1、试卷第 1页，共 5页2023 年 2 月绵阳南山中学高 2020 级高三下期入学考试数学试题(理工类)命题人：刘盟审题人：蔡晓军（时间：120 分钟分数：150 分）本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第卷（选择题）和第卷（非选择题）组成，共 5页注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并把对应的准考证号用 2B 铅笔涂黑2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的
2、四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数 z 满足43iiiz，则 z （）A3 3iB33iC 33i D 3 3i 2某游泳馆统计了 10 天内某小区居民每日到该游泳馆锻炼的人数，整理数据，得到如下所示的折线图.则根据此折线图，下面结论正确的是（）A这 10 天内，每日游泳人数的极差大于 106B这 10 天内，每日游泳人数的平均值大于 135C这 10 天内，每日游泳人数的中位数大于 145D前 5 天每日游泳人数的方差小于后 5 天每日游泳人数的方差3已知集合2230,3,Ax xxBx xxN，则 AB（）A 1,3)B 1,0,1,2,3C0,1,2,3D1,2,34中国的计
3、量单位可追溯到 4000 多年前的氏族社会末期，秦王统一中国后，颁布了统一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器，如图是当时的一种度量工具“斗”（无盖，不计厚度）的三视图（正视图和侧视图都是等腰梯形），若此“斗”的体积约为 2000 立方厘米，则其高约为（）（单位：厘米）A9B10C11D12试卷第 2页，共 5页5已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点36,33P，则cos2（）A 13B 2 23C13D2 236函数 3coscosf xxx的图像大致为（）ABCD7“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于 1261 年所著
4、的详解九章算法一书中.如图，若在“杨辉三角”中从第 2 行右边的 1 开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，则此数列的前 20 项的和为（）A350B295C285D2308已知定义在 R 上的函数 fx 是奇函数且满足 32fxf x，23f ，则202220232024fff（）A 2B0C2D39将函数 sin 2f xx的图象向左平移 8 个长度单位，得函数 g x 图象，则以下结论中正确的是（）A g x 的最小正周期为 2B g x 的图象关于点 ,04对称C g x 的图象关于直线316x 对称D g x 在区间3,88上单调递增1
5、04 张卡片的正、反面分别写有数字 1，2；1，3；4，5；6，7将这 4 张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（）A288B336C368D412试卷第 3页，共 5页11如图所示，点 F 是椭圆2222:1(0)xyMabab的右焦点，A，C 是椭圆上关于原点 O 对称的两点，直线 AF 与椭圆的另一个交点为 B，若,2AFFC AFBF，则椭圆 M 的离心率为（）A 3 1B12C32D5312已知ln1.5a，13b，cos1.25c，则大小关系正确的为（）A abcBbacCbcaDcab第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
6、13已知向量1,2a r，1,1b，若 cakb，且bc，则实数 k _.14已知1F，2F 是双曲线 C：2213xy 的两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点 M，则12MF F的面积为_15从正四面体的顶点及其棱的中点共 10 个点中，任取 3 个点，则这三个点构成的三角形为等边三角形的概率为_16已知三棱锥PABC 的四个顶点都在球O的球面上，PBPC，90PAB，ABC是边长为 2 3 的等边三角形，PBC的面积为5 3，则球O的体积为_三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生必须作答，第
7、 22-23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：（本大题共 5 个小题，共 60 分）17已知数列 na0na，nS 为数列 na的前 n 项和，且22nnnaaS.（1）求数列 na的通项公式；（2）记2 nanb，1121313131nnnnTababab，求nT 的值.18在 ABC中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 2coscoscosBACacabbc(1)求 B；(2)若6b，BD 是 AC 边上的高，求 BD 的最大值试卷第 4页，共 5页19.如图，在三棱柱111ABCA B C-中，1AA 平面 ABC，D 为线段 AB 的中点，4CB，4 3AB，
