1、第三节 基本不等式【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)基本不等式:基本不等式成立的条件是_.等号成立的条件:当且仅当_时取等号.a0,b0 a=b abab2(2)算术平均数与几何平均数:算术平均数几何平均数a0,b0_关系两个正数的算术平均数_它们的几何平均数ab2ab不小于(3)利用基本不等式求最大、最小值问题:如果x,y(0,+),且xy=P(定值),那么当_时,x+y有最小值2 .(简记:“积定和最小”)如果x,y(0,+),且x+y=S(定值),那么当x=y时,xy有最大值 .(简记:“和定积最大”)x=y P2S42.必备结论 教材提炼 记一记 常用的几个重要不等式:(
2、1)a+b_(a0,b0).(2)ab_(a,bR).(3)(a,bR).(4)_(a,b同号).(5)a2+b2_(a,bR).以上不等式等号成立的条件均为a=b.2 ab2ab()2222abab()22baab2 2ab 3.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法:根据基本不等式求最值的方法.(2)数学思想:等价转化思想、数形结合思想等.【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判(1)函数y=x+的最小值是2.()(2)函数f(x)=cosx+,x(0,)的最小值等于4.()(3)x0,y0是 2的充要条件.()(4)若a0,则a3+的最小值为2 .()1x4cos x2xyyx21a
3、a【解析】(1)错误,因为x没有确定符号,所以不能说最小值为2.(2)错误,利用基本不等式时,等号不成立.(3)错误,不是充要条件,当x0,y0,y0,且x+y=18,则xy的最大 值为()A.80 B.77 C.81 D.82【解析】选C.xy =81,当且仅当x=y=9时等号成立,故选C.22xy18()()22(2)(必修5P94习题3-3A组T4改编)把总长为d的篱笆围成一个矩形场 地,则矩形的最大面积是 .【解析】设一边长为x,则另一边长为 面积 当且仅当x=即x=时等号成立.答案:ddx(0 x),22222dxxddd2Sx(x)()(),22416dx2 d42d163.真题小
4、试 感悟考题 试一试(1)(2014重庆高考)若log4(3a+4b)=log2 ,则a+b的最小值 是()A.6+2 B.7+2 C.6+4 D.7+4 ab3333【解析】选D.log4(3a+4b)=log2 可得3a+4b=ab,且a0,b0,ab3a4b341,1,abba343a4b3a 4babab()77274 3.bababaD.即所以故选(2)(2014福建高考)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元 B.120元 C.160元 D.240元【解析】选C.由容器容
5、积为4,高为1可知,容器的底面积为4.设底面 长为x,则宽为 ,总造价为W.由题意,W=(2x1+2 1)10+420=20(x+)+80202 +80=160,当x=,即x=2时取“=”.4x4x4x44x(3)(2014上海高考)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为 .【解析】x2+2y2=x2+(y)22x(y)=2 ,所以x2+2y2的最小值为2 .答案:2 22222考点1 利用基本不等式求最值【典例1】(1)(2015南昌模拟)已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为()A.8 B.4 C.2 D.0(2)已知x0,则 的最大值为 .2xx4【解题提
6、示】(1)依据题意由基本不等式得x+2y=xy 从而求得x+2y的最小值或者化简x+2y-xy=0,得 =1,然后变换 x+2y的形式,利用基本不等式求出x+2y的最小值即可.(2)因为x0,所以分子、分母同除以x,再利用基本不等式求解即可.21x2y(),2221xy【规范解答】(1)选A.因为x0,y0,所以xy=(x2y)又x+2y=xy,所以x+2y 由x0,y0,解得x+2y8,当且仅当x=2y时,等号成立,所以x+2y的最小值为8.1221x2y(),2221x2y(),22【一题多解】解答本题，还有以下解法：选A.由x+2y-xy=0,得x+2y=xy,即 当且仅当x=2y时取等
7、号,故选A.121,yx 12x4yx 4yx2yx2y()4428yxyxy x，答案：22x12,4x4xx44x0,x2 x4,xx4x,x2,x11x10,.44x44xx因为又时当且仅当即时取等号所以即的最大值为14【互动探究】把例(1)的条件改为已知正数x，y满足x+2y=1，则 的最小值为_.【解析】因为正数x，y满足x+2y=1,所以 当且仅当 即x=2y时取等号.答案：8 21xy21214yx4yx4y x()x2y224428xyxyxyxyx y，4yx,xy【规律方法】利用基本不等式求最值的常用技巧(1)若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式.(2)若不直接满
