1、吉林省通钢一中、集安一中、梅河口五中等省示范高中2020届高三数学5月模拟试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合，由此能求出.【详解】集合，.故选：【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出共轭复数，根据复数运算法则即可得解.【详解】，.故选：A【点睛】此题考查复数的概念辨析和基本运算，关键在于熟练掌握复数的运算法则，根据法则
2、求解.3.设双曲线（）的焦距为12，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据可得关于的方程，解方程即可得答案.【详解】因为可化为，所以，则.故选：B.【点睛】本题考查已知双曲线的焦距求参数的值，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.4.设非零向量，满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由可得，利用数量积的运算性质结合条件可得答案.【详解】，.，.故选：A【点睛】本题考查利用向量垂直其数量积为零求向量的模长，属于中档题.5.如图，在正方体中，E为的中点，几何体的侧视图与俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（ ）A. B. C.
3、D. 【答案】A【解析】【分析】根据侧视图和俯视图特征判定几何体，找出正投影，即可得解.【详解】结合俯视图和侧视图，根据几何体特征，该几何体为图中，正投影为，与不在同一平面，所以正视图为A选项的图形.故选：A【点睛】此题考查三视图的识别，关键在于根据俯视图侧视图结合几何体辨析正视图，易错点在于对几何体的棱BE考虑不准确.6.若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条件有，利用均值不等式有可得到答案.【详解】因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为4.故选：C【点睛】本题考查对数运算性质和利用均值不等式求最值，属于中档题.7.小林手中有六颗糖果，其中牛
4、奶薄荷味、巧克力味、草莓味各两颗，现要将糖果随机地平均分给他的儿子与女儿两人，则这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】记牛奶薄荷味的两颗糖为，巧克力味的两颗糖为，草莓味的两颗糖为，利用列举法求出他儿子分到的糖的所有情况有20种，其中这两个孩子都分到三种口味的糖果包含的基本事件有8种，由此能求这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率.【详解】记牛奶薄荷味的两颗糖为，巧克力味的两颗糖为，草莓味的两颗糖为，则他儿子分到糖的所有情况有20种，分别为，其中这两个孩子都分到三种口味的糖果包含的基本事件有8种，这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率为.故选：
5、D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.8.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设，现有下述四个结论：水深为12尺；芦苇长为15尺；.其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理求出的值，可得，再利用二倍角的正切公式求得，利用两角和
6、的正切公式求得的值.【详解】设，则，.即水深为12尺，芦苇长为12尺；，由，解得（负根舍去）.，.故正确结论的编号为.故选：B.【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题.9.若圆与图中阴影部分（含边界）表示的平面区域有公共点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当直线与圆相切时，当圆经过点时，得到答案.【详解】当直线与圆相切时，；当圆经过点时，故的取值范围为.故选：.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和应用能力.10.已知函数，则（ ）A. 的最小正周期为B. 曲线关于对称C. 的最大值为2D. 曲线关于对称
7、【答案】D【解析】【分析】由已知可得，根据三角函数的性质逐一判断.【详解】，则.的最大值为，当时，故曲线关于对称，当时，故曲线不关于对称.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的性质，其中对称轴和对称中心可代入判断，是基础题.11.若函数的值域为，则的取值范围为（ ）A ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】讨论和时函数的单调区间，得到时不成立，时需满足（3），解出即可.【详解】若时，则当时，单调递增，当时，在上单调递增，在，上单调递减，若函数值域为则需，解得；若时，则当时，单调递减，当时，在上单调递增，在，上单调递减，不满足函数值域为，不符合题意，舍去，综上：的取值范围为，故选：【
8、点睛】本题主要考查分段函数的值域，考查分类讨论思想、函数思想，属于中档题.12.已知直线yk（x1）与抛物线C：y24x交于A，B两点，直线y2k（x2）与抛物线D：y28x交于M，N两点，设|AB|2|MN|，则（ ）A. 16B. 16C. 120D. 12【答案】D【解析】【分析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，然后计算，可得结果.【详解】设， 联立则，因为直线经过C的焦点， 所以.同理可得，所以故选：D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.曲线
9、在点处的切线的斜率为_.【答案】4【解析】【分析】求得函数的导数，代入，可得所求切线的斜率.【详解】的导数为，可得曲线在处的切线的斜率为，故答案为：4【点睛】本题主要考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于容易题.14.某工厂共有50位工人组装某种零件.下面的散点图反映了工人们组装每个零件所用的工时（单位：分钟）与人数的分布情况.由散点图可得，这50位工人组装每个零件所用工时的中位数为_.若将500个要组装的零件分给每个工人，让他们同时开始组装，则至少要过_分钟后，所有工人都完成组装任务.（本题第一空2分，第二空3分）【答案】 (1). 3.3； (2). 33.14【解析
10、】【分析】根据工时从小到大依次分析得出工时3.4人数16，工时3.5人数8，工时3.3人数12，即可得到中位数；计算出工时平均数即可得解.【详解】根据散点图：工时3.0人数3，工时3.1人数5，工时3.2人数6，工时3.3人数12，工时3.4人数16，工时3.5人数8，所以工时的中位数为3.3；将500个要组装的零件分给每个工人，让他们同时开始组装，至少需要时间：故答案为：3.3；33.14【点睛】此题考查求平均数和中位数，关键在于准确读懂题意，根据公式计算求解.15.设分别为内角的对边已知，且，则 _【答案】2【解析】【分析】首先利用正弦定理的角化边得到，再根据余弦定理即可得到，解方程即可.
