1、32.2复数的乘法1.了解虚数单位i的周期性2.理解共轭复数的性质3.掌握复数的乘法及指数幂的运算律1复数的乘法(1)定义:(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i(2)运算律:对任意复数z1,z2,z3有交换律:z1z2z2z1;结合律:(z1z2)z3z1(z2z3);分配律:z1(z2z3)z1z2z1z32共轭复数的性质 (1) z |z|2|2.(2) ;()(z20)3复数的乘方对复数z,z1,z2和自然数m,n,有zmznzmn,(zm)nzmn,(z1z2)nzz.1若复数z11i,z23i,则z1z2()A42iB2iC22i D3i解析:选A.z1z2(1i)(3i)
2、42i.2下列各式的运算结果为纯虚数的是()Ai(1i)2Bi2(1i)C(1i)2 Di(1i)解析:选C.i(1i)2i2i2,不是纯虚数,排除A;i2(1i)(1i)1i,不是纯虚数,排除B;(1i)22i,2i是纯虚数故选C.3复数i3(1i)2()A2 B2C2i D2i解析:选A.i3(1i)2i2i2.复数的乘法运算计算下列各题(1)(1i)2;(2)(13i)(34i);(3)(1i)(i)(1i)解(1)(1i)212ii22i.(2)(13i)(34i)34i9i12i2913i.(3)法一:(1i)(i)(1i)(iii2)(1i)(i)(1i)iii21i.法二:原式(
3、1i)(1i)(i)(1i2)(i)2(i)1i.复数的乘法运算法则的记忆复数的乘法运算可以把i看作字母,类比多项式的乘法进行,注意要把i2化为1,进行最后结果的化简 把复数z的共轭复数记作,i为虚数单位若z1i,则(1z)()A3iB3iC13i D3解析:选A.(1z)(2i)(1i)3i.虚数单位的幂的周期性(1)等于_(2)化简i2i23i3100i100.解(1)i2 017(i4)504i1504ii.故填i.(2)设Si2i23i3100i100,所以iSi22i399i100100i101,得(1i)Sii2i3i100100i101100i1010100i100i.所以S50
4、50i.所以i2i23i3100i1005050i. (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用,i的周期性要记熟,即inin1in2in30(nN)(2)记住以下结果,可提高运算速度(1i)22i,(1i)22i.i,i.i. 1.复数z,则z2z4z6z8z10的值为()A1B1Ci Di解析:选B.z21,所以111111.2计算:(1);(2)ii2i2 017.解:(1)原式i(1i)(i)1 008ii2(1)1 008i1 008i1i4252i11i.(2)法一:原式i.法二:因为inin1in2in3in(1ii2i3)0(nN),所以原式(ii2i3i4)(i5i6i
5、7i8)(i2 013i2 014i2 015i2 016)i2 017i2 017(i4)504i1504ii.共轭复数(1)已知a,bR,i是虚数单位,若ai与2bi互为共轭复数,则(abi)2()A54iB54iC34i D34i(2)把复数z的共轭复数记作,已知(12i)43i,求z.解(1)选D.因为ai与2bi互为共轭复数,所以a2,b1,所以(abi)2(2i)234i.(2)设zabi(a,bR),则abi,由已知得:(12i)(abi)(a2b)(2ab)i43i,由复数相等的定义知,得a2,b1,所以z2i.共轭复数性质的巧用(1)z|z|2|2是共轭复数的常用性质;(2)
6、实数的共轭复数是它本身,即zRz,利用此性质可以证明一个复数是实数;(3)若z0且z0,则z为纯虚数,利用此性质可证明一个复数是纯虚数 已知zC,为z的共轭复数,若z3i13i,求z.解:设zabi(a,bR),则abi(a,bR),由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i,即a2b23b3ai13i,则有解得或所以z1或z13i.1i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i,其中nN.2记住以下结果,可提高运算速度(1i)22i,(1i)22i.1z1z20只是z1与z2共轭的必要条件2不能灵活地运用共轭复数的性质解题1(1i)2i等于()A22i B22iC2 D2解析:选D.(
