1、蚌埠市高三年级数学（理）试卷第 1页（共 4 页）蚌 埠 市 2 0 2 0 届 高 考 模 拟 考 试数学（理工类）本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的 A、B、C、D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1 已知i2 iz ，则复数 z 在复平面内对应的点
2、位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2 已知集合26,3,2,1,2,3,5,56,ABxxxx Z，则 AB A.2,3,6B.3,2C.5,1D.5,3,2,13已知命题:0,sin2pxxx，则p为A.0,sin2xxx B.0,sin2xxx C.0000,sin2xxxD.0000,sin2xxx4已知3.03133,2log2，31logcba,则A.cbaB.bcaC.bacD.acb5.2019 年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性.今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，
3、全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，右图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述错误的是A这五年，2015 年出口额最少B.这五年，出口总额比进口总额多C这五年，出口增速前四年逐年下降D.这五年，2019 年进口增速最快6.函数 tanlnfxxxx在2,00,2内的图象大致是第 5 题图蚌埠市高三年级数学（理）试卷第 2页（共 4 页）7已知双曲线222:10yC xbb右焦点为 F，圆221xy与双曲线 C 的渐近线在第一象限内的交点为 M，OMF 面积为2，则双曲线C 的渐近线方程为A.2
4、 2yx B.2yx C.22yx D.24yx 8在 ABC 中，D 为 BC 上一点，E 为线段 AD 的中点，若2BDDC，且 BExAByAC，则 xyA.23B.12C.13D.139.北京 2022 年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红、迎春黄、天霁蓝、长城灰、瑞雪白；间色包括天青、梅红、竹绿、冰蓝、吉柿；辅助色包括墨、金、银.若各赛事纪念品的色彩设计要求：主色至少一种、至多两种，间色两种、辅助色一种，则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白、冰蓝、银色这三种颜色的概率为A.8225B.245C.115D.21510.已知函数 3 sincosRfxxx x，将 xfy 的图象上
5、所有点的横坐标缩短到原来的21 倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动 6个单位长度，得到 xgy 的图象，则以下关于函数 xgy 的结论正确的是A.若12,x x 是 g x 的零点，则12xx是 2 的整数倍B.函数 g x 在区间,4 4上单调递增C.点 3,04是函数 g x 图象的对称中心D.3x 是函数 g x 图象的对称轴11.已知正方体1111DCBAABCD 棱长为 4，P 是1AA 中点，过点1D 作平面 ，满足CP 平面 ，则平面 与正方体1111DCBAABCD 的截面周长为A.4 56 2B.12 2C.8 28D.8 512.已知O 为坐标原点，抛物线
6、pxyC2:2 上一点 A 到焦点 F 的距离为 4，若点 M 为抛物线C准线上的动点，给出以下命题：当MAF 为正三角形时，p 的值为 2；存在 M 点，使得0MA MF；若3MFFA，则 p 等于 3；OMMA的最小值为 2 13，则 p 等于 4 或 12.其中正确的是A.B.C.D.第 11 题图蚌埠市高三年级数学（理）试卷第 3页（共 4 页）213)(2iipxx二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若直线 yxa是曲线ln 2yx的切线，则实数 a=_.14.82020111xxx的展开式中，3x 的系数为_.（用数字回答）15.已 知 定 义 在 R
7、 上 的 偶 函 数 f x满 足2fxfx，且 在 1,2 上 的 表 达 式 为 22xf x，则函数 f x 与 2log,0,0,x xg xxx 的图象的交点的个数为_.16.在 ABC中，设角,A B C 的对边分别是,a b c，若sinsinsin2ACB，则11sinsinAC的最小值为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（12 分）已知数列 na和 nb，12a，111nnba，12nnab，(1)证明：12nb
