1、考点规范练41圆与圆的方程考点规范练A册第31页基础巩固组1.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的和是() A.30B.18C.10D.5答案:C解析:由圆x2+y2-4x-4y-10=0知圆心坐标为(2,2),半径为3,则圆上的点到直线x+y-14=0的最大距离为+3=8,最小距离为-3=2,故最大距离与最小距离的和为10.2.实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为()A.2B.1C.D.导学号32470512答案:B解析:设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心C(-5,12
2、),半径r=12,x2+y2=2=|OP|2,又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.3.(2015全国,文7)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B.C.D.答案:B解析:由题意知,ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点为P,而线段AB垂直平分线的方程为y-,它与x=1联立得圆心P坐标为,则|OP|=.4.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2
3、)2+(y-1)2=1答案:A解析:设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则解得因为点Q在圆x2+y2=4上,所以=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.5.已知圆C的圆心在曲线y=上,圆C过坐标原点O,且分别与x轴、y轴交于A,B两点,则OAB的面积等于()A.2B.3C.4D.8答案:C解析:设圆心的坐标是.圆C过坐标原点,|OC|2=t2+,圆C的方程为(x-t)2+=t2+.令x=0,得y1=0,y2=,B点的坐标为;令y=0,得x1=0,x2=2t,A点的坐标为(2t,0),SOAB=|OA|OB|=|2t|=4,即OAB
4、的面积为4.6.(2015湖北,文16)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为 .答案:(1)(x-1)2+(y-)2=2(2)-1-解析:(1)由题意可设圆心C坐标为(1,b),再取AB中点为P,连接CP,CB,则BPC为直角三角形,得|BC|=r=b,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.(2)由(1)得,C(1,),B(0,+1),则kBC=-1.圆C在点B处的切线方程为y=x+1,令y=0,得x=-1,即切线在x轴上的截距为-1-.7.(2015河北
5、衡水中学高三一调)若实数a,b,c成等差数列,点P(-1,0)在动直线l:ax+by+c=0上的射影为M,点N(0,3),则线段MN长度的最小值是.导学号32470513答案:4-解析:因为a,b,c成等差数列,故有2b=a+c,即a-2b+c=0,对比方程ax+by+c=0可知,动直线恒过定点Q(1,-2).由于点P(-1,0)在动直线ax+by+c=0上的射影为M,即PMQ=90,所以点M在以PQ为直径的圆上,该圆的圆心为PQ的中点C(0,-1),且半径为,再由点N到圆心C的距离为NC=4,所以线段MN的最小值为NC-r=4-.8.已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3
6、,0),则直角顶点C的方程为.答案:(x-1)2+y2=4(x3,且x-1)解析:设C的坐标为(x,y),由题意可知=0,即(x+1,y)(x-3,y)=0,整理得(x-1)2+y2=4.又C与A,B构成三角形,所以x3,且x-1,故C的方程为(x-1)2+y2=4(x3,且x-1).能力提升组9.若直线l过点P且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为()A.3x+4y+15=0B.x=-3或y=-C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=0导学号32470514答案:D解析:若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=4,故直线l被圆截得的弦长为8,满
7、足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为,解得k=-,此时直线方程为3x+4y+15=0.10.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5-4B.-1C.6-2D.导学号32470515答案:A解析:圆C1,C2的图像如图所示.设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC1|-1,同理|PN|的最小值为|PC2|-3
8、,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C1(2,-3),连接C1C2,与x轴交于点P,连接PC1,可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C1C2|,则|PM|+|PN|的最小值为5-4,故选A.11.在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,0)在圆C:x2+y2-2mx-4y+m2-28=0内,动直线AB过点P且交圆C于A,B两点,若ABC的面积的最大值为16,试求m的取值范围.解:由题意得圆心C(m,2),半径r=4.因为点P(3,0)在圆C:x2+y2-2mx-4y+m2-28=0内,所以32+0-6m-0+m2-280,解得3-2m0矛盾.舍去,即=(6,8).(2)圆x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=()2,其圆心为C(3,-1),半径r=,=(4,-3)+(6,8)=(10,5),直线OB的方程为y=x.设圆心C(3,-1)关于直线y=x的对称点的坐标为(a,b),则解得所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.
