1、立体几何-空间几何体中的翻折问题专题综述空间几何体中的翻折问题往往是将平面图形沿确定的点、直线、平面翻折后变成空间立体图形，再根据平面图形的数量关系、位置关系等来研究空间几何图形中点、线、面等元素间的数量关系、位置关系、轨迹方程等问题。对于翻折问题一定要理清翻折前后的不变关系和不变量，通常在折痕的同侧的位置关系和线的长度、角度的大小不变，但在折痕两侧的线的长度、角度以及位置关系都有变化，这一点是处理翻折问题的关键之处。专题探究探究1：翻折中的计算问题将平面几何图形翻折成空间几何体，会带来线段的长度和角度的变化，从而影响线、面位置关系，解决这类问题的关键是需要分清楚翻折前后的变化，需要一定的空间
2、想象能力。求解翻折问题的基本方法：第一步：根据题设条件画出立体图形第二步：比较翻折前后的图形,弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变,哪些已发生变化第三步：将不变的条件集中到空间几何体中,将问题归结为条件与结论明朗化的立几问题。 (2021山东省潍坊市模拟)已知四边形ABCD，BAC=ADC=90，DC=DA=22AB，将ADC沿AC翻折至PAC(1)若PA=PB，求证PABC； (2)若二面角PACB为4，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值 【审题视点】如何根据题设条件建立合适的空间直角坐标系？ 【思维引导】(1)利用线面垂直的判定及性质即可, (2)先取AC的中点O，BC的中点E，过P作P
3、HOE，证明PH平面ABC，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角的正弦值 【规范解析】 (1)证明：设AB=2,则DC=DA=2,利用线面垂直的判定及性质证明即PA=PB=PC=2，PA2+PB2=AB2，PAPB，又PAPC,PBPC=P，PB,PC平面PBC,构造二面角PACB的平面角POE=4PA平面PBC，BC平面PBC，PABC;(2)取AC中点O,BC中点E,连接OP,OE,则OPAC,OEAC， OP平面POE,OE平面POE，OPOE=O，AC平面POE,POE=4，AC平面ABC, 平面ABC平面POE， 过P作PHOE,PH平面POE,平面ABC平面POE=OE，P
4、H平面ABC，设AB=2，OP=1,OH=PH=22，以O为坐标原点，OA,OE分别为x，y轴正方向，用空间向量法求线面角建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，则O0,0,0，P0,22,22，A1,0,0，C1,0,0，B1,2,0，AP=1,22,22，AB=0,2,0，CB=2,2,0，设n=(x,y,z)为平面PAB法向量，nAP=0nAB=0即x+22y+22z=02y=0,取x=1,可得n=(1,0,2),设BC与平面PAB所成角为，sin=cosCB,n=12322=66，直线BC与平面PAB所成角的正弦值为66【探究总结】翻折问题就是把平面图形经过折叠变成一个
5、空间图形，解决折叠额问题时，要把运动着的空间图形不断与原图形进行对照，看清楚哪些量在变化，哪些量没有变化，从而寻找出解决问题的方法，达到空间问题与平面问题相互转化的目的。 (2021四川省成都市模拟)如图，在直角梯形ABED中，BE/AD，DEAD，BCAD，AB=4，BE=23.矩形BEDC沿BC翻折，使得平面ABC平面BCDE(1)若BC=BE，证明：平面ABD平面ACE；(2)当三棱锥ABCE的体积最大时，求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值 探究2：翻折中的最值问题解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，一般可以从三方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用
6、其几何性质去解决；二是利用空间几何体的侧面展开图；三是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值.解决途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、函数有界法（如三角函数等）及高阶函数拐点导数法等.(2021山东省潍坊市期中)如图，已知菱形ABCD边长为3，BAD=60，点E为对角线AC上一点，AC=6AE.将ABD沿BD翻折到ABD的位置，E记为E，且二面角ABDC的大小为120，则三棱锥ABCD的外接球的半径为；过E作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为 【审题视点】如何找到三棱锥ABCD的外接球球心？【思维引导】(1)过CBD，ABD的
