1、42.2 & 4.2.3圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用圆与圆的位置关系提出问题上图为某次拍到的日环食全过程可以用两个圆来表示变化过程问题1：根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？提示：5种，即内含、内切、相交、外切、外离问题2：能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断问题3：直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？提示：可以导入新知1圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含2圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则
2、两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C1：x2y2D1xE1yF10(DE4F10)，C2：x2y2D2xE2yF20(DE4F20)，联立方程组得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含化解疑难几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断出不
3、相交、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判定两圆的位置关系问题判断两圆的位置关系例1当实数k为何值时，两圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交、相切、相离？解将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k.圆C1的圆心为C1(2,3)，半径长r11；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2(k50)，从而|C1C2|5.当15，即k34时，两圆外切当|1|5，即6，即k14时，两圆内切当|1|51，即14k34时，两圆相交当15或|
4、1|5，即k14或34k50时，两圆相离类题通法1判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d与r1r2，|r1r2|的大小关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合2应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系活学活用1两圆C1：x2y22x30，C2：x2y24x2y30的位置关系是()A相离B相切C相交 D内含答案：C2(湖南高考)若圆C1：x2y21 与圆 C2：x2y26x8ym0外切，则 m()A21 B
5、19C9 D11答案：C 与两圆相交有关的问题例2求经过两圆x2y26x40和x2y26y280的交点且圆心在直线xy40上的圆的方程解法一：解方程组得两圆的交点A(1,3)，B(6，2)设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线xy40上，故ba4.则有，解得a，故圆心为，半径为 .故圆的方程为22，即x2y2x7y320.法二： 圆x2y26y280的圆心(0，3)不在直线xy40上，故可设所求圆的方程为x2y26x4(x2y26y28)0(1)，其圆心为，代入xy40，求得7.故所求圆的方程为x2y2x7y320.类题通法1圆系方程一般地过圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y
6、2D2xE2yF20交点的圆的方程可设为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)，然后再由其他条件求出，即可得圆的方程2两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.3公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解活学活用已知圆C1：x2y22x6y10，与圆C2：x2y24x2y110相交于A，B两点
7、，求AB所在的直线方程和公共弦AB的长解：由圆C1的方程减去圆C2的方程，整理，得方程3x4y60，又由于方程3x4y60是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程3x4y60的解因为两点确定一条直线，所以3x4y60是两圆公共弦AB所在的直线方程圆C1：x2y22x6y10，圆心为C1(1,3)，半径r3，圆心C1到直线AB的距离d，AB22.AB所在的直线方程为3x4y60，公共弦AB的长为.直线与圆的方程的实际应用例3有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10 千米，顾客选择A地或B地购买这种商品
8、的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？解以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设A(5,0)，则B(5,0)在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A运货到P地的运费为2a元/千米，则从B运货到P地运费为a 元/千米若P地居民选择在A地购买此商品，则2aa，整理得2y22.即点P在圆C：2y22的内部也就是说，圆C内的居民应在A地购物同理可推得圆C外的居民应在B地购物圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购物类题通法求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤(1)认真审题，明确题意；(2)建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程
9、表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程；(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)把代数结果还原为实际问题的解活学活用某公园有A，B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 km和2 km，且A，B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大由平面几何知识知，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上建立平面直角坐标系由题意，得A(，)，B(0,2)，设圆的方程为(xa)2(yb)2b2，由A，B两点在圆上，得或由实际
10、意义知a0，b，圆的方程为x2(y)22，切点为(0,0)，观景点应设在B景点在小路的投影处坐标法解决平面几何问题例4如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H.求证：EF平分CD.解证明：以AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，设|AB|2r，D(a,0)，则|CD|，C(a，)，圆O：x2y2r2，圆C：(xa)2(y)2r2a2.两方程作差得直线EF的方程为2ax2yr2a2.令xa，得y，H，即H为CD中点，EF平分CD.类题通法平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：(1)建立适当的平面
11、直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题(2)通过代数运算，解决代数问题(3)把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论活学活用在平行四边形ABCD中，用坐标法证明：|AB|2|BC|2|CD|2|DA|2|AC|2|BD|2.证明：以CA所在的直线为x轴，线段CA的中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系设A(a,0)，B(b，c)，则C(a,0)，D(b，c)|AB|2|BC|2|CD|2|DA|22(|AB|2|BC|2)2(ba)2c2(ab)2(c)24a24b24c2，|BD|2|AC|2(bb)2(cc)2(aa)24a24b24c2.|AB|
12、2|BC|2|CD|2|DA|2|AC|2|BD|2.典例(12分)求半径为4，与圆x2y24x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程解题流程故a22，此时圆的方程为(x22)2(y4)216或(x22)2(y4)216.(10分)综上，所求圆的方程为(x22)2(y4)216或(x22)2(y4)216或(x22)2(y4)216或(x22)2(y4)216.(12分)活学活用(江苏高考节选)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直
13、线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程；解：圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，圆N的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.因此，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆心M到直线l的距离d.因为BCOA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.随堂即时演练1圆x2y250与圆x2y212x6y400公共弦长为
14、()A.B.C2 D2答案：C2已知两圆相交于A(1,3)，B(m，1)，两圆的圆心均在直线xyc0上，则m2c的值为()A1 B1C3 D0答案：B3已知圆C1：(x1)2(y2)24，圆C2：(x2)2(y2)29，则两圆的位置关系是_答案：外切4已知两圆x2y210和(x1)2(y3)220相交于A，B两点，则直线AB的方程是_答案：x3y05已知圆C1：x2y22mx4ym250，圆C2：x2y22x0.(1)m1时，圆C1与圆C2有什么位置关系？(2)是否存在m，使得圆C1与圆C2内含？答案：(1)相交(2)不存在课时达标检测一、选择题1已知0r1，则两圆x2y2r2与(x1)2(y
15、1)22的位置关系是()A外切 B相交C外离 D内含答案：B2半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2(y3)21内切，则此圆的方程为()A(x4)2(y6)26B(x4)2(y6)26C(x4)2(y6)236D(x4)2(y6)236答案：D3已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m,0)(m0)若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A7 B6C5 D4答案：B4若集合A(x，y)|x2y216，B(x，y)|x2(y2)2a1，且ABB，则a的取值范围是()A(，1 B5，)C1,5 D(，5答案：D5设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两
16、圆心的距离|C1C2|等于()A4 B4C8 D8答案：C二、填空题6已知圆C1：x2y26x70与圆C2：x2y26y270相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线方程为_答案：xy307若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦长为2，则a_.答案：18已知实数x，y满足x2y24x10，则的最大值为_，最小值为_答案：三、解答题9圆O1的方程为x2(y1)24，圆O2的圆心O2(2,1)(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|2，求圆O2的方程解：(1)由两圆外切，|O1O2|r1r2，r2|O1O2|r12
17、(1)，故圆O2的方程是(x2)2(y1)2128.两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为xy120.(2)设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r.圆O1的方程为x2(y1)24，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x4yr80.作O1HAB，则|AH|AB|，|O1H|.又圆心(0，1)到直线AB的距离为，得r4或r20，故圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.10.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离解：以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2y21.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为1，即xy8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离此时DE长的最小值为1(41)km.
