （2）假设存在这样的点，且设，又，联立消去并整理得，所以，即，因为，所以与倾斜角互补，所以，对任意实数恒成立，所以，故存在这样的点，且21（1）；（2）存在，定值为.【详解】（1）由题可得，又，所以因此椭圆方程为（2）由题可得直线斜率存在，设直线l的方程为，由消去y，整理得：，设，则，又，则，由可得，所以同理可得，所以
19、所以，为定值.22(1)(2)(1)解：因为，且圆的半径为，所以点到直线的距离所以，解得(2)解：设、，由，消整理得，所以，所以设圆心到直线的距离为，所以，所以，则，所以，.所以的取值范围为23(1)答案见解析(2)(1)设点P的坐标为（x，y），由题设则当x2时，由得，化简得当x2时由得化简得故点P的轨迹C是椭圆C1：在直线x=2的右侧部分与抛物线C2：在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，(2)易知直线与的交点都是，直线的斜率分别为，当点在上时，当点在上时，若直线的斜率存在，则直线的方程为，（1）当或，即或时，直线与轨迹的两个交点都在上，此时,从而，由得，则是这个
20、方程的两根，所以，因为当或时，当且仅当时，等号成立；（2），时，直线与轨迹的两个交点分别在上，不妨设在上，在上，此时,设直线与椭圆的另一交点为，则，所以，而点都在上，且，由（1），所以，若直线的斜率不存在，则，此时；综上所述，线段MN长度的最大值为24(1)或或.(2)(1)由题设，抛物线为，且的斜率一定存在，令为，当时显然满足题设，此时，若，则，可得或，综上，为或或.(2)由题设，显然的斜率存在且不可能为0，设为，则为，与抛物线和相切于点，联立方程并整理得，可得，易知，联立与抛物线可得：，则，且，在抛物线上，故，则， 直线：，则，同理，又，故当时，.25（1）（2）或.（3）【详解】（1）设
21、椭圆方程为，由已知，所以，椭圆方程为.（2）椭圆右焦点，设直线方程为.由，得.显然，方程的.设，则有，.由的面积，解得：.所以直线方程为，即或.（3）设的坐标，则，故，因为，所以的范围为.26（1）；（2）是，.【详解】(1)由已知,解得所以椭圆的方程为(2)由(1)可知依题意可知直线的斜率不为，故可设直线的方程为由，消去整理得设，则，不妨设，同理所以即.27（1）；（2）存在；答案见解析.【详解】解：（1），所以椭圆的标准方程：.（2）假设存在这样的点，且设，直线，联立得，.设，则，.若成立，则直线与的倾斜角互补，斜率互为相反数，即.即，整理得：，所以，则，即.若与无关，则.故在轴上存在点，
22、使得当变动时，总有.28（1）；（2）是定值，理由见解析.【详解】由已知线段的垂直平分线交直线于点Q.得，,又P为圆：上一动点，所以，点的轨迹为以为焦点，长轴为4的椭圆椭圆方程：设，则直线方程: ，令，得，同理可得由题设直线：，代入方程整理得，且，故（定值）29（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）抛物线的焦点为，又，椭圆E的标准方程为（2）由（1）可得，设过点的直线为，设，联立整理，得，设直线AC的方程为，直线BD的方程为，联立两条直线方程，解得，将，代入，得，将，代入，得，直线AC，BD的交点的横坐标为定值430(1)(2)(1)解：由已知可得，可得，故椭圆的方程为.(2)解：设直线的方
23、程为，设点、，由得，即因为点在椭圆内部，则，由韦达定理可得：（*），则 将（*）代入上式得：，即，若，可得，此时；若，即当时，则，整理可得，由题意知、是的两根，所以31(1)(2)【解析】【分析】（1）通过通经长，求得，通过的最小值为，求得，再结合，最终求得，得到椭圆方程；（2）先考虑斜率不存在的情况，求出，再考虑当斜率存在时，利用韦达定理求得：，结合，求得，最终求得范围.(1)过作垂直于椭圆长轴的弦长为3因为，所以把代入到中，得：所以，即因为为椭圆上一点，根据椭圆的定义得：，设，则有，化为：则把式代入得，因为，所以当时，取得最小值，即，化简得：，结合与，解得：，椭圆的方程为(2)点坐标为，点坐标为当过的直线斜率不存在时，不妨设，此时当过的直线斜率存在时，设为将其代入椭圆方程中，得： 设，则，则，纵上所述，
