1、32.2复数的乘法1.了解虚数单位i的周期性2.理解共轭复数的性质3.掌握复数的乘法及指数幂的运算律1复数的乘法(1)定义：(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i(2)运算律：对任意复数z1，z2，z3有交换律：z1z2z2z1；结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)；分配律：z1(z2z3)z1z2z1z32共轭复数的性质 (1) z |z|2|2.(2) ；()(z20)3复数的乘方对复数z，z1，z2和自然数m，n，有zmznzmn，(zm)nzmn，(z1z2)nzz.1若复数z11i，z23i，则z1z2()A42iB2iC22i D3i解析：选A.z1z2(1i)(3i)
2、42i.2下列各式的运算结果为纯虚数的是()Ai(1i)2Bi2(1i)C(1i)2 Di(1i)解析：选C.i(1i)2i2i2，不是纯虚数，排除A；i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数，排除B；(1i)22i，2i是纯虚数故选C.3复数i3(1i)2()A2 B2C2i D2i解析：选A.i3(1i)2i2i2.复数的乘法运算计算下列各题(1)(1i)2；(2)(13i)(34i)；(3)(1i)(i)(1i)解(1)(1i)212ii22i.(2)(13i)(34i)34i9i12i2913i.(3)法一：(1i)(i)(1i)(iii2)(1i)(i)(1i)iii21i.法二：原式(
3、1i)(1i)(i)(1i2)(i)2(i)1i.复数的乘法运算法则的记忆复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为1，进行最后结果的化简 把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位若z1i，则(1z)()A3iB3iC13i D3解析：选A.(1z)(2i)(1i)3i.虚数单位的幂的周期性(1)等于_(2)化简i2i23i3100i100.解(1)i2 017(i4)504i1504ii.故填i.(2)设Si2i23i3100i100，所以iSi22i399i100100i101，得(1i)Sii2i3i100100i101100i1010100i100i.所以S50
4、50i.所以i2i23i3100i1005050i. (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即inin1in2in30(nN)(2)记住以下结果，可提高运算速度(1i)22i，(1i)22i.i，i.i. 1.复数z，则z2z4z6z8z10的值为()A1B1Ci Di解析：选B.z21，所以111111.2计算：(1)；(2)ii2i2 017.解：(1)原式i(1i)(i)1 008ii2(1)1 008i1 008i1i4252i11i.(2)法一：原式i.法二：因为inin1in2in3in(1ii2i3)0(nN)，所以原式(ii2i3i4)(i5i6i
5、7i8)(i2 013i2 014i2 015i2 016)i2 017i2 017(i4)504i1504ii.共轭复数(1)已知a，bR，i是虚数单位，若ai与2bi互为共轭复数，则(abi)2()A54iB54iC34i D34i(2)把复数z的共轭复数记作，已知(12i)43i，求z.解(1)选D.因为ai与2bi互为共轭复数，所以a2，b1，所以(abi)2(2i)234i.(2)设zabi(a，bR)，则abi，由已知得：(12i)(abi)(a2b)(2ab)i43i，由复数相等的定义知，得a2，b1，所以z2i.共轭复数性质的巧用(1)z|z|2|2是共轭复数的常用性质；(2)
6、实数的共轭复数是它本身，即zRz，利用此性质可以证明一个复数是实数；(3)若z0且z0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数 已知zC，为z的共轭复数，若z3i13i，求z.解：设zabi(a，bR)，则abi(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，则有解得或所以z1或z13i.1i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，其中nN.2记住以下结果，可提高运算速度(1i)22i，(1i)22i.1z1z20只是z1与z2共轭的必要条件2不能灵活地运用共轭复数的性质解题1(1i)2i等于()A22i B22iC2 D2解析：选D.(
7、1i)2i(12ii2)i2i22.2复数z1i，为z的共轭复数，则z z1()A2iBiCi D2i解析：选B.z1i，1i，zz12(1i)1i，故选B.3复数(1i)3的虚部是_解析：因为(1i)3133i3(i)2i322i，所以虚部为2.答案：2 A基础达标1(1i)20(1i)20的值是()A1 024B1 024C0 D1 025解析：选C.(1i)20(1i)20(1i)210(1i)210(2i)10(2i)10(2i)10(2i)100.2设a，b，c，dR，则复数(abi)(cdi)为实数的充要条件是()Aadbc0 Bacbd0Cacbd0 Dadbc0解析：选D.因为
8、a，b，c，dR，复数(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i为实数，所以adbc0.故选D.322i的平方根是()A.i B.iCi D(i)解析：选D.设其平方根为xyi(x，yR)，则x2y22xyi22i，所以解得或所以其平方根为i或i.4若i，则421等于()A1 B0C3i D1i解析：选B.421210.5若z6，z10，则z()A13i B3iC3i D3i解析：选B.设zabi(a，bR)，则abi，所以解得a3，b1，则z3i.6(1i)6(1i)6_解析：(1i)6(1i)6(1i)23(1i)23(2i)3(2i)30.答案：07复数z与(z2)28i均是纯虚数，
9、则z_解析：设zai(aR且a0)，则(z2)28iz24z48i(a24)(4a8)i，所以解得a2，所以z2i.答案：2i8已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_解析：(1i)(1bi)1b(1b)ia，则所以即2.答案：29已知复数z134i，z2ti，且z1是实数，求实数t.解：z1(34i)(ti)(3t4)(4t3)i.因为z1是实数，所以4t30，所以t.10已知32i是关于x的方程2x2pxq0的一个根，求实数p、q及方程的另一根解：因为(32i)是方程2x2pxq0的一个根，所以2(32i)2p(32i)q0，即(103pq)(2p24)i0，所以所以
10、所以原方程为2x212x260，即x26x130，所以3641316，所以方程根为x32i，所以方程的另一根为32i.B能力提升11投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(mni)(nmi)为实数的概率为()A. B.C. D.解析：选C.因为(mni)(nmi)2mn(n2m2)i，它为实数的等价条件是m2n2，又m，n均为正整数，所以mn.故问题事件所含基本事件有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)六个，基本事件空间中含有36个基本事件，所以复数(mni)(nmi)为实数的概率为.12设复数z满足i(z1)32i(i为虚数单位)，则z的实部是_
11、解析：令zabi(a，bR)，由i(z1)32i得i(a1)bi32i，即b(a1)i32i，所以b3，a1，故z的实部是1.答案：113已知复数z满足z(13i)(1i)4.(1)求复数z的共轭复数；(2)若zai，且复数对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围解：(1)z1i3i3424i，所以复数z的共轭复数为24i.(2)2(4a)i，复数对应向量为(2，4a)，其模为.又复数z所对应向量为(2，4)，其模为2.由复数对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得，208aa220，a28a0，a(a8)0，所以，实数a的取值范围是8a0.14(选做题)已知复数z满足|z|，z2的虚部为2.(1)求复数z；(2)设z，z2，zz2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求ABC的面积解：(1)设zabi(a，bR)，由已知条件，得a2b22，z2a2b22abi，所以2ab2.所以ab1或ab1，即z1i或z1i.(2)当z1i时，z2(1i)22i，zz21i.所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，1)所以SABC|AC|1211.当z1i时，z2(1i)22i，zz213i，所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，3)，所以SABC|AC|1211.故ABC的面积为1.