1、第 1 页 共 4 页高二数学(理科)月考试卷一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题 60 分）1.下列命题中，说法正确的是（）A.命题“使得”的否定是：“均有”B.命题“若，则”的否命题为“若，则”C.若为真命题，则也为真命题D.“”是“”的必要不充分条件2.从编号的件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量是的样本,若编号为的产品在样本中,则该样本中产品的最大编号为()A.B.C.D.3.下表记录了某厂节能降耗技术改造后的产量(吨)与相应的耗能(千瓦)几组数据:根据上表数据求出关于的线性回归方程为,则表中的 的值为()A.B.C.D.4.关于茎叶图的说法,结论错误的一个是()A.甲的极差是B
2、.甲的中位数是C.乙的众数是D.甲的平均数比乙的大5.若二进制数化为十进制数为,与的最大公约数为,则().A.B.C.D.6.某品牌洗衣机专柜在“五一”期间举行促销活动,茎叶图中记录了每天的销售量(单位:台),把这些数据经过如图所示的程序框图处理后,输出的()A.B.C.D.7.在区间内任取一数,则满足的概率为()A.B.C.D.(6 题)(8 题)8.秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的数学九章中提成的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法去某多项式值的一个实例,若输入,的值分别为,则输出 的值为()A.B.C.D.9.设椭圆的右焦点与抛物
3、线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为().A.B.C.D.10.某班的数学考试成绩的平均分为分，方差为.后来发现成绩记录有误，同学甲得分却误记为分，同学乙得分却误记为分，更正后计算得方差为，则与的大小关系是()A.B.C.D.无法判断第 2 页 共 4 页11.直三棱柱中,分别是,的中点,则与所成角的余弦值为()A.B.C.D.12.已 知 椭 圆 和 双 曲 线 有 共 同 的 焦 点,是 它 们 的 一 个 交 点,且,记椭圆和双曲线的离心率分别为,则()A.B.C.D.二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题 20 分）13.设和的最大公约数为,用四进位制表示,则_.14.已知命题“
4、,”是假命题,则实数的取值范围是_.15.已知双曲线的左、右焦点分别为、,为的右支上的一点,且,则的面积等于_.16.已 知是 直 角 三 角 形,且,分 别 是的 中点,沿着翻折,使二面角为,则与所成角的余弦值_.三、解答题（本大题共 6 小题 70 分）17.(本小题 10 分）已知曲线的极坐标程是,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 的参数方程,(为参数),曲线的参数方程是(为参数).(1)写出曲线和直线 的直角坐标方程;(2)若直线 与曲线交于、两点,为曲线上的动点,求三角形面积的最大值.18.(本小题 12 分）已知关于 的一次函数.(1)设集合和,分别从集合和中
5、随机取一个数作为和,求函数是增函数的概率;(2)实数,满足条件,求函数的图象经过第一、二、三象限的概率.第 3 页 共 4 页19.(本小题 12 分）交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为.其范围为,分别有五个级别:畅通;基本畅通;轻度拥堵;中度拥堵;严重拥堵,晚高峰时段,从某市交通指挥中心选取了市区个交通路段,依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示.(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个?(2)用分层抽样的方法从交通指数在,的路段中共抽取 个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数;(3)从(2)中抽出的个路段中任取个,求至少一个路段为轻
6、度拥堵的概率.20.(本小题 12 分）如图,已知直三棱柱,是棱上动点,是中点,.(1)求证:平面;(2)当是棱中点时,求与平面所成的角;(3)当时,求二面角的大小.第 4 页 共 4 页21.(本小题 12 分）某公司在若干地区各投入万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从开始计数的.(1)根据频率分布直方图,计算图中各小 长方形的宽度;(2)根据频率分布直方图,估计投入万元广告费用之后,销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);(3)按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:表中数据显