8、足基本不等式条件,则需要创造条件对式子进行恒等变形,如构造“1”的代换等.(3)若一次应用基本不等式不能达到要求,需多次应用基本不等式,但要注意等号成立的条件必须要一致.提醒:若可用基本不等式,但等号不成立,则一般是利用函数单调性求解.利用基本不等式求最值的要求(1)在利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件:各项均为正数;含变数的各项的和(或积)必须是定值;当含变数的各项均相等时取得最值,即一正、二定、三相等.这三个条件极易忽略而导致解题失误,应引起足够的重视.(2)上述结论是我们用基本不等式求最值的依据,可简述为“和定积最大,积定和最小”.【变式训练】1.(2015西安模拟)设x,yR,a
9、1,b1,若ax=by=3,a+b=2 ,则 的最大值为()A.2 B.C.1 D.【解析】选C.由ax=by=3,得x=loga3,y=logb3,则 又a1,b1,所以ab =3,所以lg(ab)lg3,从而 当且仅当a=b=时等号成立.311xyablg ab1111lg alg b.xylog 3log 3lg 3lg 32ab()211lg 31,xylg 3332122.当x0时，f(x)的最大值为_【解析】因为x0，所以f(x)当且仅当x ，即x1时取等号 答案:1 22xx122x2211x12xx，1x【加固训练】已知正数x，y满足xy 10，则xy的最大值为_【解析】因为
10、10(xy)，所以(xy)()10(xy)(xy)2.又(xy)()10 10616，所以10(xy)(xy)216，即(xy)210(xy)160，所以2xy8，所以xy的最大值为8.答案：8 19xy19xy19xy19xy9xyyx考点 利用基本不等式证明简单不等式【典例】已知a0,b0,a+b=1,求证:(1)8.(2)【解题提示】(1)第(1)小题把 变形为 (2)第(2)小题把不等式左边展开,利用基本不等式得到结论.111abab 11(1)(1)9.ab1ab11.ab【规范解答】(1)111112()ababab，ab1a0b011ababab22 2 4ababba11118
11、(ababab2因为 ，所以 ，所以 当且仅当 时等号成立)(2)因为a0，b0，ab1，1abb112aaa1a12bb11baba1)(1)2)(2)5 2()5 4 9.ababab1111)(1)9(abab2所以 ，同理 ，所以(所以(当且仅当 时等号成立)【一题多解】解答本题(2)，还有以下解法：11111(1)(1)1ababab11118abab111111)(1)19.ababab ，由知，故(【规律方法】基本不等式的应用技巧(1)“1”的代换:是解决问题的关键,代换变形后能使用基本不等式是代换的前提,不能盲目变形.(2)证明不等式:关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式
12、,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果,必要时,也需要运用“拆、拼、凑”的技巧,同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到.【加固训练】1.已知a0，b0，c0，求证：【证明】因为a0，b0，c0，bccaababc.abc bccabc ca22cababbcabbc ab22bacaccaabca ab22a.bcbcbccaab2()2 abcabcbccaababc.abc所以；以上三式相加得：，即 2.已知a,b,c(0,+)且abc1，求证：【证明】因为a,b,c(0,+)且abc1，111(1)(1)(1)8.abc1 a1b 1 c111(1)
13、(1)(1)abcabcbcacab2 bc 2 ac 2 ab8.abcabc1abc3所以 当且仅当 时取等号考点2 基本不等式的实际应用【典例2】某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需 另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10 x(万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+-1450(万元).每件商品 售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式.(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?1310 000 x【解题提示】(1)分0 x
14、80与x80两种情况求解.(2)分0 x80与x80两种情况求最值.【规范解答】(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051 000 x万元，依题意得：当0 x80时，L(x)(0.051 000 x)x210 x250 x240 x250.当x80时，L(x)(0.051 000 x)51x 131310 0001 450 250 x10 0001 200(x).x 21 x40 x250,0 x80,3L x10 0001 200(x),x80.x所以(2)当0 x80时，L(x)(x60)2950.此时，当x60时，L(x)取得最大值L(60)950万元 当x80
