1、吉林省辽源市东辽县第一高级中学2019-2020学年高二数学5月月考试题 理（含解析）一、单选题（每题5分，共12小题，共60分）1. 已知函数的定义域为，导函数在上的图象如图所示，则函数在上的极大值点的个数为().A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：由导函数在上的图象以及函数取得极大值点的充要条件是：在左侧的导数大于， 右侧的导数小于，即可得出结论.详解：导函数在上的图象如图所示，由函数取得极大值点的充要条件是：在左侧的导数大于， 右侧的导数小于，由图象可知，函数只有在点处取得最大值，而在点处取得极小值，而在点处无极值，函数在上的极大值点的个数为，故选B.点睛：本题主要考
2、查函数取得极大值在一点的充要条件，意在考查对基础知识的掌握情况，数形结合思想分法，推理能力与计算能力，属于中档题.2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ）A. 2B. -2C. 2iD. -2i【答案】B【解析】【分析】由复数除法运算计算出，再由复数的定义得出结论【详解】由题意，虚部为2故选：B【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念，属于基础题3. 函数的极大值点为（ ）A. 1B. -1C. (1,-1)D. (-1,1)【答案】A【解析】【分析】求出导数，确定的正负，的单调性，然后得极大值【详解】函数定义域为，当时，递增，当时，递减，时，取得极大值，极大值点为1故选：A【点睛】本题
3、考查导数与极值的关系，在可导函数中是为极值点的必要条件，必须确定在两侧的符号是相反的，才能确定是极值点还要注意极值点与极值的区别4. 设曲线在点处的切线方程为，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解【详解】因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.故选D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题5. 设，则（ ）A. B. C. D. 不存在【答案】C【解析】分析：根据分段函数将定积分分段求，再根据定积分原理求定积分.详解：由已知可得故选点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被
4、积函数当图形的边界不同时，要分不同情况讨论6. 观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】观察九宫格中的图形变化规律，发现图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据些规律得到正确的答案【详解】观察已知的8个图象，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据这些规律观察四个答案，发现B符合要求故选B【点睛】本题主要考查了归纳推理，它的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）7. 设为可导函数，则在点处的切线斜率为（ ）A.
5、2B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】由导数的几何意义,求出在曲线上点处的导数,即求得在此点处切线的斜率.【详解】由已知得，函数在点处的切线的斜率为故选：C.【点睛】本题考查导数的定义及几何意义,求解问题的关键,是对所给的极限表达式进行变形,利用导数的几何意义求出曲线上点的切线的斜率,属于基础题.8. 由，及轴所围成的平面图形的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出三个函数的图像，求出它们交点的坐标，利用定积分计算图形的面积.【详解】画出图像如下图所示，由图可知，所围成的平面图形的面积.故选D.【点睛】本小题主要考查利用定积分来计算曲边图形的面积，考查了数
6、形结合的数学思想方法.属于基础题.9. 用数学归纳法证明“”，则当时，应当在时对应等式的左边加上（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由数学归纳法可知时，左端，当时，即可得到答案.【详解】由题意，用数学归纳法法证明等式时，假设时，左端，当时，所以由到时需要添加的项数是，故选C.【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用，着重考查了理解与观察能力，以及推理与论证能力，属于基础题.10. 已知，求证，用反证法证明时，可假设；设， ， 都是正数，用反证法证明三个数， ， 至少有一个不小于2时，可假设， ， 都大于2，以下说法正确的是（ ）A. 与的假设都错误B. 与的假设都正确C. 的
7、假设正确，的假设错误D. 的假设错误，的假设正确【答案】C【解析】分析：反证法中假设是假设结论的反面成立，可分别写出结论反面，判断正误.详解：的反面是，正确，“至少有一个不小于2”的反面是“都小于2”，错误，故选C点睛：本题考查反证法，在反证法的假设中要注意，结论的反面是什么，特别是命题中有“至少”、“至少有一个”、“至多”、“至多有2个”、“都”等词时，它的反面是什么，不能写错.11. 己知函数，在处取得极大值，则实数的值是（ ）A. B. 2C. 2或6D. 6【答案】D【解析】【分析】由题意可得，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件.【详解】函数的导数为，由在处
8、有极大值，即有，即，解得或6，若时，可得或，由在处导数左负右正，取得极小值，若，可得或2，由在处导数左正右负，取得极大值.综上可得.所以D选项是正确的.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，根据函数的极值求参数需注意验证函数的单调性，属基础题.12. 函数与的图象有三个交点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得得，分离参数可得，设设，则，设，由已知得与有三个交点，对求导，由导数的性质可得的极大值与极小值，可得实数的取值范围.【详解】解：由题意可得得，.设，则，设，由已知得与有三个交点.，由得或；由得.所以极大值为，极小值为，又，所以当或时，函数
