1、5.3导数在研究函数中的应用5.3.1单调性基础过关练题组一利用导数研究函数的图象变化1.如图所示的是导函数y=f (x)在a,b上的图象,那么函数y=f(x)在a,b上的单调递减区间是()A.(x1,x3)B.(x2,x4)C.(x4,x6)D.(x5,x6)2.(2020江苏宿迁宿豫中学高二下月考)如果函数y=f(x)的图象如图所示,那么其导函数y=f (x)的图象可能是()3.若函数y=f(x)的导函数在区间a,b上是增函数,则函数y=f(x)在区间a,b上的图象可能是()4.已知函数f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f (x)为其导函数,且y=f (x)的图象如图所示,则f(x)0
2、,bR)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是()A.(0,3)(3,+)B.3,+)C.(0,3D.(0,3)14.(2020江苏徐州高二下期中)若函数f(x)=x3-ax2+4在区间0,2上不单调,则实数a的取值范围为.15.(2020江苏宿迁高二下期中)函数y=x3+2x2+mx+1是R上的单调函数,则m的取值范围是.16.(2020江苏淮安马坝高级中学高二下期中)已知函数f(x)=ln x+ax.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=4x+1平行,求a的值;(2)试讨论f(x)的单调性.17.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.(1)若f(x)的单调
3、递减区间为(-1,1),求实数a的值;(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.能力提升练题组一利用导数研究函数的图象变化1. (2020浙江杭州六校高二下期中,)若函数y=f(x)的导函数y=f (x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()2.(2021江苏苏州中学高三上测试,)函数f(x)=2lnxx的图象大致是()3.()已知函数f(x)与f (x)的图象如图所示,则函数g(x)=f(x)ex的单调递减区间为.4.(2020黑龙江牡丹江一中高二下期末,)已知函数y=f(x)(xR)的图象如图所示,则不等式xf (x)0的解集为.题组二利用导数研究函数的
4、单调性5.(2021江苏常州一中、南京二十九中高三上11月联考,)已知函数f(x)=x+cos x,xR,设a=f(0.3-1),b=f(2-0.3),c=f(log20.2),则()A.bcaB.cabC.bacD.cb0,则下列结论中正确的是()A.x1x2B.x10D.x1+x20,设F(x)=f(x)ex,则不等式F(x)4ln410.(2020江西上饶高三上第三次段考,)已知函数f(x)=x+sin x,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,则1a+1b的最小值为.11.(2020江苏镇江扬中高级中学高二下期中,)已知函数f(x)=x2+ln x-ax.(1)当a=3时,求
5、f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在(0,1)上是增函数,求a的取值范围.12.(2020河南濮阳高二上期末,)已知函数f(x)=ln x-ax(aR).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若a0,求不等式f(x)-f 2a-x0的解集.题组三利用导数解决含参函数的单调性问题13.(2020江苏南京师范大学附属中学高二下期中,)定义在R上的可导函数f(x)满足f (x)0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x22成立,则a的取值范围是()A.(0,1B.(1,+)C.(0,1)D.1,+)16.(2019河北张家口高三上期末,)函数f(x)=sin