8、118AC，三棱锥1AA DC的体积为 8(1)证明：1A D 平面11B C D；(2)求平面1ACD 与平面1A BC 夹角的余弦值20已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点到准线的距离为 1(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设点,1P t是该抛物线上一定点，过点 P 作圆222:(2)Oxyr（其中01r）的两条切线分别交抛物线C 于点,A B，连接 AB 探究：直线 AB 是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由21已知函数2()2ln()f xxax axR.(1)当1a 时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个极值点1x，2x 且1
9、(1,ex（e为自然对数底数，且e2.71828），求 12f xf x的取值范围试卷第 5页，共 5页（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分【选修 4 4：坐标系与参数方程】（本题 10 分）22在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为1xtyt（t 为参数），曲线2C 的参数方程为33 cos223 sin2xy（为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程；(2)曲线1C 与曲线2C 交于 A，B 两点求22OAOB的值【选修 45：不等式选讲】（本题 10 分）
10、23.已知函数 22fxxxt（0t），若函数 fx 的最小值为 5.(1)求t 的值；(2)若abc，均为正实数，且 2abct ，求 1412abc的最小值.答案第 1页，共 5页绵阳南山中学 2020 级高三下期入学考试参考答案1A 2B.3C4A5C6D7C8B9D10B11D12A11.【详解】如图，作1F 为椭圆 M 的左焦点，连接111,AF CF BF 设 AFx，则2xBF，2CFax，122xBFa，因为 A，C 是椭圆上关于原点 O 对称的两点，直线 AF 与椭圆的另一个交点为 B，AFFC所以1AFAF所以222222(2)4,3(2)2,22axxcxaxxa可得53
11、ca 故选：D12A【详解】因为01.2522，1032，所以cos1.25sin1.252c，由于 6115191.2521233412，故 11.2523，故1sin1.25sin23，设()sin,(0,)2u xxx x，则()cos10,(0,)2u xxx，即()sin,(0,)2u xxx x单调递减，故()(0)0u xu，即sin,(0,)2xx x，故11sin 33，即cb；ln1.5a，10.51.5 131.51.5b，令 lnf xx，111xg xxx，令1()()()ln1,0h xf xg xxxx，则22111(),0 xh xxxxx，当 01x 时，()
12、0,()h xh x在(0,1)递减，当1x 时，()0,()h xh x在(1,)递增，所以()(1)0h xh，即 f xg x（当且仅当1x 时等号成立），1.51.5fg，即1.5 11ln1.51.53，即 ab，abc，133214215 1516 64 2316.【详解】解：取 BC 的中点 D，连接 PD，AD，PBPC，PDBC，PBC的面积为5 3，则 12 35 32PD，解得5PD，332ADBC，222 7PBPDBD，又90PAB，224PAPBAB，所以222PAADPD，即 PAAD，又 PAAB，ABADA，,AB AD 平面 ABC，可得 PA 平面 ABC
13、，将三棱锥PABC 补成正三棱柱11PB CABC，三棱锥PABC 的外接球即正三棱柱的外接球，外接球的球心O为上、下底面的外接圆圆心的连线12O O 的中点，连接2AO，AO，设外接球的半径为 R，下底面外接圆的半径为 r，2223rDAOA，则2248Rr，所以2 2R，所求外接球的体积为3464 233RV；故答案为：64 2317【详解】解：（1）由22nnnaaS，21112nnnaaS；答案第 2页，共 5页减即得：221111nnnnnnnnaaaaaaaa由0na，可得11nnaa .当1n 时，21112aaa，解得10a（舍去）或11a .所以 na是首项为 1，公差为 1
14、 的等差数列，通项公式为nan.（2）由（1）可知22nannb 23123422 2nnTnn23123123422 2nnTnn-2313123 2222 2nnnTn 124 212312321nnn10 22 3112nn10 22 3112nnTn18.【详解】（1）解：因为 2coscoscosBACacabbc，所以 2 coscoscosbBcAaC，由正弦定理可得 2sincossincossincosBBCAAC，即2sincossinsinBBCAB，因为0,B，所以sin0B，所以1cos2B，则3B.（2）解：因为6b，3B，由余弦定理2222cosbacacB，即2
