1、31.2 用二分法求方程的近似解提出问题在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手某次竞猜的物品为价格在1 000元之内的一款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”问题1：如果是你，你知道接下来该如何竞猜吗？提示：应猜400与800的中间值600.问题2：通过这种方法能猜到具体价格吗？提示：能导入新知1二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的所在的区间，使区间的两个逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)2用二
2、分法求函数零点近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：第一步，确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度.第二步，求区间(a，b)的c.零点一分为二端点中点第三步，计算f(c)：(1)若f(c)0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)f(c)0，则令c此时零点x0(a，c)；(3)若f(c)f(b)0，则令c此时零点x0(c，b)第四步，判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步ba化解疑难利用二分法求方程近似解的过程图示二分法的概念例 1(1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是()Ayx7 By5x1Cylog3xD
3、y12xx(2)以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是()解析(1)A解方程x70，得x7B解方程5x10，得x0C解方程log3x1，得x1D无法通过方程12xx0得到零点(2)根据二分法的思想，函数f(x)在区间a，b上的图象连续不断，且f(a)f(b)0，即函数的零点是变号零点，才能将区间a，b一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，选项A，B，D都符合条件，而选项C不符合，图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点答案(1)D(2)C类题通法二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号
4、零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用活学活用用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)f(4)0，取区间(2,4)的中点x1 2423，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0所在的区间是()A(2,4)B(2,3)C(3,4)D无法确定解析：f(2)f(4)0，f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，x0(2,3).答案：B 例2 求函数f(x)x25的负零点(精确度0.1)用二分法求函数的零点解 由于f(2)10，故取区间(3，2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近
5、似值(3，2)2.51.25(2.5，2)2.250.062 5(2.25，2)2.1250.484 4(2.25，2.125)2.187 50.214 8(2.25，2.187 5)2.218 750.077 1由于|2.25(2.187 5)|0.062 50.1，所以函数的一个近似负零点可取2.25.类题通法利用二分法求函数零点应关注三点(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算活学活用证明函数f(x)2x3x6在区间1
6、,2内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)解：由于f(1)10，又因为函数f(x)在1,2内是增函数，所以函数在区间1,2内有唯一零点不妨设为x0，则x01,2下面用二分法求解.因为|1.187 51.25|0.062 50.1，所以函数f(x)2x3x6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.(a，b)(a，b)的中点f(a)f(b)fab2(1,2)1.5f(1)0f(1.5)0(1,1.5)1.25f(1)0f(1.25)0(1,1.25)1.125f(1)0f(1.125)0(1.125,1.25)1.187 5f(1.125)0f(1.187 5)0例3 用二分法求方程2x3
7、3x30的一个正实数近似解(精确度0.1)用二分法求方程的近似解解 令f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x33x3在(0,1)内有解取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解(a，b)中点cf(a)f(b)fab2(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5 f(0.625)0f(0.687 5)0(0.687 5,0.7
8、5)|0.687 50.75|0.062 50.1如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解类题通法用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的求方程f(x)0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解(2)对于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)f(x)g(x)0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解活学活用为了求函数f(x)2x3x7的一个零点，某同学利用计算器得到
9、自变量x和函数f(x)的部分对应值，如下表所示：x1.251.312 51.3751.437 51.5f(x)0.673 40.287 40.123 10.559 91.024 6则方程2x3x7的近似解(精确度0.1)可取为()A1.32 B1.39C1.4 D1.3解析：由题表知f(1.312 5)f(1.375)0，且1.3751.312 50.062 50.1，所以方程的一个近似解可取1.32.答案：C 典例 用二分法求方程f(x)0在0,1内的近似解时，经计算，f(0.625)0，f(0.687 5)0，即可得出方程的一个近似解为_(精确度0.1)11.对精确度的理解不正确导致错误解
10、析 因为|0.750.6875|0.06250.1，所以区间0.687 5,0.75内的任何一个值都可作为方程的近似解答案 0.75(答案不唯一)易错防范1由于f(0.625)0，故在区间(0.625,0.75)内也存在零点，但|0.750.625|0.1，所以不符合精确度0.1的要求，解决本题时极易忽视此条件而导致解题错误2利用二分法求方程的根，在计算到第几步时，区间(an，bn)的长度应小于精确度活学活用用二分法求函数f(x)3xx4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)0.200f(1.587 5)0.133f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.5
11、56 2)0.029f(1.550 0)0.060根据此数据，可得方程3xx40的一个近似解(精确度0.1)为_解析：由表中数据可知：f(1.562 5)f(1.556 2)0.而|1.562 51.556 2|0.006 30.1.零点x0(1.556 2,1.562 5)可取零点为1.556 2(或1.562 5)答案：1.556 2或(1.562 5)随堂即时演练1用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是()A2,1 B1,0C0,1D1,2解析：f(2)30，f(2)f(1)0，可以取区间2,1作为计算的初始区间，用二分法逐次计算答案：A 2在用二分法求函数f(x)的一个正
12、实数零点时，经计算，f(0.64)0，f(0.72)0，f(0.68)0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A0.68B0.72C0.7D0.6解析：已知f(0.64)0，f(0.72)0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72)，又因为0.68 12(0.640.72)，且f(0.68)0，所以零点在区间(0.68,0.72)上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值答案：C 3已知二次函数f(x)x2x6在区间1,4上的图象是一条连续的曲线，且f(1)60，由零点存在性定理可知函数在1,4内有零点
13、，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)_.解析：显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)f(2.5)2.522.562.25.答案：2.254用二分法求方程x32x50在区间2,3内的实数根时，取区间中点x02.5，那么下一个有根区间是_解析：f(2)0，下一个有根区间是(2,2.5)答案：(2,2.5)5求方程x22x1的一个近似解(精确度0.1)解：设f(x)x22x1.f(2)10，在区间(2,3)内，方程x22x10有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，f(2.5)0.250，2x02.5；再取2与2.5的平均数2.25，f(2.25)0.437 50，2.25x02.5；如此继续下去，有f(2.375)0 x0(2.375,2.5)；f(2.375)0 x0(2.375，2.437 5)|2.3752.437 5|0.062 50.1，方程x22x1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.课时跟踪检测见课时达标检测(二十二)
