1、第8讲函数的图象1利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yax(a0且a1)ylogax(3)翻折变换yf(x)y|f(x)|yf(x)yf(|x|)(4)伸缩变换yf(x)yf(ax)yf(x)yaf(x)做一做1函数yx|x|的图象经描点确定后的形状大致是()答案：A2为了得到函数y4()
2、x的图象，可以把函数y()x的图象向_平移_个单位长度答案：右2 1辨明两个易误点(1)在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错(2)明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系2会用两种数学思想(1)数形结合思想借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图象，还可以判断方程f(x)g(x)的解的个数、求不等式的解集等(2)分类讨论思想画函数图象时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，
3、分别画出其图象做一做3函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)()Aex1Bex1Cex1 Dex1解析：选D.曲线yex关于y轴对称的曲线为yex，将yex向左平移1个单位长度得到ye(x1)，即f(x)ex1.4若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_解析：由题意a|x|x，令y|x|x图象如图所示，故要使a|x|x只有一解，则a0，即实数a的取值范围是(0，)答案：(0，),学生用书P33P34)_作函数的图象_作出下列函数的图象(1)y2x2；(2)y|lg x|；(3)y.解(1)将y2x的图象向左平移2个单位图象如图所示
4、(2)y图象如图所示(3)作出y的图象，保留y图象中x0的部分，加上y的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y的图象，如图中实线部分规律方法画函数图象的一般方法：(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数
5、的单调性、奇偶性等性质作出1.作出函数y10|lg x |的图象解：当x1时，lg x0，y10|lg x|10lg xx；当0x1时，lg x0，y10|lg x|10lg x10lg.y这是分段函数，每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出(如图)_识图与辨图_(1)在同一坐标系中画出函数ylogax，yax，yxa的图象，可能正确的是()(2)(2015甘肃部分示范学校调研)函数f(x)ln的图象是()解析(1)当a1时，A中的直线位置错误，排除A；D中的三个函数图象都正确；当0a0，当x0时可得x1，当x0时可得1x0，即函数f(x)的定义域是(1，0)(1，)，据此排除选项
6、A、D.函数yx单调递增，故函数f(x)ln在(1，0)，(1，)上单调递增，故选B.答案(1)D(2)B规律方法函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象2.(1)函数f(x)loga|x|1(0a0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.(2)设
7、经过两次平移后所得图象对应的函数为h(x)，则h(x)g(x)f(x)答案：(1)A(2)f(x)_函数图象的应用(高频考点)_函数的图象因其直观而形象地显示了函数的性质而成为高考命题的一个高频考点，常以选择题、填空题的形式出现高考对图象应用问题的考查主要有以下五个命题角度：(1)研究两图象的交点个数；(2)利用函数的图象确定方程根的个数；(3)利用函数图象研究函数性质；(4)利用函数图象研究不等式的解；(5)利用函数的图象求参数的取值范围(1)已知函数yf(x)的周期为2，当x1，1时，f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有()A10个B9个C8个 D1个
8、(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)若方程f(x)xa有两个不同实根，则a的取值范围为()A(，1) B(，1C(0，1) D(，)(3)函数ylog2|x1|的单调递减区间为_，单调递增区间为_解析(1)在同一直角坐标系中，分别作出yf(x)和y|lg x|的图象，如图，结合图象知，共有10个交点(2)x0时，f(x)2x1，0x1时，10时，f(x)是周期函数，如图所示若方程f(x)xa有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线yxa有两个不同交点，故a1，即a的取值范围是(，1)，故选A.(3)作出函数ylog2x的图象，将其关于y轴对称得到函数ylog2|x|的图象，再将
9、图象向左平移1个单位长度就得到函数ylog2|x1|的图象(如图所示)由图知，函数ylog2|x1|的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为(1，)答案(1)A(2)A(3)(，1)(1，)规律方法(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系(2)利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标
10、(3)利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解3.已知函数f(x)x|mx|(xR)，且f(4)0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)0的解集；(5)求当x1，5)时函数的值域解：(1)f(4)0，4|m4|0，即m4.(2)f(x)x|4x|f(x)的图象如图所示(3)f(x)的单调递减区间是2，4(4)由图象可知，f(x)0的解集为x|0x4或x4(5)f(5)54，由图象知，函数在1，5)上的值域为0，
