1、第一节数列的概念与简单表示法【考纲下载】1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数1数列的概念按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项数列一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an，其中数列的第1项a1也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项2数列的分类分类原则类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN递减数列an1an常数列an1an摆动数列从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项.3数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整
2、数集N(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列4数列的通项公式如果数列an的第n项an与 n之间的函数关系可以用一个式子表示成 anf(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式5an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？提示：不唯一，如数列1,1，1,1，的通项公式可以为an(1)n或an有的数列没有通项公式1已知数列，根据前三项给出的规律，则实数对(a，b)可能是()A(19,3) B(19，3)C. D.解析：选C由前三项可知，该数列的通项公式可能为an.所以即2已知数列的通项公式为a
3、nn28n15，则3()A不是数列an中的项B只是数列an中的第2项C只是数列an中的第6项D是数列an中的第2项或第6项解析：选D令an3，即n28n153，解得n2或6，故3是数列an中的第2项或第6项3数列an中，a11，对所有的nN*，都有a1a2a3ann2，则a3a5()A. B. C. D.解析：选Da1a2a3ann2，a1a2a3an1(n1)2，an(n2)，a3，a5，a3a5.4在数列an中，a11，an1(n2)，则a5_.解析：由题意知，a11，a22，a3，a4，a5.答案：5已知数列an的前n项和Sn2n3，则数列an的通项公式是_解析：当n1时，a1S1231
4、，当n2时，anSnSn1(2n3)(2n13)2n2n12n1.故an答案：an考点一由数列的前几项归纳数列的通项公式 例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)，.自主解答(1)数列中各项的符号可通过(1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)(2)数列变为，故an.(3)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为，原数列化为，故an(1)n.【方法规律】求数列的通项公式应关注的四个特征(1)分式中
5、分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1，.解：(1)各项减去1后为正偶数，an2n1.(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列21,22,23,24，an.(3)数列的奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因式(1)n，各项绝对值的分母组成数列n，分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21.an(1)n.考点二由递推关系式求通项公式 例2根据下列条件，确定数列an的通项公式(1)a11，anan1(n2)；
6、(2)a12，an1an3n2；(3)a11，an13an2；(4)a1，an1.自主解答(1)anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘，得ana1.(2)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当n1时，a1(311)2符合公式，ann2.(3)an13an2，an113(an1)，即3.数列an1为等比数列，公比q3.又a112，an123n1.an23n11.(4)an1，1.又1，是以为首项，为公比的等比数列，1，an.【方法规律】由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且anan1f(n)，
7、可用“累加法”求an；(2)已知a1且f(n)，可用“累乘法”求an；(3)已知a1且an1qanb，则an1kq(ank)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为ank为等比数列；(4)形如an1(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解1在数列an中，a12，an1anln，则an() A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n解析：选A由已知，an1anln，a12，anan1ln(n2)，an1an2ln，a2a1ln，将以上n1个式子相加，得ana1lnlnlnlnln n，an2ln n(n2)，经检验n1时也适合2若数列an满足：a1
8、19，an1an3(nN*)，则数列an的前n项和数值最大时，n的值为()A6 B7 C8 D9解析：选Ban1an3，数列an是以19为首项，3为公差的等差数列，an19(n1)(3)223n.设前k项和最大，则有k，kN*，k7.故满足条件的n的值为7.高频考点考点三 an与Sn关系的应用1an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，难度较小，属容易题2高考对an与Sn关系的考查常有以下两个命题角度：(1)利用an与Sn的关系求通项公式an；(2)利用an与Sn的关系求Sn.例3(1)(2012全国高考)已知数列an的前n项和为Sn，a
9、11，Sn2an1，则Sn()A2n1 B.n-1 C.n1 D. (2)(2013新课标全国卷)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.(3)(2013湖南高考改编)设Sn为数列an的前n项和，已知a10,2ana1S1Sn，nN*.求a1，a2，并求数列an的通项公式自主解答(1)由已知Sn2an1得Sn2(Sn1Sn)，即2Sn13Sn，而S1a11，所以Snn1.(2)由Snan，得当n2时，Sn1an1，当n2时，an2an1，又n1时，S1a1a1，a11，an(2)n1.(3)令n1，得2a1a1a，即a1a.因为a10，所以a11.令n2，得2a21S21a2.