6、x-aln x在0,4上单调递增,则实数a的取值范围是.17.(2020江苏无锡锡东高级中学高二下4月线上质检,)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.(1)若a=12,求f(x)的单调区间;(2)当x0时,f(x)0,求a的取值范围.18.(2020辽宁省实验中学高三上期末,)已知aR,函数f(x)=ex+ax2.(1)已知f (x)是函数f(x)的导函数,记g(x)=f (x),若g(x)在区间(-,1上为单调函数,求实数a的取值范围;(2)设实数a0,求证:对任意实数x1,x2(x1x2),总有f x1+x22f(x1)+f(x2)2成立.答案全解全析5.3导数在研究函数中的应用5.3
7、.1单调性基础过关练1.B原函数的单调递减区间就是其导函数的值小于零的区间.故选B.2.Ay=f(x)的图象为先增后减,再增再减,因此y=f (x)的符号变化情况依次为大于零、小于零、大于零、小于零,结合选项可知A符合,故选A.3.A因为函数y=f(x)的导函数在区间a,b上是增函数,所以函数y=f(x)的图象上的点的切线斜率是递增的.故选A.4.答案(-2,4)解析由题图知,f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.当x0时,由f(x)1=f(-2),得-20时,由f(x)1=f(4),得0x4.综上所述,f(x)1的解集为(-2,4).5.C易得f (x)=3x2-3=3(x
8、+1)(x-1),令f (x)0,得-1x0,得x1,函数f(x)的单调递增区间为(1,+),故选A.7.A由f(x)=x+sin x,可得f (x)=1+cos x,易知f (x)0在(0,)上恒成立,故f(x)=x+sin x在区间(0,)上单调递增.故选A.8. BD由f(x)=x4得f (x)=4x3,当x0时,f (x)=4x30,则f(x)单调递增;当x0时,f (x)=4x3-1时,f (x)0,则f(x)单调递增;当x-1时,f (x)0),令f (x)0,得3x2-2x-1x0,x0,3x2-2x-10,解得x1,f(x)的单调递增区间是(1,+).易错警示要注意函数的单调区
9、间是其定义域的子区间,故用导数法求函数的单调区间时,要先确定其定义域.11.解析(1)易得函数f(x)的定义域为(0,+),且f (x)=2ax+2-43x(x0),由f (1)=2a+23=0,得a=-13.(2)由(1)得f(x)=-13x2+2x-43ln x(x0),则f (x)=-23x+2-43x=-2(x-1)(x-2)3x.令f (x)=0,得x=1或x=2;令f (x)0,得1x2;令f (x)0,得0x2.因此f(x)的单调递增区间是(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+).12.Af(x)=x3-3bx+2,则f (x)=3x2-3b,函数f(x)=x3-3bx+
10、2在区间(2,3)内单调递增,f (x)=3x2-3b0在(2,3)上恒成立,则bx2在x(2,3)上恒成立,故b4.13.D由题意得f (x)=3ax2+6x+1(a0),函数f(x)恰好有三个不同的单调区间,f (x)有两个不同的零点,=36-12a0,解得0a0,此时函数f(x)在(0,+)上为单调递增函数;若a0,则f (x)=ax+1x0,此时函数f(x)在(0,+)上为单调递增函数;若a0,即0x0,当ax+1-1a时,f (x)0,此时函数f(x)在0,-1a上为单调递增函数,在-1a,+上为单调递减函数.综上所述,当a0时,函数f(x)在(0,+)上为单调递增函数;当a0时,函
11、数f(x)在0,-1a上为单调递增函数,在-1a,+上为单调递减函数.思想方法本题求解的关键是分类讨论,由于f(x)中含有参数a,故f (x)的正负取决于参数a的取值,所以要对a与0的关系进行分类讨论,讨论时注意不要忽略a为0的情形.17.解析由题意得f (x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3).(1)f(x)的单调递减区间为(-1,1),-1和1是方程f (x)=0的两个根,3-2a3=1,a=0.(2)f(x)在区间(-1,1)内单调递减,f (x)0在(-1,1)内恒成立.又二次函数y=f (x)的图象开口向上,方程f (x)=0的一个根为-1,3-2a31,a0.
