1、2020年河东区高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分，每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先求出集合，然后利用集合交运算即可求解.【详解】由，所以.故选：D【点睛】本题考查了集合的交运算、绝对值的几何意义解不等式，属于基础题.2.是虚数单位，复数满足条件，则复数在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】设出复数，代入等式，利用复数相等求出，再利用复数的几何意义即可求解.【详解】设，由，所以即，所以，解得，所以复数在复
2、平面内对应的点为，即复数在复平面上对应的点位于第二象限.故选：B【点睛】本题考查了复数的几何意义、复数模的运算、复数相等，属于基础题.3.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（ ）A. 5B. 25C. D. 1【答案】A【解析】【分析】首先求出双曲线的渐近线，再利用直线垂直，斜率之积等于即可求解.详解】双曲线方程：，则双曲线的渐近线为：，由一条渐进线与直线垂直，则，解得.故选：A【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、直线垂直斜率之间的关系，属于基础题.4.已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】根据线
3、、面之间的位置关系，逐一判断即可求解.【详解】对于A，若，则与平行或者相交，故A不正确； 对于B，若，利用面面平行的性质定理可得，故B正确；对于C，若，则或，故C不正确；对于D，若，则与相交或平行，故D不正确；故选：B【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题.5.对于非零向量、，“”是“，共线”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用向量共线定理以及充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】由，则、共线同向，充分性满足；非零向量、，当，共线时，则，必要性不满足；故“”是“，共线”的充
4、分不必要条件.故选：B【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义、向量共线定理，理解充分条件、必要条件的定义是解题的关键，属于基础题.6.已知函数为定义在的奇函数，且，则下列各式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算性质以及奇函数的性质，结合即可求解.【详解】由函数为定义在的奇函数，则，且，因为，则，对于A，即，即，根据不等式的性质可知A不正确；对于B，即，即，由已知可知，故B不正确； 对于C，即，即，即，根据不等式的性质可知C不正确；对于D，即，即，根据不等式的性质，不等式满足同向相加，可知D正确；故选：D【点睛】本题考查奇函数的性质、不等式性质
5、以及对数的运算性质，属于基础题.7.中，对应的边分别为，三角形的面积为，则边的长为（ ）A. B. C. 7D. 49【答案】C【解析】【分析】首先利用三角形的面积公式，求出，再利用余弦定理即可求解.【详解】由，则，解得，在中，由余弦定理可得：，解得.故选：C【点睛】本题考查了三角形的面积公式、余弦定理，需熟记公式与定理，属于基础题.8.已知实数，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 6【答案】A【解析】【分析】将式子同除，利用基本不等式即可求解.【详解】，又，则，所以， 所以，当且仅当取等号.故选：A【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立条件，属于基础题.9.已知函数，函数
6、有3个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，求解内层函数的范围，可得的图像，函数有3个零点，转化为与函数有三个交点问题，即可求解.【详解】不妨设，函数，可得，令，函数恰有三个零点，转化为与函数有三个交点问题，根据三角函数的图像与性质可得：，即，那么，解得，则的取值范围是.故选：D【点睛】本题考查了三角函数图像与性质，解题的关键是等价转化，将零点问题转化为两个函数的交点问题，属于中档题.二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）10.的展开式的系数为_【答案】【解析】分析】写出二项式展开式的通项公式，令的指数为，从而求
7、得指定项的系数.【详解】的展开式的通项为取，可得的展开式的系数为故答案为【点睛】本小题主要考查二项式展开式中指定项的系数，考查指数式的运算，属于基础题.11.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则点、的距离为_.【答案】1【解析】【分析】根据焦点可得抛物线的标准方程，将点代入可求出，再利用焦半径公式即可求解.【详解】抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程为：，因为点在抛物线上，所以，解得，所以.故答案为：1【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、焦半径公式，需熟记抛物线的标准方程的四种形式，焦半径公式，属于基础题.12.已知圆过点，点到圆上的点最小距离为_.【答案】【解析】【分析】利用待定系数法求出圆的
8、方程，求出圆的圆心与半径，求出减去半径即可求解.【详解】设圆的一般方程为：，因为圆过点，所以，解得，所以圆的方程为：，整理可得，所以圆的圆心，半径，所以点到圆上的点最小距离为：.故答案为：【点睛】本题考查了待定系数法求圆的一般方程、标准方程，圆上的点到定点的距离最值，两点间的距离公式，属于基础题.13.正四棱锥的高与底面边长相等且体积为，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱的中点的球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】首先利用棱锥的体积公式求出棱锥的底边边长以及棱锥的高，在中，求出，在中，利用余弦定理求出半径，再利用球的表面积公式即可求解.【详解】如图，设正四棱锥的边长为，则，解得，所以，在
