1、函数的单调性与最值建议用时：45分钟一、选择题1下列函数中，在区间(0，)内单调递减的是()AyxByx2xCyln xx DyexxA对于A，y1在(0，)内是减函数，y2x在(0，)内是增函数，则yx在(0，)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，)上均不单调；选项D中，yex1，而当x(0，)时，y0，所以函数yexx在(0，)上是增函数2函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2) B(，1)C(1，) D(4，)D由x22x80，得x4或x2.因此，函数f(x)ln(x22x8)的定义域是(，2)(4，)，注意到函数yx22x8在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性
2、知，f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4，)3若函数f(x)x2a|x|2，xR在区间3，)和2，1上均为增函数，则实数a的取值范围是()A. B6，4C3，2 D4，3B由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，)上的单调性即可由题意知函数f(x)在3，)上为增函数，在1,2上为减函数，故2,3，即a6，44已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.D因为函数f(x)是定义在区间0，)上的增函数，满足f(2x1)f.所以02x1，解得x.5已知函数f(x)x22axa在区间(，1)
3、上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定()A有最小值 B有最大值C是减函数 D是增函数D由题意知a1，若a0，则g(x)x2a在(1，)上单调递增；若0a1，g(x)x2a在(，)上单调递增，则g(x)在(1，)上单调递增综上可得，g(x)x2a在区间(1，)上是增函数故选D.二、填空题6函数f(x)的值域为_，因为所以2x4，所以函数f(x)的定义域为2,4又y1，y2在区间2,4上均为减函数，所以f(x)在2,4上为减函数，所以f(4)f(x)f(2)，即f(x).7若f(x)是定义在R上的减函数，则a的取值范围是_由题意知，解得所以a.8(2019唐山模拟)设函数f(x)g(x)
4、x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_0,1)由题意知g(x)函数图象如图所示，其递减区间是0,1)三、解答题9已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)上单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)上单调递减，求实数a的取值范围解(1)证明：设x1x22，则f(x1)f(x2).因为(x12)(x22)0，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)上单调递增(2)设1x1x2，则f(x1)f(x2).因为a0，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述，实数a的取值范围是(0,
5、110已知函数f(x)x2a|x2|4.(1)当a2时，求f(x)在0,3上的最大值和最小值；(2)若f(x)在区间1，)上单调递增，求实数a的取值范围解(1)当a2时，f(x)x22|x2|4当x0,2时，1f(x)0，当x2,3时，0f(x)7，所以f(x)在0,3上的最大值为7，最小值为1.(2)因为f(x)又f(x)在区间1，)上单调递增，所以当x2时，f(x)单调递增，则2，即a4.当1x2时，f(x)单调递增，则1.即a2，且42a2a442a2a4恒成立，故实数a的取值范围为4，21函数f(x)满足f(x2)3f(x)，且xR，若当x0,2时，f(x)x22x2，则当x4，2时，
6、f(x)的最小值为()A. B.C DA因为f(x2)3f(x)，所以f(x)f(x2)f(x4)因为当x0,2时，f(x)x22x2，所以当x4，2，即x40,2时，f(x)f(x4)(x3)2，故当x3时，f(x)取得最小值，故选A.2定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1C6 D12C由题意知当2x1时，f(x)x2，当1x2时，f(x)x32，又f(x)x2，f(x)x32在相应的定义域内都为增函数，且f(1)1，f(2)6，f(x)的最大值为6.3已知f(x)不等式f(xa)f(2ax)在a，a1上恒成立
7、，则实数a的取值范围是_(，2)二次函数y1x24x3的对称轴是x2，该函数在(，0上单调递减，x24x33，同样可知函数y2x22x3在(0，)上单调递减，x22x33，f(x)在R上单调递减，由f(xa)f(2ax)得到xa2ax，即2xa，2xa在a，a1上恒成立，2(a1)a，a2，实数a的取值范围是(，2)4设函数f(x)ax2bx1(a，bR)，F(x)(1)若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立，求F(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围解(1)f(1)0，ba1.由f(x)0恒成立，知a0且方程ax2bx
8、10中的b24a(a1)24a(a1)20，a1，即b2.从而f(x)x22x1.F(x)(2)由(1)可知f(x)x22x1，g(x)f(x)kxx2(2k)x1，由g(x)在2,2上是单调函数，知2或2，得k2或k6.即实数k的取值范围为(，26，)1函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数设函数f(x)在0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：f(0)0；ff(x)；f(1x)1f(x)则ff_.由，令x0，可得f(1)1.由，令x1，可得ff(1).令x，可得ff.由结合f，可知f，令x，可得ff，因为且函数f(x)在0,1上为非减函数，所以f，所以ff.2已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，当x1时，f(x)0，f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)f(x)在(0，)上是单调递减函数，f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)，得ff(9)f(3)，而f(3)1，f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.
