1、应用不等式（含基本不等式）求最值典型例题： 例1. （2012年安徽省理13分）设 （I）求在上的最小值； （II）设曲线在点的切线方程为；求的值。【答案】解：（I）设，则。 当时，。在上是增函数。 当时，的最小值为。 当时， 当且仅当时，的最小值为。（II），。 由题意得：，即，解得。【考点】复合函数的应用，导数的应用，函数的增减性，基本不等式的应用。【解析】（I）根据导数的的性质分和求解。 （II）根据切线的几何意义列方程组求解。例2.（2012年安徽省文12分）设定义在（0，+）上的函数（）求的最小值；（II）若曲线在点处的切线方程为，求的值。【答案】解：（I）， 当且仅当时，的最小值为
2、。（II）曲线在点处的切线方程为，。 。 又， 。 解得：。【考点】基本不等式的应用，导数的应用。【解析】（I）应用基本不等式即可求得的最小值。 （II）由和联立方程组，求解即可求得的值。例3.（2012年陕西省理5分）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为【 】A. B. C. D. 【答案】C。【考点】余弦定理，基本不等式的应用。【解析】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值：，。由余弦定理得，当且仅当时取“=”。的最小值为。故选C。例4.（2012年安徽省理5分）若平面向量满足：；则的最小值是 来【答案】。【考点】平面向量，基本不等式的应用。【解析】，。
3、又，。 的最小值是。例5.（2012年天津市理5分）设，若直线与圆相切，则的取值范围是【 】（A） （）（）（）【答案】D。【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法【分析】直线与圆相切，圆心到直线的距离为，。又，即。设，则，解得。故选D。例6. （2012年湖南省理5分）已知两条直线 ：和：，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为 , ,当m 变化时，的最小值为【 】来源%&:中国*教育#出版网A B. C. D. 【答案】B。【考点】数形结合，函数的图象，基本不等式的应用。【解
4、析】如图，在同一坐标系中作出，图像， 由，得，由，得。根据题意得。，。故选B。例7. （2012年福建省理5分）下列不等式一定成立的是【 】Alglgx(x0)Bsinx2(xk，k)Cx212|x|(x)D.1(x)【答案】C。【考点】不等式的性质以及基本不等式的应用。【解析】对于A，当x时，lglgx，所以A不一定成立；对于B，当sinx0时，不等式才成立，所以B不一定成立；对于C，命题显然正确；对于D，x211，00且。当MBA=90时，点M的坐标为（2，, 3）。当MBA90时，x2。由得 tanMBA=，即化简得：。而点（2，,3）在上。时，。综上可知，轨迹C的方程为（）。(II)由
5、方程消去y，可得。（*）由题意，方程（*）有两根且均在（1，+）内，设，解得，m1且m2。设Q、R的坐标分别为，由有。由m1且m2得 且。 的取值范围是。 【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法，倍角公式的应用。【解析】（）设M的坐标为（x，y），当MBA=90时，可直接得到点M的坐标为（2，, 3）；当MBA90时，由应用倍角公式即可得到轨迹的方程。（）直线与联立，消元可得，利用有两根且均在（1，+）内可知，m1，m2。设Q，R的坐标，求出xR，xQ，利用 ，即可确定 的取值范围。例10. （2012年四川省文12分）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为4，设动点的轨迹为。（）求轨迹的
6、方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。【答案】解：（）设M的坐标为（x，y），当x=1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在；，MA的斜率为，MB的斜率为。由题意，有=4，化简可得，。轨迹的方程为（）。（）由消去y，可得 () 对于方程()，其判别式，而当1或1为方程（*）的根时，m的值为1或1，结合题设可知，且m1。设的坐标分别为，,则为方程（*）的两根。，。 。此时，且。 且。且。综上所述，的取值范围为 。【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法。【解析】（）设M的坐标为（x，y），由当x=1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在
7、，得到，由直线的斜率之积为4列式即可得到轨迹的方程。（）直线与联立，消元可得 ()，利用()有两根且，且m1。设Q，R的坐标，求出xR，xQ，利用 ，即可确定 的取值范围。例11.（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【答案】解：（1）在中，令，得。 由实际意义和题设条件知。 ，当且仅当时取等号。 炮的最大射程是10千米。 （2），炮弹可以击中目标等价于存在，使成立， 即关于的方程有正根。 由得。 此时，（不考虑另一根）。 当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。【考点】函数、方程和基本不等式的应用。【解析】（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。 （2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。