12、实数a的取值范围是a|a0.能力提升练1.D设导函数y=f (x)的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,其中x1x20,故y=f(x)在(-,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,x3)上单调递减,在(x3,+)上单调递增.故选D.2.A因为f(x)=2lnxx,所以f (x)=2-2lnxx2(x0),令f (x)=0,得x=e,当0x0,当xe时,f (x)1时,f(x)0,所以结合选项可知选A.3.答案(0,1),(4,+)解析g(x)=f (x)ex-f(x)(ex)(ex)2=f (x)-f(x)ex,由题中图象可知,当x(0,1)时,f (x)-
13、f(x)0,此时g(x)0;当x(4,+)时,f (x)-f(x)0,此时g(x)0的解集为-,12(2,+),f (x)0得f (x)0,x0或f (x)0,x0的解集为0,12(2,+).5.D由f(x)=x+cos x,可得f (x)=1-sin x,易知f (x)0在R上恒成立且不恒为0,所以y=f(x)在R上单调递增,又0.3-12-0.3log20.2,所以f(0.3-1)f(2-0.3)f(log20.2),所以cba.故选D.方法技巧比较大小的一种常用方法是通过构造函数,把所要比较的数转化为相应函数的函数值,再借助所构造函数的单调性作出判断,而导数则是研究函数单调性的有力工具.
14、6.Df(x)=sin x-2x,f (x)=cos x-20,得f(x1)-f(x2)=f(-x2),又f(x)在-2,2上是减函数,所以x1-x2,故x1+x20,F(x)0在R上恒成立,即F(x)在R上单调递减.又f(1)=1e,F(1)=1e2,不等式F(x)1e2等价于F(x)F(1),不等式F(x)1e2的解集为(1,+).故选B.方法技巧利用导数解抽象不等式,实质是利用导数研究相应函数的单调性,而相应函数需要构造.常见的构造函数的方法如下:已知f (x)f(x),则构造g(x)=f(x)ex;已知f (x)+f(x)0,则构造g(x)=exf(x);已知xf (x)f(x),则构
15、造g(x)=f(x)x;已知xf (x)+f(x)1时,y=-1xln2x0,此时,函数y=f(x)lnx在区间(1,+)上单调递减,即f(x)为“M函数”,A正确;对于B,f(x)=x,则y=f(x)lnx=xlnx,故y=lnx-1ln 2x.当1xe时,ye时,y0,此时,函数y=f(x)lnx在区间(1,+)上不单调,B错误;对于C,f(x)=1x,则y=f(x)lnx=1xlnx,当x1时,y=-1+lnxx2ln2x0,此时,函数y=f(x)lnx在区间(1,+)上单调递减,即f(x)为“M函数”,C正确;对于D,f(x)=x2,则y=f(x)lnx=x2lnx,故y=x(2lnx
16、-1)ln 2x.当1xe时,ye时,y0.此时,y=f(x)lnx在区间(1,+)上不单调,D错误.故选AC.9.AC设函数f(x)=xlnx,x0且x1,则f (x)=lnx-1ln2x=1lnx-1ln2x,x0且x1,设g(x)=1lnx-1ln2x,x0且x1,则g(x)=2-lnxxln3x,x0且x1,当x+时,g(x)2,故D错误.故选AC.10.答案1解析易得f(x)的定义域为R,因为f(-x)=-x-sin x=-f(x),所以f(x)是奇函数.又f (x)=1+cos x0在R上恒成立且不恒为0,所以f(x)在R上是增函数.于是f(4a)+f(b-9)=0f(4a)=f(
17、9-b)4a=9-b4a+b=9,又a0,b0,所以1a+1b=191a+1b(4a+b)=195+ba+4ab195+2ba4ab=1,当且仅当b=2a=3时取等号,即1a+1b的最小值为1.11.解析(1)当a=3时,f(x)=x2+ln x-3x(x0),f (x)=2x+1x-3=2x2-3x+1x=(2x-1)(x-1)x(x0),令f (x)0,得0x1,故f(x)的单调递增区间为0,12,(1,+).(2)易得f (x)=2x+1x-a,f(x)在(0,1)上是增函数,2x+1x-a0在(0,1)上恒成立,即a2x+1x在(0,1)上恒成立,2x+1x22当且仅当x=22时取等号
