1、高中同步测试卷(九)章末检测 平面向量(时间：100 分钟，满分：120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列等式恒成立的是()A.ABBA0B.ABACBCC(ab)ca(bc)D(ab)cacbc2已知向量 a(x，5)，b(5，x)，两向量方向相反，则 x()A5B5C1D13对于向量 a，b，下列结论中一定成立的是()A|a|b|ab|B|ab|ab|C|a|b|ab|D|ab|a|b|4已知 A(4，6)，B3，32，有下列向量：a143，3；b7，92；c143，3；d()7，9.其中，与直线
2、AB 平行的向量是()ABCD5若 AD 是锐角三角形 ABC 的高，则AD(ABCA)()A1B0C1D26若 a，b 是非零向量且满足(a2b)a，(b2a)b，则 a 与 b 的夹角是()A.6B.3C.23D.567已知向量 a，b，c 中任意两个都不共线，且 ab 与 c 共线，bc 与 a 共线，则向量 abc()AaBbCcD08已知OA OB，ACCB0，且OC OB 32|OA|2，则向量AC与AB的夹角为()A15B30C45D609已知 a(，2)，b(3，5)，且 a 与 b 的夹角是钝角，则 的取值范围是()A103B103C103，且 6510定义运算|ab|a|b
3、|sin，其中 是向量 a，b 的夹角若|x|2，|y|5，xy6，则|xy|()A8B8C8 或8D6题号12345678910答案二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)11已知 e1(1，2)，e2(2，3)，a(1，2)，试以 e1，e2 为基底，将 a 分解为 a1e1a2e2 的形式为_12若平面向量 a，b 满足|ab|1，ab 平行于 x 轴，b(2，1)，则 a_13已知 a(1，1)，b(1，0)，c 满足 ac0，且|a|c|，bc0，则 c_14.如图，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在
4、边 CD 上，若ABAF 2，则AEBF的值是_三、解答题(本大题共 6 小题，共 60 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分 10 分)已知向量 a(1，1)，b(2，3)(1)若 a2b 与 a 垂直，求 的值；(2)若 a2kb 与 ab 平行，求 k 的值16(本小题满分 10 分)在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，设BC2BD，CA3CE.(1)用向量AB，AC作为基底表示向量BE.(2)求AD BE.17.(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的
5、两条对角线的长；(2)设实数 t 满足(ABtOC)OC 0，求 t 的值18(本小题满分 10 分)设向量 a，b 均为单位向量(1)记 x 为 a 在 ab 方向上的投影，y 是 b 在 ab 方向上的投影，比较 x，y 的大小，并说明理由；(2)若 ab(3，1)，求 a.附加题19(本小题满分 10 分)已知两个向量 a，b 满足|a|2，|b|1，a，b 的夹角为 60，m2xa7b，naxb，xR.(1)若 m，n 的夹角为钝角，求 x 的取值范围(2)设函数 f(x)mn，求 f(x)在1，1上的最大值与最小值20(本小题满分 10 分)已知正方形 ABCD，E、F 分别是 CD
6、、AD 的中点，BE、CF 交于点 P.求证：(1)BECF；(2)APAB.参考答案与解析1导学号 29610161【解析】选 D.由数量积满足分配律可知 D 正确2导学号 29610162【解析】选 A.ab，x225，x5，两向量反向，验证 x5.3导学号 29610163【解析】选 D.根据向量加、减法的几何意义可知 D 正确，故选D.4导学号 29610164【解析】选 C.AB7，92，143，3 237，92 23AB，7，92 7，92 AB，143，3 23AB，与直线 AB 平行的向量是.5导学号 29610165【解析】选 B.AD 为ABC 的高，ADBC，AD(ABC
7、A)AD CB0，故选 B.6导学号 29610166【解析】选 B.由题意知，a22ab0，b22ab0，a2b2，即|a|b|，设 a 与 b 的夹角为，则 cos ab|a|b|12a2|a|212，又 0，3.7导学号 29610167【解析】选 D.因为 ab 与 c 共线，所以有 abmc，又 bc与 a 共线，所以有 bcna，即 bmca 且 bcna，因为 a，b，c 中任意两个都不共线，则有m1，n1，所以 bmcaca，即 abc0.8导学号 29610168【解析】选 A.如图，由题意可知 A，B，C 三点共圆，且圆心为 O，AB 为直径OC OB|OC|OB|cosB