9、中， 为的中点，且，在中，由余弦定理可得：.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了椎体的体积公式，球的表面积公式以及余弦定理解三角形，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.14.如图，圆内接正三角形边长为2，圆心为，则_.若线段上一点，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用正弦定理求出外接圆半径，根据圆周角定理可得，再由向量数量积的定义即可求解；根据向量的减法可得，再利用向量的数量积即可求解.【详解】设外接圆半径为，则， 在正三角形中，由正弦定理可得：，解得，所以.由 所以.故答案为：；【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、向量的加减法、正弦定理求外接圆半径，属于中档题.15
10、.函数,若存在使得则n的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由已知得，又，可求的最大值【详解】解：，当，时，又，【点睛】本题考查参数的最值，配方是关键，考查推理能力和计算能力，属中档题三、解答题：（本大题5个题，共75分）16.已知递增等差数列，等比数列，数列，、成等比数列，.（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）（）【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及可求出，由题意利用等比数列的通项公式可求出，从而求出、的通项公式.（2）利用分组求和以及等差数列、等比数列的前项和公式即可求解.【详解】（1）由已知，.解为或0（舍），解，（2） 【点睛】本题考查了
11、等差数列的通项公式、前项和公式以及等比数列的通项公式、前项和公式，分组求和法，属于基础题.17.2020年1月1日天津日报发表文章总结天津海河英才计划成果“厚植热土 让天下才天津用”我市精细服务海河英才优化引才结构.“海河英才”行动计划，紧紧围绕“一基地三区”定位，聚焦战略性新兴产业人才需求，大力、大胆集聚人才.政策实施1年半以来，截至2019年11月30日，累计引进各类人才落户23.5万人.具体比例如图所示，新引进两院院士，长江学者，杰出青年科学基金获得者等顶尖领军人才112人.记者李军计划从人才库中随机选取一部分英才进行跟踪调查采访.（1）李军抽取了8人其中学历型人才4人，技能型人才3人，
12、资格型人才1人，周二和周五随机进行采访，每天4人（4人顺序任意），周五采访学历型人才人数不超过2人的概率；（2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补贴，学历型人才500元/人，技能型人才400元/人，资格型人才600元/人，则创业型急需型人才最少补贴多少元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人？【答案】（1）；（2）元/人【解析】【分析】（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解.（2）设创业型急需型人才最少补贴元/人，列出分布列，求出数学期望，使解不等式即可求解.【详解】（1）事件“周五采访学历型人才人数不超过2人”的概率（2）各类人才的补贴数额为随机变量，取值分别为40
13、0、500、600、分布列为：40050060025.5%53.6%19.1%1.8%，解为,所以创业型急需型人才最少补贴元/人，才能使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、数学期望、组合数，考查了学生的基本运算能力，属于基础题.18.如图，在四棱锥中，平面，正方形边长为2，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：直线与平面所成角的正弦值为，求的长度；（3）若，线段上是否存在一点，使平面，若存在求的长度，若不存在则说明.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，2或4；（3）存在，【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出，平面法向
14、量，利用，即可证出.（2）求出平面法向量，由，利用空间向量的数量积即可求解. （3）假设存在，设，由（1）平面法向量，由向量共线可得，解方程即可求解.【详解】（1）由平面，平面，所以， 因为为正方形，所以，又，所以平面. 如图以为原点建立空间直角坐标系，设平面法向量为，令，平面，平面（2）设平面法向量为，令，设直线与平面所成角为解得或4，所以长为或4（3）存在， ，解得，.【点睛】本题考查了空间向量法证明线面平行、根据线面角求线段长度、利用法向量求线面垂直，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题.19.已知椭圆的右焦点为，左右顶点分别为，上顶点为，（1）求椭圆离心率；（2）点到直线的
15、距离为，求椭圆方程；（3）在（2）的条件下，点在椭圆上且异于、两点，直线与直线交于点，说明运动时以为直径的圆与直线的位置关系，并证明.【答案】（1）；（2）；（3）相切，证明见解析【解析】【分析】（1）由已知根据椭圆的定义可得，从而可得即可求解. （2）利用点斜式求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可得，结合即可求解. （3）设直线，将直线与椭圆联立，利用韦达定理求出点坐标，再求出圆心，分类讨论或，求出直线的方程， 再利用点到直线的距离与半径作比较即可证出.【详解】（1）由已知， （2），直线，即 则点到直线的距离，解为，椭圆方程为（3）以为直径的圆与直线相切，证明：直线交点为得， ，点，
16、中点圆心当时，点，直线，圆心，半径1，与直线相切；当时，点到直线的距离为半径，得证.【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系中的定值问题，考查了考生的计算能力，属于难题.20.已知函数，.（1）函数在点处的切线的斜率为2，求的值；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数有两个不同极值点为、，证明：.【答案】（1）；（2）当时，在单调递增；当时，在，单调递增，在单调递减；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义即可求解. （2）令，化简，判别式，讨论的正负，从而确定的正负，利用导数与函数单调性的关系即可求解. （3）由（2）可知，由，求出，利用换元法令，将不等式转化为，不妨设，利用导数证出函数在单调递增，由即可证出.【详解】（1），（2）令即，当时，在单调递增当时，在，单调递增 在单调递减. （3）由（2）可知，令则，只需证明，（只需证明即可），在单调递增，得证.【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数在研究函数单调性中的应用、利用导数证明单调性，考查了分类讨论的思想，属于难题.