15、26acac，所以2262acacac当且仅当 ac时取等号，所以6ac，则133 3sin242ABCSacBac，当且仅当6ac时取等号，所以max3 32ABCS，又12ABCAC BDS，所以3 32223 22266ABCABCSSBDAC，故 BD 的最大值为 3 22.19.【详解】（1）证明：因为1AA 平面 ABC，CB 平面 ABC，所以1AABC，在三棱柱111ABCA B C-中，四边形11AAC C 为平行四边形，则118ACAC，因为4 3AB，4CB，所以222ABCBAC，所以CBAB，又因为1ABAAA，1AA 平面11ABB A，AB 平面11ABB A，所
16、以CB 平面11ABB A，因为11/CBC B，所以11C B 平面11ABB A，又1A D 平面11ABB A，所以111C BA D18 32ABCSAB BC，D为 AB 的中点，则14 32ACDABCSS，因为1AA 平面 ABC，答案第 3页，共 5页1111114 3833A A CDAACDACDVVSAAAA，所以12 3AA，所以在11A DB中，112 6A DB D，114 3A B，所以2221111A DB DA B，所以11A DB D，1111C BB DB，111,C B B D 平面11B C D，所以1A D 平面11B C D；（2）因为1BB 平面
17、 ABC，BCAB，以点 B 为坐标原点，BA、1BB、BC 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则0,0,4C、2 3,0,0D、1 4 3,2 3,0A、1 0,2 3,0B，设平面1DAC 的法向量为111,mx y z，12 3,2 3,0DA，2 3,0,4DC ，则111112 32 302 340m DAxym DCxz，取12x，可得2,2,3m，设平面1ACB 的法向量为222,xny z，14 3,2 3,0BA，0,0,4BC，则12224 32 3040n BAxyn BCz ，取21x ，可得1,2,0n，所以，66 55cos,55115m
18、 nm nm n ，所以平面1DAC 与平面1ACB夹角的余弦值为 6 5555.20【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C ypx p的焦点到准线的距离是 1，所以1p ，标准方程为22yx（2）当1y 时，12x，所以1,12P，设 222,2,2,2AaaBbb，则直线 AB 为2122yaxaab，即20 xab yab因为直线1:02PA xaya与圆222:(2)Oxyr相切，所以22112ara，整理得2222514404rarar同理，直线 PB 与圆222:(2)Oxyr相切，可得2222514404rbrbr所以可得,a b 是方程2222514404rxrxr的两个根，答
19、案第 4页，共 5页所以22225444,11rrababrr，代入20 xab yab，化简得254802xyrxy，若直线过定点，则须满足502480 xyxy，解得23116xy 所以直线 AB 恒过定点211,3621【详解】（1）解：当1a 时2()2lnf xxxx定义域为0,，又222221152212248()20 xxxfxxxxx，所以 fx 在0,上单调递增，即 fx 的单调递增区间为0,，无单调递减区间.（2）解：由题知，2ln2axfxxx，函数 fx 的定义域为0,，2222222axaxfxxxx，当0a 时，对任意的0 x，()0fx恒成立，故 fx 在0,上单
20、调递增，没有极值点；当04a时，2160a，0fx且 fx不恒为零，故 fx 在0,上单调递增，没有极值点；当4a 时，令 0fx，解得21164aax，22164aax，则120 xx，当20,xx时，()0fx；当21,xx x时，0fx；当1,xx 时，()0fx，此时函数 fx 的单调递增区间为2160,4aa、216,4aa，单调递减区间为22161644aaaa,.综上，当4a 时，fx 有两极值点1x、2x，且122axx，121x x，所以12112212222ln2lnf xf xxaxxaxxx1111112111114ln44lnxxaxxxxxxx，设1xt，1144l
21、nh tttttt，其中1,et，所以 22224 1ln11114 141lntth tttttttt，又因为1,et，可知 0h t，所以 h t 在1,e 上单调递减 1ehh th，即 80eh t，所以 12f xf x的取值范围为8,0e.答案第 5页，共 5页22(1)解：由题意得：由1C：1,xtyt（t 为参数），消去t 得：10 xy 故1C 的极坐标方程为cossin10 由2C：33 cos,223 sin,2xy（为参数），消去 得：2230 xyx,故2C 的极坐标方程为3cos(2)设1,A ，2,B 联立42cossin1025103cos93 所以2212152故222212152OAOB23.【详解】（1）因为0t，所以(2)2(),222(2)2(),2(2)2(),xxtxf xxxtxxtxtxxtxt ，即 322,222,2322,xtxf xxtxtxt xt ，则()f x 在(,)t内单调递减，在(,)t内单调递增，所以min()()2f xf tt，由题意，得25t，解得3t.（2）由（1）知，23abc，14111412232abcabcabc21121232abcabc2116(121)33，当且仅当38a、32b、34c 时取等号，所以 1412abc的最小值为163.