8、OC 32|OA|2，BOC30，又|OA|OC|，CAB15，故选 A.9导学号 29610169【解析】选 D.a 与 b 的夹角为钝角，ab0，310103，又当 325，即 65时，a 与 b 共线反向，夹角为平角，103，且 65.10导学号 29610170【解析】选 A.|x|2，|y|5，xy6，cos xy|x|y|62535.又 是向量 x，y 的夹角，sin 45，|xy|x|y|sin 25458.11导学号 29610171【解析】设 aa1e1a2e2(a1，a2R)，则(1，2)a1(1，2)a2(2，3)(a12a2，2a13a2)，1a12a2，22a13a2
9、，解得a117，a247.a17e147e2.【答案】a17e147e212导学号 29610172【解析】设 a(x，y)，b(2，1)，ab(x2，y1)ab 平行于 x 轴，y10，y1.又|ab|1，即（x2）2021，x1 或 x3.a(1，1)或(3，1)【答案】(1，1)或(3，1)13导学号 29610173【解析】设 c(x，y)由 ac0，得 xy0.再由|a|c|，得 x2y22.由，得x1，y1，或x1，y1.又 bc0，x0，c(1，1)【答案】(1，1)14导学号 29610174【解析】以 A 为坐标原点，AB，AD 所在直线分别为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐
10、标系(图略)，则由题意知，点 B(2，0)，点 E(2，1)，设点 F(a，2)，所以AB(2，0)，AF(a，2)由条件解得点 F(1，2)，所以AE(2，1)，BF(1 2，2)所以AEBF 2.【答案】215导学号 29610175【解】(1)a(1，1)，b(2，3)，a2b(，)(4，6)(4，6)(a2b)a，(a2b)a0，460，1.(2)a2kb(1，1)(4k，6k)(14k，16k)，ab(3，2)，且(a2kb)(ab)，2(14k)3(16k)，k12.16导学号 29610176【解】(1)BEBAAEAB23AC.(2)AD BEAD(AB23AC)AD(AB)2
11、3AD AC|AD|AB|cos 15023|AD|AC|cos 30 32 1 32 23 32 1 32 14.17导学号 29610177【解】(1)AB(3，5)，AC(1，1)，求两条对角线的长即求|ABAC|与|ABAC|的大小由ABAC(2，6)，得|ABAC|2 10，由ABAC(4，4)，得|ABAC|4 2.(2)OC(2，1)，(ABtOC)OC ABOC tOC 2，易求ABOC 11，OC 25，由(ABtOC)OC 0，得 t115.18导学号 29610178【解】(1)由题意 xa（ab）|ab|，yb（ab）|ab|，又|a|b|1，得xy|a|2abba|b
12、|2|ab|0，xy.(2)设 a 与 b 的夹角为，由已知得|ab|2，|ab|2|a|2|b|22ab22cos 4，cos 1，又 0，0，向量 a 与 b 同向，又|a|b|1，ab，a32，12.19导学号 29610179【解】(1)ab|a|b|cos 60 21cos 601，由 m，n 的夹角为钝角，得 mn0，所以 mn(2xa7b)(axb)2xa27ab2x2ab7xb28x72x27x2x215x70，解得7x12，当 x 142 时，m 与 n 方向相反，所以 x 的取值范围是7，142 142，12.(2)由(1)得 f(x)2x215x72x15421698，f
13、(x)在1，1上单调递增，所以 f(x)minf(1)21576，f(x)maxf(1)215724.20导学号 29610180【证明】如图建立直角坐标系 xOy，其中 A 为原点，不妨设 AB2，则 A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)(1)BEOE OB(1，2)(2，0)(1，2)，CFOF OC(0，1)(2，2)(2，1)，BECF1(2)2(1)0，BECF，即 BECF.(2)设 P(x，y)，则FP(x，y1)，CF(2，1)，FPCF，x2(y1)，即 x2y2.同理由BPBE，得 y2x4，代入 x2y2.解得 x65，y85，即 P65，85.AP 2 652 8524AB 2，|AP|AB|，即 APAB.