11、【详解】因为所以又因为，所以即，解得故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题16.在三棱锥中，两两垂直，三棱锥的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】根据侧面积计算得到，再计算半径为，代入表面积公式得到答案.【详解】三棱锥的侧面积为，所以故该三棱锥外接球的半径为：，球的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演步骤.1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求
12、作答.（一）必考题：共60分.17.某公司A产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：十万元）存在较好的线性关系，下表记录了该公司最近8次该产品的相关数据，且根据这8组数据计算得到y关于x的线性回归方程为x（万元）6781112141721y（十万元）1.21.51.722.22.42.62.9（1）求的值（结果精确到0.0001），并估计公司A产品投入成本30万元后产品的销售收入（单位：十万元）（2）该公司B产品生产的投入成本u（单位：万元）与产品销售收入v（单位：十万元）也存在较好的线性关系，且v关于u的线性回归方程为（i）估计该公司B产品投入成本30万元后的毛利率（毛利率
13、）；（ii）判断该公司A，B两个产品都投入成本30万元后，哪个产品的毛利率更大【答案】（1）；产品投入成本万元后的收入估计值为（单位：十万元）.（2）（i）产品投入成本万元后的毛利率为；（ii）产品投入成本万元后的毛利率的毛利率更大.【解析】【分析】（1）将代入回归直线方程，求得，并由此对销售收入进行估计.（2）（i）根据毛利率的计算公式，计算出产品投入成本万元后的毛利率.（ii）根据毛利率的计算公式，计算出产品投入成本万元后的毛利率，由此判断出毛利率更大的产品.【详解】（1）依题意，代入回归直线方程，得，解得，所以，令，可得（单位：十万元）（2）（i）由于，所以当时，（单位：十万元），故毛利
14、率为.（ii）由（1）得当时，（单位：十万元），故毛利率为所以产品的毛利率更大.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行估计，考查运算求解能力，属于中档题.18.设等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，且，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，联立解方程可得数列的通项公式；（2）通过分组求和法可得数列的前n项和.【详解】解：（1）因为，所以， 依题意可得， ， 故；（2）由（1）可知，故 【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，考查分组法求和，是基础题.19.如图，在四棱锥中，底面，为的中点，是
15、上的点.（1）若平面，证明：是的中点.（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理可证得，即可得答案；（2）利用等积法可求得点到平面的距离.【详解】（1）证明：因为，平面，平面，所以平面.因为平面，平面，所以可设平面平面，又因为平面，所以.因为平面，平面，所以，从而得.因为为的中点，所以为的中点.（2）解：因为底面，所以，所以.设点到平面的距离为，由，得，解得.【点睛】本题考查线线平行性质定理的运用、点到面距离的求解，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.20.已知函数.（1）讨论在上的单调性；（2）若，求不等式的解集.【答案
16、】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1），分，四种情况讨论即可；（2）当，易得在上单调递增，而，利用函数单调性只需解不等式即可.【详解】（1）.当时，则在上单调递增.当时，令，得.（i）当时，令，得；令，得.所以得单调递减区间为，单调递增区间为.（ii）当时，令，得；令，得或.所以得单调减区间为，单调递增区间为，.（iii）当时，令，得；令，得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）因为，所以，当时，所以在上单调递增，因为，所以，解得，故所求不等式的解集为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及利用单调性解不等式的问题，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.21.已知椭圆：过
17、点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.【详解】（1）证明：椭圆经过点，当且仅
18、当，即时，等号成立，此时椭圆的离心率.（2）解：椭圆的焦距为2，又，.当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.，在椭圆上，到直线的距离.当直线的斜率存在时，设的方程为.由，得，.设，则，.，即，到直线的距离.综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.【点睛】本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，
19、曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若点P极坐标为，过P的直线与曲线C交于A，B两点，求的最大值【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）先将中的消去得普通方程，再利用可得极坐标方程；（2）先求出AB的参数方程，代入曲线C的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得的最大值.【详解】解：（1）由，得， 即，所以，即，故曲线C的极坐标方程为. （2）因为P的极坐标为，所以P的直角坐标为，故可设AB的参数方程为（为参数）.将代入，得， 设点对应的参数分别为，则， 所以， 故的最大值为.【点睛】本题考查普通方程，参数方程，极
20、坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）设函数的图象与x轴围成的封闭区域为，证明：当时，的面积大于.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对不等式进行零点分段讨论求解；（2）求出函数与x轴交点坐标，表示出三角形面积，根据求得面积即可得证.【详解】（1）若，不等式即：，当时，得，当时，得，当时，得，综上所述：即：不等式的解集为；（2），该函数图象与x轴围成的封闭区域为三角形，其三个顶点为，该三角形面积：所以原命题得证.【点睛】此题考查求解绝对值不等式，利用零点分段讨论，根据三角形的面积证明不等式，关键在于准确求解顶点坐标，利用不等关系证明.
