1、天津市静海区第四中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题（含解析）一选择题(每题4分，共40分)1. 下列说法正确的是（ ）A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B. 空间的基底有且仅有一个C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D. 基底中基向量与基底基向量对应相等【答案】C【解析】【分析】根据空间向量基本定理判断选项可解.【详解】项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错.项，空间基底有无数个, 所以错.项中因为基底不唯一，所以错.故选.【点睛】本题考查空间向量基本定理.如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组使得2. 已知，那么向
2、量（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用向量即可得出【详解】向量，5，3，2，故选：【点睛】本题考查了向量三角形法则、空间向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由直线斜率的概念可写出倾斜角的正切值，进而可求出倾斜角.【详解】因为直线的斜率为，所以倾斜角.故选D【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，由斜率的概念，即可求出结果.4. 若直线与两坐标轴围成的三角形的面积S为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】ab0，令y0，得x，令x0，得y，三角形的面积S.选D.5. 已知点A
3、(1，2)、B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x2y20，则实数m的值是 ( )A. 2B. 7C. 3D. 1【答案】C【解析】由已知条件可知线段的中点，在直线上，把中点坐标代入直线方程，解得，故选C.6. 已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）.A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】夹角为钝角，由求解，但要排除两向量反向的情形【详解】，的夹角为钝角，即.又当，的夹角为时，存在，使，此方程组无解.综上，.故选：A.【点睛】本题考查用数量积确定向量的夹角，当向量，的夹角为时，也成立，所以求解此类问题时，要注意检验.7. 如图所示，在正方体中，若为的中点，则与所成角的余
4、弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以，为基底，表示出，利用向量的夹角公式求解即可.【详解】设正方体的棱长为1，记，则，因为，所以又因为，所以，所以与所成角的余弦值为故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，数量积的运算，夹角公式，考查了运算能力，属于中档题.8. 直线的图象可能是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分类讨论和时，直线的位置【详解】显然不可能是C，时，直线斜率为正，纵截距为负，排除A，时，斜率为负，纵截距为正，D不符，只有B符合题意故选B【点睛】一种方法直线是由两点确定的，另一种方法直线是由斜率和纵截距确定，因此当直线方程含有参数
5、时，可确定直线的斜率与纵截距，从而确定直线位置9. 已知平面、的法向量分别为、且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用两平面垂直，其法向量数量积为零列方程求解即可.【详解】因为平面、的法向量分别为、且，所以，即，则，故选：A.10. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程，当直线不过原点时，设直线的方程是：，把点M（1，1）代入方程求得a值,即可得直线方程.【详解】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是 y-1=x-1，即y=x；当直线不过原点时
6、，设直线方程是：，把点M（1，1）代入方程得 a=2，直线的方程是 x+y=2综上，所求直线的方程为y=x或x+y=2故选C.【点睛】本题考查了直线的点斜式与截距式方程；明确直线方程的各种形式及各自的特点，是解答本题的关键；本题易错点是易忽略直线过原点时的情况.二填空题(每题4分，共20分)11. 已知直线过点且与直线：平行，则的点斜式方程为_.【答案】【解析】【分析】由平行即可得出的斜率，即可得出点斜式.【详解】，直线的斜率为1，过点，的点斜式方程为.故答案为：.12. 已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ，则 _【答案】【解析】因为直线 的方向向量，平面 的法向量， ，所以，
7、即，解得，故答案为.13. 若点P(3，m)在过点A(2，1)，B(3,4)的直线上，则m_【答案】【解析】【分析】点A、点B的坐标均不相等，可利用两点式求直线方程，因为点P在直线上，故可将点的坐标代入直线方程，即可求出m.【详解】将点A、点B代入两点式方程可得：，化简得：，将点P代入直线方程，可得：，解得：.【点睛】本题考查两点式求直线方程和点在直线上两个知识点，注意两点式的应用条件，注意计算的准确性.14. 已知，若，则的值是_.【答案】或1【解析】【分析】根据题意，由向量模的坐标表示，以及向量数量积的坐标表示，列出方程组求解，即可得出结果.【详解】因为，所以，解得：或，因此或.故答案为：
8、或1.【点睛】本题主要考查由空间向量的模与数量积求参数的问题，属于基础题型.15. 在空间直角坐标系中，已知点，点在轴上，且点到点与其到点的距离相等，则点的坐标是_【答案】【解析】【分析】设，利用距离公式可得关于的方程，解方程后可得的坐标.【详解】设由，得，解得 故答案为：.【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式的应用，此类问题，根据公式计算即可，本题属于容易题.三、解答题(每题12分，共60分)16. 若直线的方程为.（1）若直线与直线垂直，求的值；（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.【答案】（1）1；（2），【解析】【分析】（1）直线与直线垂直，可得，解得（2）当时，直线化为：
9、不满足题意当时，可得直线与坐标轴的交点，根据直线在两轴上的截距相等，即可得出【详解】解：（1）直线与直线垂直，解得（2）当时，直线化为：不满足题意当时，可得直线与坐标轴的交点，直线在两轴上的截距相等，解得：该直线的方程为：，【点睛】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间关系、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题17.如图，在平行六面体中，是的中点，设（1）用表示；（2）求的长【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据向量的三角形法则以及平行四边形法则即可（2）把计算出来开根号即可【详解】（1）（2）由（1）得，所以【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则、平行四边形法则以
10、及向量的数量积属于基础题18. 已知的顶点，求（1）边上中线所在直线的方程；（2）求点关于直线对称点坐标【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出的中点的坐标，从而可求的直线方程.（2）求出直线的方程，设所求对称点的坐标为，根据中点和垂直两个关系得到关于的方程组，求解后可得所求的对称点的坐标.【详解】（1）由题设有，故，故直线的方程为：即.（2），故直线的方程为：，设点关于直线对称点坐标为，则，解得，故点关于直线对称点坐标为.【点睛】本题考查直线方程以及点关于直线的对称点的求法，后者注意利用中点和垂直来构建关于对称点的坐标的方程组，本题属于基础题.19. 如图，在三棱锥中，底面，.（1
11、）证明：平面平面；（2）若三棱锥的体积为，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由，得到平面，从而得证；（2）因为，所以. 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到锐二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为，所以，又平面，则，因为，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）因为，所以.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，.设平面的法向量为，则，即，令，得，平面的一个法向量为，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的
12、空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 在四棱锥中，底面ABCD，ABDC，点E为棱PC中点（1）证明：平面PAD；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）若F为棱PC上一点，满足，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】分析】（1）取PD中点M，连接EM，AM，推导出四边形ABEM为平行四边形，由此能证明BE平面ADP，（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBD的
13、一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）根据BFAC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角FABP的余弦值【详解】（1）如图，取PD中点M，连接EM，AME，M分别为PC，PD的中点，EMDC，且EMDC，又由已知，可得EMAB，且EMAB，四边形ABEM为平行四边形，BEAMAM平面PAD，BE平面PAD，BE平面ADP（2）PA底面ABCD，ADAB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）
14、，E（1，1，1）（1，2，0），（1，0，2），设平面PBD的法向量（x，y，z），由，得，令y1，则（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角满足：sin，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为（3）（1，2，0），（2，2，2），（2，2，0），由F点在棱PC上，设（2，2，2）（01），故（12，22，2）（01），由BFAC，得2（12）+2（22）0，解得，即（，），设平面FBA的法向量为（a，b，c），由，得令c1，则（0，3，1），取平面ABP的法向量（0，1，0），则二面角FABP的平面角满足：cos，故二面角FABP的余弦值为：【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养