9、与图象有三个交点，故选：D.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性与极值，利用导数求解参数的取值范围，考查学生的综合计算能力，属于中档题.二、填空题（每题5分，共4小题，共20分）13. =_.【答案】【解析】【分析】根据定积分意义,画出几何图形,根据积分上限和下限即可求得其面积,即为积分值.【详解】令 则画出图像如下图:所以定积分值为【点睛】本题考查了定积分的简单应用,几何法在求定积分中的应用,属于基础题.14. 若函数在上是单调减函数，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】函数在上是单调减函数等价于在上恒成立，再利用分离变量最值法求解即可.【详解】解：因为函数，所以，由函数在上是单
10、调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立，设，则，当时，即，即的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查了函数导函数的求法，重点考查了利用导数研究不等式恒成立问题，属中档题.15. 已知函数在处有极值，其图象在处的切线平行于直线，则极大值与极小值之差为_【答案】4【解析】【详解】求导得 因为函数在取得极值，所以 即 ，又因为图象在 处的切线与直线 平行，所以 即 ，联立可得 ， 当 时， 或 ；当 时， 函数的单调增区间是 和 ，函数的单调减区间是 ，因此求出函数的极大值为 ，极小值为 ，故函数的极大值与极小值的差为 ，故答案为416. 已知 是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是_.【
11、答案】【解析】【分析】构造函数，根据条件确定新函数当时的单调性，再根据单调性解得当时的解集，即当时的解集，最后根据奇偶性得当时的解集，【详解】令，则，因为当时，所以当时，因为，为奇函数，所以，所以当时，即因为为奇函数，所以当时的解为综上，时，或故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用函数单调性和奇偶性解不等式，考查总结分析求解能力，属中档题.三、解答题(共70分）17. 设函数.（1）求不等式的解集；（2）若，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据绝对值的意义，对分三种情况讨论，去掉函数中的绝对值符号，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果
12、；（2）由（1）得出函数的最小值，若恒成立，等价于，根据一元二次不等式的解法，解不等式可求出实数的取值范围.试题解析：（1）当，当，当，综上所述（2）易得，若，恒成立，则只需 ，综上所述.18. 已知复数，为虚数单位，.（1）若是实数，求实数的值；（2）若，求实数的值；（3）若在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）1或；（3）【解析】【分析】（1）根据复数的分类求解；（2）由复数模的运算计算；（3）写出对应点坐标，由点所在象限得出不等式，解之可得【详解】（1）由题意，；（2）由己知，解得或（3）复数对应点坐标为，它在第三象限，则，解得的范围是【点睛】本题考查复
13、数的分类，复数模的概念，考查复数的几何意义，掌握相应的概念是解题基础19. 设函数（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为；（2），【解析】【分析】（1）直接利用导数求函数的单调区间；（2）由得，在单调递减，在单调递增，比较即得解.【详解】定义域为，由题得，令，x 所以的单调减区间为，单调增区间为；由得，在单调递减，在单调递增，所以，又，因为，所以，【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20. 若函数，当时，函数有极值（1）求函数的解析式；（2）求函数的极值；（3）若关于的方程有三个零点，求实
14、数k的取值范围【答案】（1）；（2）极大值，极小值；（3）【解析】【分析】（1）对函数进行求导，利用，解方程即可得答案；（2）对函数求导，令，并解导数不等式，即可得答案；（3）作出函数的图象，直线与函数图象需有3个交点，即可得答案；【详解】（1），由题意知，解得，故所求的解析式为；（2）由（1）可得，令，得或，列表如下：极大值极小值当时，有极大值，当时，有极小值；（3）由（2）知，得到当或时，为增函数；当时，为减函数，函数的图象大致如图，由图可知当时，与有三个交点，所以实数的取值范围为【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性、零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结
15、合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.21. 已知函数 （）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若对任意的，都有成立，求a的取值范围【答案】（）（）当时增区间为当时增区间为，减区间为（）【解析】【详解】试题分析：（）利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得到切线方程（）首先计算函数的导数，令导数大于零可得增区间，进而得到减区间，求解时注意对参数的取值范围分情况讨论（）不等式恒成立问题中求参数范围的一般采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题试题解析：（）时， 曲线在点处的切线方程 （） 当时，恒成立，函数的递增区间为 当时，令，解得或x（ 0,）（,1）f（x）-+f（
16、x）减增 所以函数的递增区间为，递减区间为 （）对任意的，使成立，只需任意的，当时，在上是增函数，所以只需而所以满足题意； 当时，在上是增函数，所以只需而所以满足题意； 当时，在上是减函数，上是增函数，所以只需即可而从而不满足题意； 综合实数的取值范围为 考点：1导数的几何意义；2导数与单调性最值；3不等式与函数的转化22. 已知函数.（1）当时，求最值；（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围.【答案】（1）最小值是，无最大值；（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，由导函数确定函数的单调性得最值；（2）求出，有函数有两个极值点，即方程有两个不等正根，得的范围，同时求出，可得，由单调性可得所求取值范围【详解】（1）由题意，易知时，递减，时，递增有极小值，也是最小值，无最大值（2）由题意，在两个极值点，则是方程的两个不等正根，显然是关于的减函数，取值范围是【点睛】本题考查导数与函数的最值，考查与函数极值点有关的范围问题，解题时可根据极值点的定义找到极值点与参数的关系，把待极值点的问题化为的函数，然后利用的范围求出结论
