1、2024年5月29日星期三-角的向量计算方法如图，在正方体 中，求 与 所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D11 B E111114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCxyzO10,1 4(0,0,0)0,1 4.，DF110 0 1 14415,BE DF11|17,|17.BEDF111111cos,|1515.171717 BE DFBEDFBEDF1(4,4,0)4,3,40,1,4,E B回顾异面直线所成角的计算步骤求 与 所成的角的余弦值为1BE1DF1517444平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.BAa
2、AOB（记为）是a与所成的角O规定：直线和平面垂直：所成的角是直角直线和平面平行或在平面内，=0000900直线和平面成角斜线和平面成角0901.1直线和平面所成的角的定义OBA1,.AOAOBBABOA是平面 的斜线是斜足垂直于为垂足 则直线是斜线在平面 的射影011sincos(90)n,|cos|OA n这就是线面角的向量计算公式.|OA nOA n即1|sin|OA nOA n 1.2直线和平面所成的角的向量计算公式,.nn称为平面 的一个法向量垂直于平面的向量，叫做平面的一个法向量.例1.在正方体AC1中，E是CD的中点，求A1E与平面BCC1B1所成的角的正弦值.ABCDA1B1C
3、1D1EXYZ解：如图在正方体AC1中建立空间直角坐标系，不妨设正方体AC1 的棱长为2，则E(0,1,0),A1(2,0,2)易知，平面BCC1B1的一个法向量为1(2,1,2)EA(0,2,0)nCD设A1E与平面BCC1B1所成的角为11sin1113|EA nEAn1.3直线和平面所成的角的向量计算示例lOABAOBCAB 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角的三个特征:
4、1.点在棱上2.线在面内3.与棱垂直二面角的大小的范围:18002.1二面角及二面角的平面角的定义是平面的一个法向量，是平面的一个法向量.二面角的大小与两法向量所成角相等或互补.12lOABPnnmm锐二面角：coscos,m n 对于钝二面角的计算其余弦值必为负.当然，若能直接得到二面角的平面角两边对应的向量更好.2.2二面角的向量计算公式nmcos|OA OBOAOB|m nm n例2.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD,E、F分别为AB、SC的中点设SD=2DC，求二面角A-EF-D的余弦值SABCDEF解：如图，建立空间直角坐标系D-xyzzxy由
5、于底面ABCD为正方形,SD=2DC，不妨设A(2,0,0),则(2 2 0)(0 2 0)(0 0 4)21001 2BCSEF，|3|cos,|3n mn mn m212 0 20,01 0FDEE，AE，nxyzDEF设，为平面的法向量2020(1,2,1)x yxzn则+,2020(1,0,1)utvm则,2mtuvAEF设，为平面的法向量2.2二面角的向量计算公式示例二面角A-EF-D的余弦值为331直线和平面所成的角的向量计算公式2.二面角的向量计算公式1|sin|OA nOA n cos|OA OBOAOB|cos|m nm n 求出直线的方向向量；求出平面的一个法向量。求出二面角上的三个向量；分别求出两个面的一个法向量。小结课后再做好复习巩固.谢谢！再见！奎屯王新敞新疆2007新疆奎屯特级教师http:/王新敞源头学子小屋