7、重心分别作平面的垂线，交于一点O，O即为三棱锥ABCD外接球的球心，结合已知线段长度求半径；(2)首先确定出当截面面积最小时，OE截面，再根据线段长度求出截面圆的面积【规范解析】(1)BAD=60，且四边形ABCD为菱形，CBD，ABD均为等边三角形，取CBD，ABD的重心分别为M，N，找出三棱锥的外接球球心O过M，N分别作平面CBD，平面ABD的垂线，且交于一点O，此时O即为三棱锥ABCD外接球的球心，记ACBD=O，连接CO，OO，二面角ABDC的大小为120，且AOBD，COBD，二面角ABDC的平面角为AOC=120，OM=ON，cosMOO=cosNOO，求三棱锥的外接球半径则MOO
8、=NOO=60，又BC=3，CO=AO=3sin60=332，则MO=NO=13CO=32，OM=OMtan60=32，又CM=23CO=3，OC=CM2+OM2=3+94=212即三棱锥ABCD的外接球的半径为212；当截面面积最小时，此时OE截面，又截面是个圆，求截面面积最大时的值设圆的半径为r，外接球的半径为R，又NE=13AO=13CO=32，且ON=OM=32，OE=ON2+NE2=94+34=3r=R2OE2=2143=32，此时截面面积S=(32)2=94故答案为：212；94【探究总结】本题考查空间几何体外接球的体积与表面积的求法，考查球截面面积最值的求法，考查空间想象能力与思
9、维能力，考查运算求解能力 (2021江苏省南通市模拟)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M、N分别是边CD，BC的中点，将ADM沿AM翻折到PAM在ADM翻折到PAM的过程中，tanPND的最大值为()A. 54 B. 255 C. 55 D. 23专题升华研究翻折问题应注意折前折后各元素相对位置的变化，要理清哪些位置关系和度量关系发生了变化，哪些没有改变，解决翻折问题的关键可以归纳如下： 找准“基准图”折叠, 画好“2个图”折前的平面图和折后的空间立体图, 寻找“2个量”哪些量（或关系）发生了变化，哪些量（或关系）没有发生变化.【答案详解】变式训练1【解析】 (1)证明：BC=BE，矩形
10、BCDE为正方形，BDCE，平面ABC平面BCDE，平面ABC平面BCDE=BC，ACBC，AC平面ABC，AC平面BCDE，BD平面BCDE，ACBD，又CEAC=C，CE、AC平面ACE，BD平面ACE，BD平面ABD，平面ABD平面ACE(2)在ABC中，设AC=x，则BC=16x2(0x4)，SABC=12ACBC=12x16x2=12x2(16x2)12x2+16x22=4，当且仅当x=16x2，即x=22时，等号成立，此时ABC的面积有最大值4平面ABC平面BCDE，平面ABC平面BCDE=BC，BEBC，BE平面BCDE，BE平面ABC，VABCE=VEABC=13SABCBE1
11、3423=833，故当三棱锥ABCE的体积最大时，AC=22BE/CD，CD平面ABC，以C为原点，CA，CB，CD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(22,0,0)，D(0,0,23)，E(0,22,23)，AD=(22,0,23)，DE=(0,22,0)，设平面ADE的法向量为m=(x,y,z)，则mAD=0mDE=0，即22x+23z=022y=0，令x=3，则y=0，z=2，m=(3,0,2)，CD平面ABC，平面ABC的一个法向量为CD=(0,0,23)，cos=CDm|CD|m|=232235=105，故平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为105变式训练2 【解析】因为四边形ABCD为正方形，M、N分别为DC、BC中点，所以RtADMRtDCN，所以DAM=CDN，又因为ADN+CDN=90，故AMDN，令DN与AM的交点为O，连接PO，在翻折过程中始终有AMOP，又AD=2，DM=1，AM=5，DOAM=ADDM，所以DO=PO=25，所以P在以O为圆心，半径为25的上半圆上运动，当tanPND取得最大值，PND最大，即PN与上半圆相切时，设切点为P，ON=DNOD=525=35，PN=ON2PO2=1，此时tanPNDmax=POPN=251=255故选：B