10、解得a22.当n2时，2an1Sn,2an11Sn1，两式相减，得2an2an1an，即an2an1.于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列因此，an2n1.所以数列an的通项公式为an2n1.答案(1)B(2)(2)n1an与Sn关系的应用问题的常见类型及解题策略(1)由an与Sn的关系求an.数列的通项an与前n项和Sn的关系是an当n1时，若a1适合SnSn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，若a1不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示(2)由an与Sn的关系求Sn.通常利用anSnSn1(n2)将已知关系式转化为Sn与Sn1的关系式，然后求解1数列an的前n项和为S
11、n，若a11，an13Sn(n1)，则a6()A344 B3441C45 D451解析：选A法一：a11，a23S13，a33S212341，a43S348342，a53S4343，a63S5344.法二：当n1时，an13Sn，则an23Sn1，an2an13Sn13Sn3an1，即an24an1，该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列，又a23S13a13，an当n6时，a63462344.2已知数列an的前n项和Sn满足：SnSmSnm(m，nN*)且a16，那么a10()A10 B60 C6 D54解析：选C由SnSmSnm，得S1S9S10，又由于a10S10S9S1a16，故a1
12、06.3若数列an的前n项和Snn2n1，则它的通项公式an_.解析：a1S112111，当n2时，anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)12n2.an答案：课堂归纳通法领悟2种关系数列与函数、an与Sn的关系(1)数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性(2)an3种思路由递推关系式求通项公式的常用思路(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加法或累乘法求数列的通项；(3)一般形如an1qanb或an1(A，B，C为常数)的数列，可采用待定系数法转化为等比数列解决 前沿热点(七)数列与函数的交汇问题1数列的概念常与函数、方程、
13、解析几何、不等式等相结合命题2正确理解、掌握函数的性质(如单调性、周期性等)是解决此类问题的关键典例(2012上海高考)已知f(x).各项均为正数的数列an满足a11，an2f(an)若a2 010a2 012，则a20a11的值是_解题指导由an2f(an)可知，an2，即以函数f(x)为载体给出了an与an2之间的关系，即奇数项与奇数项、偶数项与偶数项的关系解析an2，又a2 010a2 012，aa2 0101.又an0，a2 010.又a2 010，a2 008，同理可得a2 006a20.又a11，a3，a5，a7，a9，a11.a20a11.答案名师点评正确解决本题的关键有以下两点
14、：(1)抓住an2f(an)，得an2是解题的关键(2)转化条件a2 010a2 012，从而判定当n2 012时，数列an中的偶数项为常数.(2013安徽高考)如图，互不相同的点A1，A2，An，和B1，B2，Bn，分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn1An1的面积均相等设OAnan.若a11，a22，则数列an的通项公式是_解析：设OAnx(n3)，OB1y，O，记SOA1B11ysin S，那么SOA2B222ysin 4S，则SOA3B34S(4SS)7S，SOAnBnxxysin (3n2)S，x.又anx，an(n3)，经验证可知an(nN*)答案：a
15、n全盘巩固1设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A15 B16 C49 D64解析：选Aa8S8S78272644915.2已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足5ak8，则k()A9 B8 C7 D6解析：选B由an得an2n10.由52k108，得7.5k0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，这样只需求数列an的最后一个非负项令an0，则n210n110，1n11，可见，当n11时，a110，故a10是最后一个正项，a110，故前10或11项和最大答案：10或119已知数列an满足a11，且ann(an1an)(nN*)，则a2_，an_.解析：由ann(an
16、1an)，可得，则ana11n，故a22，ann.答案：2n10已知数列an(1)若ann25n4，数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值(2)若ann2kn4且对于nN*，都有an1an成立求实数k的取值范围解：(1)由n25n40，解得1nan，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看成是关于n的二次函数，又考虑到nN*，当时a1a2，所以3.故实数k的取值范围是(3，)11已知Sn为正项数列an的前n项和，且满足Snaan(nN*)(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列an的通项公式解：(1)由Snaan(nN*)，可得a1aa1，解得
17、a11；S2a1a2aa2，解得a22；同理，a33，a44.(2)Snaan，当n2时，Sn1aan1，得(anan11)(anan1)0.由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，故数列an是首项为1，公差为1的等差数列，故ann.12设数列an的前n项和为Sn，已知a1a，an1Sn3n，nN*.(1)记bnSn3n，求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nN*，求a的取值范围解：(1)依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，即bn12bn，数列bn是首项b1a3，公比为2的等比数列因此，所求通项公式为bnSn3n(a3)
18、2n1，nN*.(2)由(1)知，Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，an1an43n1(a3)2n22n212n2a3，an1an，12n2a30，a9.又a2a13a1，综上，所求的a的取值范围是9，)冲击名校1在数列an中，an，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是()Aa1，a50 Ba1，a44 Ca45，a44 Da45，a50解析：选Can1.所以当n1,44时，an是递减数列且an0，所以(an)maxa45，(an)mina44.2数列an满足an1若a1，则a2 013_.解析：因为a1，所以a22a1121.因为a2，所以a32a2121.因为a3，所以a42a32.显然a4a1，根据递推关系，逐步代入，得a5a2，a6a3，故该数列的项呈周期性出现，其周期为3，根据上述求解结果，可得a3k1，a3k2，a3k3(kN)所以a2 013a3.答案：