18、,a22,即a的取值范围为(-,22.12.解析(1)易知f(x)的定义域为(0,+),f (x)=1x-a=1-axx.若a0,则f (x)0恒成立,故f(x)在(0,+)上单调递增;若a0,则当0x0,当x1a时,f (x)0时,f(x)的单调递增区间为0,1a,单调递减区间为1a,+.(2)f(x)的定义域为(0,+),x0,2a-x0,a0,0x2a.设F(x)=f(x)-f2a-x=ln x-ax-ln2a-x+a2a-x=ln x-ln2a-x-2ax+2,x0,2a,则F(x)=1x+12a-x-2a=2ax-1a2x2a-x0,F(x)在0,2a上单调递增,又F1a=0,当x0
19、,1a时,F(x)0,f(x)-f2a-x0的解集为1a,2a.13.B令g(x)=f(x)-x(xR),则g(x)=f (x)-10,故函数g(x)在R上单调递减.原不等式可化为f(m)-mf(1-2m)+2m-1,即g(m)g(1-2m),m1-2m,解得m13.因此,m的取值范围是-,13.14.C函数f(x)=2x2-ln x的定义域为(0,+),且f (x)=4x-1x,令f (x)=0,解得x=12(负值舍去),当x0,12时,f (x)0,函数f(x)单调递增.要使得函数f(x)在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不单调,则应满足k-112k+1,k-10,解得1k2,得
20、 f(x1)-2x1-f(x2)-2x2x1-x20,令g(x)=f(x)-2x=aln x+12x2-2x(a0),则g(x)为定义域上的增函数,所以g(x)=ax+x-20(x0,a0)恒成立,即ax(2-x)在x0时恒成立,又当x0时,x(2-x)的最大值为1,所以a1.方法技巧解决不等式恒成立问题时,常见的解题技巧是分离变量,这样可以避免分类讨论,如本题中将不等式ax+x-20(x0,a0)中的a分离出来,即为ax(2-x)(x0).16.答案(-,0解析函数f(x)=sin x-aln x在0,4上单调递增,即f (x)=cos x-ax0在0,4上恒成立,即axcos x在0,4上
21、恒成立.令g(x)=xcos x,则g(x)=cos x-xsin x,令h(x)=cos x-xsin x,则h(x)=-2sin x-xcos x,易得h(x)0,所以g(x)0在0,4上恒成立,所以函数g(x)在0,4上单调递增,可得g(x)g(0)=0,所以a0.方法技巧利用导数解决函数的单调性问题时,经常会遇到f(x)=0(或f(x)0)这样的方程(或不等式)不易求解的情况,此时可采用二次求导来解决问题,如本题中,g(x)=cos x-xsin x=0,不易求解,故令h(x)=cos x-xsin x,再求一次导数,即h(x)=-2sin x-xcos x,即二次求导.17.解析(1
22、)a=12时,f(x)=x(ex-1)-12x2,则f (x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).当x(-,-1)时,f (x)0;当x(-1,0)时,f (x)0.故f(x)在(-,-1),(0,+)上单调递增,在(-1,0)上单调递减.(2)f(x)=x(ex-1-ax).令g(x)=ex-1-ax,则g(x)=ex-a.若a1,则当x(0,+)时,g(x)0,g(x)为增函数,而g(0)=0,从而当x0时,g(x)0,即f(x)0.若a1,则当x(0,ln a)时,g(x)0,g(x)为减函数,而g(0)=0,从而当x(0,ln a)时,g(x)0,即f(x)0,g(x)在区间(-,1上单调递增,符合题意;若a0,令g(x)=0,解得x=ln(-2a),g(x)是单调递增函数,要使g(x)在区间(-,1上为单调函数,只需ln(-2a)1,解得a-e2,此时g(x)在区间(-,1上为单调递减函数.由可得,使导函数f (x)在区间(-,1上为单调函数的a的取值范围是-,-e20,+).(2)证明:x1x2,不妨设x10,f (x)=ex+2ax在R上单调递增,又x1+x22-x1=x2-x120,f x1+x22f (x1),即F(x1)0.关于x1的函数F(x1)在R上单调递增,F(x1)F(x2)=0,fx1+x22f(x1)+f(x2)2.
