1、第一章1.3.2A级基础巩固一、选择题1已知函数yf(x)在定义域内可导，则函数yf(x)在某点处的导数值为0是函数yf(x)在这点处取得极值的(B)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D非充分非必要条件解析根据导数的性质可知，若函数yf(x)在这点处取得极值，则f(x)0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)x3在R上是增函数，f(x)3x2，则f(0)0，但在x0处函数不是极值，即充分性不成立故函数yf(x)在某点处的导数值为0是函数yf(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B2已知函数yf(x)，xR有唯一的极值，且x1是f(x)的极小值点，则(C)A当x(，1)时，
2、f (x)0；当x(1，)时，f (x)0B当x(，1)时，f (x)0；当x(1，)时，f (x)0C当x(，1)时，f (x)0；当x(1，)时，f (x)0D当x(，1)时，f (x)0；当x(1，)时，f (x)0解析由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数是左负右正，又函数f(x)，xR有唯一的极值，故当x(，1)时，f (x)0；当x(1，)时，f (x)0.3已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a(D)A4B2C4D2解析由题意得f (x)3x212，由f (x)0得x2，当x(，2)时，f (x)0，函数f(x)单调递增，当x(2,2)时，f (x)0，函数f(x)
3、单调递增，所以a2.4设函数f(x)lnx，则(D)Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析f(x)lnx，f (x)，令f (x)0，即0，解得x2.当0x2时，f (x)2时，f (x)0，所以x2为f(x)的极小值点5函数yx32axa在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是(D)A(0,3) B(，3)C(0，) D(0，)解析y3x22a，因为函数在(0,1)内有极小值，所以y3x22a0在(0,1)内必有实数解，记f(x)3x22a，如图所以解得0a，故选D6对任意的xR，函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的
4、充要条件是(B)Aa0或a21 B0a21Ca21 D0a21解析f (x)3x22ax7a，因为f(x)在R上不存在极值，则4a284a0，解得0a21.二、填空题7已知函数f(x)x3x2cxd有极值，则c的取值范围为c0，解得c0，f (x)lnx12ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f (x)0有两个不等的正根，即函数ylnx1与y2ax的图象有两个不同的交点(x0)，则a0；设函数ylnx1上任一点(x0,1lnx0)处的切线为l，则kly，当l过坐标原点时，x01，令2a1a，0a1，则当x时，f (x)0.所以f(x)在x1处取得极小值若a1，则当x(0,1)时，ax1x10
5、.所以1不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是(1，)B级素养提升一、选择题1(2019杭州二模)已知a0且a1，则函数f(x)(xa)2lnx(C)A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值，又有极小值D既无极大值，又无极小值解析a0 且 a1，函数 f (x)(xa)2lnx，f (x)2(xa)lnx(xa)(2lnx1)，由f (x)0，得xa或2lnx10，由方程2lnx10，作出g(x)2lnx1和h(x)的图象，结合图象得g(x)2lnx1和h(x)的图象有交点，方程2lnx10有解，由此根据函数的单调性和极值的关系得到：函数f (x)(xa)2lnx既有极大值
6、，又有极小值故选C.2对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设 f(x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f (x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数g(x)x3x23x，则g()g()g()()A2017B.2018C2019D.2020解析函数的导数g(x)x2x3，g(x)2x1，由g(x0)0得2x010，解得x0，而g()1，故函数g(x)关于点(，1)对称，g(x)g(1x)2，故设g()g()g()m
7、，则g()g()g()m，两式相加得220182m，则m2018.故选B.二、填空题3(2019广西二模)若函数f(x)x33x2a(a0)只有2个零点，则a4.解析f(x)x33x2a则f (x)3x26x，令3x26x0，可得x0或x2，即函数有两个极值点，函数f(x)x33x2a(a0)只有2个零点，由f(0)a0得a0，又a0，a0舍去由f(2)812a0得a4.综上a4时，f(x)有且只有2个零点故答案为4.4(2019全国一模)已知函数f(x)xlnxx2，x0是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：0x0；f(x0)x00；f(x0)x00；其中正确的命题是.(填出所有正确命题
8、的序号)解析函数f(x)xlnxx2，(x0)f (x)lnx1x，易得f (x)lnx1x在(0，)递增，f ()0，x0，f (x)，0x0，即正确，不正确；lnx01x00f(x0)x0x0lnx0xx0x0(lnx0x01)x0，即正确，不正确故答案为.三、解答题5(2019保定二模)已知函数f(x)(a，bR且a0，e为自然对数的底数)若曲线f(x)在点(e，f(e)处的切线斜率为0，且f(x)有极小值，求实数a的取值范围解析f(x)，(x0)，f (x)，由f (e)0，则b0，则f (x)，当a0时，f (x)在(0，e)内大于0，在(e，)内小于0，f(x)在(0，e)内为增函
9、数，在(e，)为减函数，f(x)有极大值无极小值；当a0时，f(x)在(0，e)为减函数，在(e，)为增函数，f(x)有极小值无极大值；实数a的取值范围(，0)6(2018全国卷理，21)已知函数f(x)(2xax2)ln(1x)2x.(1)若a0，证明：当1x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0；(2)若x0是f(x)的极大值点，求a.解析(1)证明：当a0时，f(x)(2x)ln(1x)2x，f (x)ln(1x).设函数g(x)f (x)ln(1x)，则g(x).当1x0时，g(x)0；当x0时，g(x)0.故当x1时，g(x)g(0)0，且仅当x0时，g(x)0，从而f (x)0，且
10、仅当x0时，f (x)0.所以f(x)在(1，)单调递增又f(0)0，故当1x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.(2)()若a0，由(1)知，当x0时，f(x)(2x)ln(1x)2x0f(0)，这与x0是f(x)的极大值点矛盾()若a0，设函数h(x)ln(1x).由于当|x|min时，2xax20，故h(x)与f(x)符号相同又h(0)f(0)0，故x0是f(x)的极大值点，当且仅当x0是h(x)的极大值点h(x).若6a10，则当0x，且|x|min时，h(x)0，故x0不是h(x)的极大值点若6a10，则a2x24ax6a10存在根x10，故当x(x1,0)，且|x|min时，h(x)0，所以x0不是h(x)的极大值点若6a10，则h(x)，则当x(1,0)时，h(x)0；当x(0,1)时，h(x)0.所以x0是h(x)的极大值点，从而x0是f(x)的极大值点综上，a.