7、1i)2i(12ii2)i2i22.2复数z1i,为z的共轭复数,则z z1()A2iBiCi D2i解析:选B.z1i,1i,zz12(1i)1i,故选B.3复数(1i)3的虚部是_解析:因为(1i)3133i3(i)2i322i,所以虚部为2.答案:2 A基础达标1(1i)20(1i)20的值是()A1 024B1 024C0 D1 025解析:选C.(1i)20(1i)20(1i)210(1i)210(2i)10(2i)10(2i)10(2i)100.2设a,b,c,dR,则复数(abi)(cdi)为实数的充要条件是()Aadbc0 Bacbd0Cacbd0 Dadbc0解析:选D.因为
8、a,b,c,dR,复数(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i为实数,所以adbc0.故选D.322i的平方根是()A.i B.iCi D(i)解析:选D.设其平方根为xyi(x,yR),则x2y22xyi22i,所以解得或所以其平方根为i或i.4若i,则421等于()A1 B0C3i D1i解析:选B.421210.5若z6,z10,则z()A13i B3iC3i D3i解析:选B.设zabi(a,bR),则abi,所以解得a3,b1,则z3i.6(1i)6(1i)6_解析:(1i)6(1i)6(1i)23(1i)23(2i)3(2i)30.答案:07复数z与(z2)28i均是纯虚数,
9、则z_解析:设zai(aR且a0),则(z2)28iz24z48i(a24)(4a8)i,所以解得a2,所以z2i.答案:2i8已知a,bR,i是虚数单位,若(1i)(1bi)a,则的值为_解析:(1i)(1bi)1b(1b)ia,则所以即2.答案:29已知复数z134i,z2ti,且z1是实数,求实数t.解:z1(34i)(ti)(3t4)(4t3)i.因为z1是实数,所以4t30,所以t.10已知32i是关于x的方程2x2pxq0的一个根,求实数p、q及方程的另一根解:因为(32i)是方程2x2pxq0的一个根,所以2(32i)2p(32i)q0,即(103pq)(2p24)i0,所以所以
10、所以原方程为2x212x260,即x26x130,所以3641316,所以方程根为x32i,所以方程的另一根为32i.B能力提升11投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m和n,则复数(mni)(nmi)为实数的概率为()A. B.C. D.解析:选C.因为(mni)(nmi)2mn(n2m2)i,它为实数的等价条件是m2n2,又m,n均为正整数,所以mn.故问题事件所含基本事件有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)六个,基本事件空间中含有36个基本事件,所以复数(mni)(nmi)为实数的概率为.12设复数z满足i(z1)32i(i为虚数单位),则z的实部是_
11、解析:令zabi(a,bR),由i(z1)32i得i(a1)bi32i,即b(a1)i32i,所以b3,a1,故z的实部是1.答案:113已知复数z满足z(13i)(1i)4.(1)求复数z的共轭复数;(2)若zai,且复数对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,求实数a的取值范围解:(1)z1i3i3424i,所以复数z的共轭复数为24i.(2)2(4a)i,复数对应向量为(2,4a),其模为.又复数z所对应向量为(2,4),其模为2.由复数对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得,208aa220,a28a0,a(a8)0,所以,实数a的取值范围是8a0.14(选做题)已知复数z满足|z|,z2的虚部为2.(1)求复数z;(2)设z,z2,zz2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求ABC的面积解:(1)设zabi(a,bR),由已知条件,得a2b22,z2a2b22abi,所以2ab2.所以ab1或ab1,即z1i或z1i.(2)当z1i时,z2(1i)22i,zz21i.所以点A(1,1),B(0,2),C(1,1)所以SABC|AC|1211.当z1i时,z2(1i)22i,zz213i,所以点A(1,1),B(0,2),C(1,3),所以SABC|AC|1211.故ABC的面积为1.