8、是等比数列；(2)若12nnnnb bc，求数列 nc的前 n 项和nS.18.（12 分）某省为迎接新高考，拟先对考生某选考学科的实际得分进行等级赋分，再按赋分后的分数从高分到低分划 A,B,C,D,E 五个等级，考生实际得分经赋分后的分数在 30 分到 100 分之间.在等级赋分科学性论证时，对过去一年全省高考考生的该学科成绩重新赋分后进行分析，随机抽取 2000 名学生的该学科赋分后的成绩,得到如下频率分布直方图.(不考虑缺考考生的试卷)附：若2(,)XN ，则0.6826PX，220.9544PX，330.9974PX，21314.59,第 18 题图蚌埠市高三年级数学（理）试卷第 4
9、页（共 4 页）（1）求这 2000 名考生赋分后该学科的平均分 x（同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由频率分布直方图可以认为，学生经过赋分以后的成绩 X 服从正态分布2(,)XN ，其中 近似为样本平均数 x，2 近似为样本方差2s.(i)利用正态分布，求(50.4179.59)PX，(ii)某市有 20000 名高三学生，记Y 表示这 20000 名高三学生中赋分后该学科等级为 A 等（即得分大于79.59）的学生数，利用(i)的结果，求 EY.19.（12 分）如图，等腰直角三角形 ABC 所在的平面与半圆弧 AB 所在的平面垂直，ACAB，P 是弧 AB 上一点，且30PAB
10、.(1)证明：平面BCP平面 ACP；(2)若Q 是弧 AP 上异于PA,的一个动点，当三棱锥APQC 体积最大时，求二面角CPQA的余弦值.20.（12 分）已知 M 是椭圆2222:10 xyCabab（）上一点，12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，且122F F，123F MF，12F MF 的面积为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线 l 过椭圆 C 右焦点2F，交该椭圆于 A，B 两点，AB 中点为Q，射线OQ 交椭圆于P，记 AOQ 的面积为1S，BPQ 的面积为2S，若213SS，求直线 l 的方程.21.（12 分）已知函数 e1sinxf xax（aR).（1）当0,
11、x时，0f x 恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）当1a 时，数列 na满足：01na，1nnaf a，求证：na是递减数列.(参考数据：sin10.84)（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，四边形OABC 是正方形，其中(2,0)A，(0,2)C，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为2cos.（1）求曲线 E 的直角坐标方程和直线 AC 的极坐标方程；（2）点Q 是曲线 E 上的动点，求22QCQA 的取值范围.
12、23.选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数()|21|2|f xxxa（1）若1a ，求()f x 的最大值；（2）若()20f x 恒成立，求 a 的范围.第 19 题图蚌埠市高三年级数学（理）答案第 1页（共 4 页）蚌 埠 市 20 2 0 届 高 考 模 拟 考 试数学（理工类）参考答案及评分标准一、选择题：题号123456789101112答案CDDBCAABBDAC二、填空题：13.ln 2 114.9815.616.4 33三、解答题：17.（本题满分 12 分）解：（1）111nnba，12nnab,212111nbbnn,2121211nnbb,2 分又21 a，111
13、11 ab，解得2121,3211bb，3 分12nb是以21为首项，21 为公比的等比数列.5 分(2)由（1）知nnnb212121211，则1221 nnnb，6 分121121121222212111nnnnnnnnnbbc，121121121121121121214332nnnS121312 n18.（本题满分 12 分）解：（1）依题意，35 0.0545 0.1075 55 0.1965 0.3 75 0.2x 85 0.102595 0.05 2 分654 分（2）(i)由（1）可知，(65,213)XN，6 分所以(50.4179.59)0.6826PXPX8 分8 分12
14、分蚌埠市高三年级数学（理）答案第 2页（共 4 页）.31741587.020000人所以EY(ii)因为1(79.59)0.15872PXP X，10 分12 分19.（本题满分 12 分）解：（1）平面 ABC平面 ABP，ACAB,平面 ABC平面 ABP=AB，,ABCAC平面,ABPAC平面2 分又,BPACABPBP 平面3 分,BPAPAB为直径又,AAPACBPAC,ACPBP平面5 分又.,ACPBCPBCPBP平面平面平面6 分（2）,ACPACAPQAC平面平面平面 ACP平面 AQP当三棱锥 C-APQ 体积最大时，Q 为 AP 的中点.7 分PABAQ QP BP，6