15、时，L(x)1 200 1 200 1 2002001 000.此时x ，即x100时,L(x)取得最大值1 000万元 由于950q0,则提价多的方案是 .pq%2，【解析】设原价为1，则提价后的价格:方案甲：(1+p%)(1+q%),所以提价多的方案是乙.答案:乙 22pq(1%)21p%1q%pq1p%1q%1%222pq0pq1p%1q%1%2pq1p%1q%(1%)2 乙：，因为，因为，所以，即，考点3 基本不等式的综合应用 知考情 基本不等式是高考考查的热点,几乎每年都有与其有关的题目.常以选择题、填空题的形式出现.通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何
16、等问题.明角度 命题角度1:给出不等式判断其是否成立【典例3】(2015海口模拟)若a0,b0,a+b=2,则下列不等式恒成立的是 .(1)a2+b22.(2)2.(3)ab1.(4)【解题提示】利用所给的等式,结合基本不等式求得.11abab2.【规范解答】因为a0，b0，a+b=2，所以由 (1)a2+b22.(2)2.(3)ab1.即(1)(2)(3)均正确；22abab21ab1122ab 得11ab不妨令a=b=1，则 故(4)错误.综上所述，恒成立的是(1)(2)(3).答案：(1)(2)(3)ab22,命题角度2:利用基本不等式求与其他知识结合的最值问题【典例4】(2015济南模
17、拟)若点A(1,1)在直线mx+ny-2=0上,其中 mn0,则 的最小值为 .【解题提示】把A(1,1)代入mx+ny-2=0得到m,n的关系,再利用基本不 等式求得最小值.11mn【规范解答】因为点A(1，1)在直线mx+ny-2=0上，所以m+n-2=0，即 所以 当且仅当 即m2=n2时取等号.所以 的最小值为2.答案：2 mn1,221111mn11nmnm()()122,mnmn22222m2n2m 2n nm,2m2n11mn命题角度3:求参数的值或取值范围【典例5】(2015宿州模拟)已知a0,b0,若不等式 恒成立,则m的最大值为()A.9 B.12 C.18 D.24【解题
18、提示】观察题目特点,变形后利用基本不等式求得参数的值.31maba3b【规范解答】选B.因为a0，b0，不等式 恒成立，所以m 因为(a+3b)当且仅当a=3b时取等号.所以m的最大值为12.故选B.31maba3bmin31 a3b()ab319ba9b a()66212ababa b，悟技法 利用基本不等式处理综合问题的类型及相应的策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立:对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围.通一
19、类 1.(2015舟山模拟)若a和b均为非零实数,则下列不等式中恒成立的是()【解析】选D.当a=1,b=-1时,选项A,B,C中的不等式都不成立,只有D成立,故选D.222abbaA.abB.22ab11ababC.ab()4D.()ab22 2.(2015西安模拟)已知M是ABC内的一点，且 BAC=30，若MBC,MCA和MAB的面积分别为 ,x,y，则 的最小值是()A.20 B.18 C.16 D.19 AB AC2 3，1214xy【解析】选B.由 AB AC|AB|AC cos 302 3 得ABC1|AB|AC4,S|AB|AC sin 301,211xy1xy,221414y
20、4x2()xy2(5)252 218,xyxyxy11x,y.63 由得所以当且仅当时等号成立3.(2015南昌模拟)若对满足条件x+y+8=xy的正实数x,y都有(x+y)2-a(x+y)+10恒成立，则实数a的取值范围为_.【解析】因为x0,y0,所以x+y+8=xy 当且仅当x=y时取等号,解得x+y8,所以问题转化为当x+y8时(x+y)2-a(x+y)+10恒成立，即a(x+y)+令x+y=t,则f(t)=t+在8,+)上是增加的,故f(t)min=f(8)=答案：2xy,41.xy1t165658,a.888所以65(,8自我纠错16 基本不等式的最值问题【典例】若正数x,y满足x
21、+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A.B.C.5 D.6 245285【解题过程】【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?提示:上述解题过程中两次应用基本不等式时等号成立的条件不一致,导致错误.【规避策略】1.关注使用基本不等式时等号成立的条件 若连续两次使用基本不等式应保证两次等号成立的条件同时成立.2.妙用“1”的代换求代数式的最值 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换,即由已知条件得到某个式子的值为常数,然后将欲求最值的代数式乘上常数,再对代数式进行变形整理,从而可利用基本不等式求最值.【自我矫正】选C.由x0,y0,x3y5xy可得 所以3x4y(3x4y)当且仅当x1，y 时取等号，故3x4y的最小值是5.1315y5x，13()5y5x943x12y133x 12y131225555y5x55y 5x55 ，12