7、示,与之间存在线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并计算关于的回归方程.附公式:,.22.(本小题 12 分）已知椭圆过两点,抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,准线方程为.(1)求的标准方程;(2)请问是否存在直线 满足条件:过的焦点;与交不同两点、,且满足直线与直线垂直?若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由.第 1页，共 6页高二数学月考试卷答案和解析第 1 题：【答案】C【解析】对于 A，命题“，使得”的否定是“，均有”，故 A 错误；对于 B，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故 B 错误；对于 C，若是真命题，则均为真命题，则是真命题，故 C 正确；对于 D，解得，“”是
8、“”的充要条件，故 D 错误，故选 C.第 2 题：【答案】B【解析】样本间隔为,设第一个号码为,编号为的产品在样本中,则,则第一个号码为,则最大的编号,故选:B第 3 题：【答案】D【解析】根据所给的表格可以求出,.第 4 题：【答案】B【解析】由茎叶图知,甲的最大值为,最小值为,所以甲的极差为,A正确;甲中间的两个数为,所以甲的中位数为,B 错误;乙的数据中出现次数最多的是,所以众数是,C 正确;甲命中个数集中在以上,乙命中个数集中在和之间,所以甲的平均数大,D 正确.第 5 题：【答案】D【解析】由题意,与 56 的最大公约数为,可得:,又,可得:,.故选:D.第 6 题：【答案】B【解
9、析】阅读程序流程图可知,该流程图输出的是销售量的平均值,结合茎叶图可知,输出值为:.第 7 题：【答案】B【解析】由,得,则事件发生的概率.第 8 题：【答案】A【解析】初始值,程序运行过程如下表所第 2页，共 6页示:,;,;,;,跳出循环,输出 的值为,故选:A.第 9 题：【答案】B【解析】抛物线的焦点为,又，.故椭圆方程为.第 10 题：【答案】A【解析】根据方差的计算公式，的算式中含有，的算式中含有，而两算式的其他部分完全相同，故易知.第 11 题：【答案】C【解析】以为坐标原点,分别以,所在直线为,轴建立如图所示空间直角坐标系,设,则,与所成角的余弦值为.第 12 题：【答案】A【
10、解析】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,则根据椭圆及双曲线的定义:,设,则 在中由余弦定理得,化简得,该式可变成.第 13 题：【答案】见解析【解析】由辗转相除法知,故,所第 3页，共 6页以所以故答案为:第 14 题：【答案】【解析】因为命题“,”是假命题,所以命题“,”是真命题,所以,所以,所以实数的取值范围是.第 15 题：【答案】【解析】由题意可知,根据双曲线的定义可知,为等腰三角形,边上的高为,的面积为.第 16 题：【答案】【解析】建系,如图,设,.第 17 题：【答案】见解析.【解析】(1)由题意可知,直线 的直角坐标方程为.4 分(2)将直线 方程代入的方程并整理得,设,
11、对应的参数分别为,则,设,所以点到直线 的距离,所以当时,的最大值,即三角形面积最大值为.10 分第 18 题：【答案】略第 4页，共 6页【解析】(1)抽取的全部结果的基本事件有:,共个,设“使函数为增函数的事件”为,则包含的基本事件有:,共 个,所以.6 分(2)、满足条件的区域如图所示.要使函数的图象过第一、二、三象限,则,故使函数图象过第一、二、三象限的的区域为第一象限的阴影部分,所求事件的概率为.12 分第 19 题：【答案】(1)轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有 个,个,个;(2)依次抽取的三个级别路段的个数为,;(3).【解析】(1)由直方图:个,个,个.所以这路段中,轻度拥
12、堵,中度拥堵,严重拥堵的路段分别是 个,个,个.3 分(2)由(1)知拥堵路段共有个,按分层抽样,从个路段选出 个,每种情况为:,即这三段中分别抽取的个数为,.7 分(3)记选出的 个轻度拥堵路段为,选出的 个中度拥堵路段为,选出的 个严重拥堵路段为,则从 个路段选取 个路段的可能情况如下:共种情况.其中至少有一个轻度拥堵的有:共 种可能.所选 个路段中至少一个轻度拥堵的概率是.12 分第 20 题：【答案】见解析【解析】(1)直三棱柱,是中点,第 5页，共 6页,平面.4 分（2）以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,设平面的法向量,则,取,得,设与平面所成的角为,则,与平面所成的
13、角为.8 分(3)当时,设平面的法向量,则,取,则,平面的法向量,设二面角的大小为,则,.二面角的大小为.12 分第 21 题：【答案】见解析【解析】(1)设各小长方形的宽度为,由频率分布直方图各小长方形面积总和为,可知,故.4 分(2)由(1)知各小组依次是,其中点分别为,对应的频率分别为,故可估计平均值为.8 分(3)由(2)知空白栏中填.由题意可知,根据公式,可求得第 6页，共 6页,即回归直线的方程为.12 分第 22 题：【答案】(1),;(2)存在,的方程为或.【解析】(1)把点,代入,得,解得,椭圆的标准方程为,设抛物线方程为,因为准线方程为,所以,抛物线的标准方程为.5 分(2)假设存在这样的直线 过抛物线焦点,设直线 的方程为,两交点坐标为,由消去,得,判别式,由直线与直线垂直,即,得,得,解得.所以假设成立,即存在直线 满足条件,且的方程为或.12 分