15、，且3QAB设 ABAC4，则2 3AQBPAP2，故以 A 为原点，ABAC,分别为 x 轴，y 轴正方向，建立空间直角坐标系xyzA则0,0,0,4,0,0,0,1,3,0,3,3ACQP，4,0,04,3,30,2,0ACPCPQ，9 分设平面 PQC 的法向量为,x y zm，则00PCPQmm，即33020 xyzy4，可得平面 PQC 的一个法向量3,0 4m，易知 AC为平面 APQ 的一个法向量，4 357cos,194 30 16ACACAC mmm，11 分APQC二面角 的余弦值为5719.12 分20.（本题满分 12 分）解：（1）由122F F 可知1c.设,21n
16、MFmMF则2mna.由123F MF与123F MFS,可得 1sin323mn，即4mn，2 分又在12F MF 中结合余弦定理得，2242cos 3mnmn，即24()3mnmn，得4mn，4 分所以2a，故23b，所以椭圆C 的方程为22143xy.6 分蚌埠市高三年级数学（理）答案第 3页（共 4 页）（2）213,SS11|sin3|sin22PQ QBBQPOQ QAAQO|3|PQOQ即|4|4,PQOPOQxx，从而8 分当 AB 斜率不存在时，12SS，不符合题意；当 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为1yk x，设点1122(,),(,)A x yB xy，则221
17、12222143143xyxy，两式作差可得1212121234yyyyxxxx，即34ABOPkk，即34OPkk.故直线OP 的方程为34yxk.10 分联立2234143yxkxy，解得2221634Pkxk；联立134yk xyxk，解得22434Qkxk；因为4,PQxx所以2224344434kkkk，解得12k ，直线 AB 方程为112yx.12 分21.（本题满分 12 分）解：（1）因为0,x，ecos,esinxxfxaxfxax.当0a 时，即0a，sin0,sin0 xax，又e10 x ，e1sin0 xax，即 0f x 恒成立，符合题意；2 分 当01a 时，e
18、sin0 xfxax fx在区间0,单调递增，010,(0)0fafxf，f x在区间0,单调递增，00,(0)0ff xf，符合题意；4 分 当1a 时，esin0 xfxax fx在区间0,单调递增，2010,=e02faf ，000,0 xfx使，且 00,0,xxfxf x当时单调递减，0,0,xxfxf x当时单调递增，000f xf，不符合题意；综上所述，a 的范围是,1.6 分（2）由题意，1a，e1 sin,0,1xf xx x，令 e1 sinxg xf xxxx，ecos1xgxx，蚌埠市高三年级数学（理）答案第 4页（共 4 页）esin0 xgxx，gx在区间0,1 单
19、调递增，8 分011cos)1(,01)0(egg，110,1,0 xgx使，10,0,xx gxg x单调递减，11,0,xxgxg x单调递增，00,1e 1 sin1 1e20.840gg ，0g x，即当 0,1,xf xx，10 分由（1）知 e1 sin,0,1xf xx x 单调递增，01na，10(0)()(1)1 sin1 1nnfaf afe 而,0)(1nnnnaafaa即1nnaa，故 na是递减数列.12 分22.（本题满分 10 分）解：（1）由2cos，得22 cos从而222xyx，故曲线 E 的直角方程为1)1(22yx.3 分（注：不化为标准形式不扣分）而直
20、线 AC 的普通方程为2xy,所以其极坐标方程为cossin2.5 分（2）因为点 Q 在曲线 E 上，所以可设其坐标为(1 cos,sin)，6 分则22|QAQC22(cos1)(sin)22(1 cos)(sin2)84sin.8 分因为 1sin1，所以224|12QAQC，所以22|QAQC的取值范围是4,12.10 分23.（本题满分 10 分）解：（1）当1a 时，()|21|2|1|f xxx，1 分所以，当1x 时，()21 223f xxx ；2 分当112x 时，()21 22413f xxxx ；3 分当12x 时，()21 223f xxx .4 分所以()f x 的最大值为 3.5 分（2）因为()|21|2|21|22|f xxxaxxa|(22)(1 2)|1 2|xaxa，7 分当 x=a 时等号成立.依题意|1 2|2a，所以1 3,2 2a.10 分（以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）