11、5),学生用书P35)方法思想数形结合思想求参数的范围(2014高考山东卷)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A.B.C(1，2) D(2，)扫一扫进入91导学网()数形结合思想解析先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)kx过A点时斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为.答案B名师点评(1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变
12、抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质本题首先作出f(x)|x2|1的图象，再作出g(x)kx的图象，利用图象的交点情况确定k的取值范围(2)有关恒成立问题，求方程根的个数问题常用数形结合思想求解对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(x1)，xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(1，1(2，) B(2，1(1，2C(，2)(1，2 D2，1解析：选B.ab函数f(x)(x22)(x1)结合图象可知，当c(2，1(1，2时，函数f(x)与yc的图象有两个公共点，实数c的取值范围是(2，1(1，21函数y的图象大致是()解析：选B.当x
13、0时，函数的图象是抛物线；当x0时，只需把y2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.2函数f(x)x的图象关于()Ay轴对称B直线yx对称C坐标原点对称 D直线yx对称解析：选C.因为f(x)x是奇函数，所以图象关于坐标原点对称3(2015河北唐山高三月考)为了得到函数ylog2的图象，可将函数ylog2x的图象上所有的点()A纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位B横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移1个单位C横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位D纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向右平移1个单位解析：选A.ylog2log2(
14、x1)log2(x1)，由ylog2x的图象纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可得ylog2x的图象，再向右平移1个单位，可得ylog2(x1)的图象，也即ylog2的图象4若函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x1)的图象大致为()解析：选C.要想由yf(x)的图象得到yf(x1)的图象，需要先将yf(x)的图象关于x轴对称得到yf(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到yf(x1)的图象，根据上述步骤可知C正确5已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1，1)Df(x
15、)是奇函数，递增区间是(，0)解析：选C.将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1，1)上单调递减6(2015石家庄二中月考)若函数yf(x)的图象过点(1，1)，则函数f(4x)的图象一定经过点_解析：由于函数yf(4x)的图象可以看作yf(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位得到点(1，1)关于y轴对称的点为(1，1)，再将此点向右平移4个单位可推出函数yf(4x)的图象过定点(3，1)答案：(3，1)7函数yf(x)在x2，2上的图象如图所示，则当x2，2时，f(x)
16、f(x)_解析：由题图可知，函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)0.答案：08已知f(x)则函数y2f2(x)3f(x)1的零点个数是_解析：方程2f2(x)3f(x)10的解为f(x)或1.作出yf(x)的图象，由图象知零点的个数为5.答案：59作出下列函数的图象(1)y|x2|(x1)；(2)y.解：(1)函数式可化为y其图象如下图实线所示：(2)y1，该函数图象可由函数y向左平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到，如图所示10已知函数f(x)2x，xR.当m取何值时方程|f(x)2|m有一个解？两个解？解：令F(x)|f(x)2|2x2|，G(x)m，画出F(x)的图象如图所示
17、由图象看出，当m0或m2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0m2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解1(2015山东滨州模拟)函数y(x(，0)(0，)的图象大致是()解析：选A.函数为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，C，当x时，y0.2(2015东北三校第一次联合模拟)已知函数f(x)的值域是0，2，则实数a的取值范围是()A(0，1 B1，C1，2 D，2解析：选B.先作出函数f(x)log2(1x)1，1x0，得x1，由f(x)0，得0x0时，f(x)x22x3，试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间
18、解：f(x)的图象关于原点对称，f(x)f(x)，当x0时，f(x)0.又当x0时，f(x)x22x3，当x0时，f(x)x22x3.函数的解析式为f(x)作出函数的图象如图根据图象可得函数的增区间为(，1)，(1，)；函数的减区间为(1，0)，(0，1)6(选做题)(1)已知函数yf(x)的定义域为R，且当xR时，f(mx)f(mx)恒成立，求证：yf(x)的图象关于直线xm对称；(2)若函数f(x)log2|ax1|的图象的对称轴是x2，求非零实数a的值解：(1)证明：设P(x0，y0)是yf(x)图象上任意一点，则y0f(x0)又P点关于xm的对称点为P，则P的坐标为(2mx0，y0)由已知f(xm)f(mx)，得f(2mx0)fm(mx0)fm(mx0)f(x0)y0.即P(2mx0，y0)在yf(x)的图象上yf(x)的图象关于直线xm对称(2)对定义域内的任意x，有f(2x)f(2x)恒成立|a(2x)1|a(2x)1|恒成立，即|ax(2a1)|ax(2a1)|恒成立又a0，2a10，得a.
