1、四十八双曲线(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1(2021泸县高三月考)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为4，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为()A2B4 C6D8B解析：双曲线1(a0，b0)的两条渐近线方程为yx.因为两条渐近线互相垂直，所以21，得ab.因为双曲线的焦距为4，所以c2.由c2a2b2得2a28，解得a2，所以实轴长为2a4.2(2020内蒙古自治区高三二模)已知双曲线C：1(a0，b0)的顶点分别为A1，A2，以线段A1A2为直径的圆与直线axby2ab0相切，且双曲线C的焦距为4，则双曲线C的方程为()A.y21 B.1C.x21 D.1A解析：由题意知，
2、圆的半径为a，圆心为(0,0)设圆心到直线的距离为d，则da，所以a23b2.因为双曲线的焦距为4，所以c2，又c2a2b2，解得a，b1，所以双曲线的方程为y21.3(2020青岛市高三二模)已知曲线C的方程为1(kR)，则下列结论正确的是()A当k8时，曲线C为椭圆，其焦距为4B当k2时，曲线C为双曲线，其离心率为C存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线D当k3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x4)2y29相切B解析：对于A，当k8时，曲线C的方程为1，轨迹为椭圆，焦距为2c24，A错误；对于B，当k2时，曲线C的方程为1，轨迹为双曲线，则a，c，所以离心率e，B正确；对于C，若曲线
3、C表示焦点在y轴上的双曲线，则解集为空集，所以不存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线，C错误；对于D，当k3时，曲线C的方程为1，轨迹为双曲线，其渐近线方程为yx，则圆(x4)2y29的圆心到渐近线的距离d3，所以双曲线渐近线与圆(x4)2y29不相切，D错误4(2020邢台市第二中学高三模拟)已知点A(0，1)是抛物线x22py的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且|PF|m|PA|.若双曲线C的中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为()A. B. C.1 D.1C解析：由点A在抛物线的准线上，得p2，故抛物线方程为x24y，焦点坐标为
4、F(0,1)过点P作准线的垂线，垂足为N，如图所示，由抛物线定义可得|PN|PF|.因为|PF|m|PA|，所以|PN|m|PA|，则m.当直线PA的斜率不存在时，m1.当直线PA的斜率存在时，设直线PA的倾斜角为，则sin m，当m取得最小值时，sin 最小，此时直线PA与抛物线相切设直线PA的方程为ykx1，代入抛物线方程得x24kx40.由根的判别式16k2160，解得k1，易得点P的坐标为(2,1)或(2,1)由题意可知，A，F是双曲线的两个焦点，所以|PA|PF|222a，c1，所以双曲线的离心率为1.5(多选题 )若双曲线C：1(a0，b0)的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则
5、下列结论正确的是()AC的渐近线上的点到F距离的最小值为4BC的离心率为CC上的点到F距离的最小值为2D过F的最短的弦长为AC解析：由题意可得2a6,2c10，所以a3，c5，b4，右焦点F(5,0)，渐近线的方程为4x3y0，所以C的渐近线上的点到F距离的最小值为F到渐近线的距离db4，所以A正确，离心率e，所以B不正确；双曲线上的点为顶点到焦点的距离最小，532，所以C正确；过焦点的弦长为垂直与x轴的直线与双曲线的弦长，而斜率为0时，弦长为实轴长2a6，所以最短的弦长为6，故D不正确6(2020全国卷)已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x
6、轴若AB的斜率为3，则C的离心率为_2解析：点B为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为，点A的坐标为(a,0)因为AB的斜率为3，所以3，即e13，所以e2.7(2020临沂市高三模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线与圆F：(x2)2y23相切，且双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合，则双曲线C的方程为_x21解析：由题意，圆F：(x2)2y23的圆心F(2,0)是双曲线C的右焦点，所以c2.双曲线C的渐近线方程为yx.因为双曲线C的渐近线与圆F相切，所以圆心F(2,0)到直线yx的距离等于圆的半径，即.所以b23a2.又c2a2b24，所以a21，b23.所以双曲线C的方程为x21
7、.8已知双曲线C：x2y2m(m0)的焦距为4，且它的渐近线与圆x2(ym)216有交点，连接所有交点的线段围成了几何图形M，则几何图形M的面积为_16解析：由双曲线C：x2y2m(m0)，得1，则c2，解得m4.所以双曲线的渐近线方程为yx.圆x2(ym)216化为x2(y4)216，如图联立解得B(4,4)；联立解得A(4,4)所以几何图形M的面积为8416.9(2019黄冈中学高三月考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2的面积(1)解：因为e，所以双曲线的实轴、虚轴相等
8、可设双曲线方程为x2y2.因为双曲线过点(4，)，所以1610，即6.所以双曲线方程为1.(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则(23，m)，(23，m)，所以(32)(32)m23m2.因为点M在双曲线上，所以9m26，即m230，所以0.(3)解：F1MF2的底边|F1F2|4.由(2)知m，所以F1MF2的高h|m|，所以SF1MF146.B组新高考培优练10(多选题)(2020淄博市高三二模)已知动点P在双曲线C：x21上，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，下列结论正确的是()A双曲线C的离心率为2B双曲线C的渐近线方程为yxC动点P到两条渐近线的距离之积为定值D当动点P
9、在双曲线C的左支上时，的最大值为AC解析：对于双曲线C：x21，a1，b，c2，所以双曲线C的离心率为e2，渐近线方程为yx，A选项正确，B选项错误；设点P的坐标为(x0，y0)，则x1，双曲线C的两条渐近线方程分别为xy0和xy0，则点P到两条渐近线的距离之积为 ，C选项正确；当动点P在双曲线C的左支上时，|PF1|ca1，|PF2|2a|PF1|PF1|2，所以，当且仅当|PF1|2时，等号成立，所以的最大值为，D选项错误11(2021甘肃适应测试)已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方
10、程为()Ay2xByxCyxDyxD解析：不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|PF2|.由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，所以|PF1|4a，|PF2|2a.又因为所以PF1F2为最小内角，故PF1F2.由余弦定理，得cos，即(ac)20，所以ca，则ba，所以双曲线的渐近线方程为yx.12(多选题)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为x2y0，双曲线的左焦点在直线xy0上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2的取值可能为()AB1 CD2CD解析：由双曲线1(a0，b0
11、)的一条渐近线方程为x2y0，可得a2b.由双曲线的左焦点在直线xy0上，可得c，即c.由a2b25，解得a2，b1，双曲线的方程为y21.由题意可得A(2,0)，B(2,0)，设P(m，n)，可得n21，即有，所以k1k2(k1，k20)，则k1k221.由A，B为左右顶点，可得k1k2，则k1k21.13(2020泉州模拟)已知椭圆M：1(a0，b0)，双曲线N：1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_12解析：如图，设椭圆的右焦点为F(c,0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A.由题意可
12、知A，因为点A在椭圆M上，所以1，所以b2c23a2c24a2b2.因为b2a2c2，所以(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)，所以4a48a2c2c40，所以e8e40，所以e42，所以e椭圆1(舍去)或 e椭圆1，所以椭圆M的离心率为1.因为双曲线的渐近线过点A，所以渐近线方程为yx，所以，故双曲线的离心率e双曲线2.14已知椭圆1与双曲线x21的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4ee_.若P为两曲线的一个交点，则|PF1|PF2|_.03解析：由题意得椭圆的半焦距满足c4m，双曲线的半焦距满足c1n.因为两曲线有相同的焦点，所以4m1n，即mn3，则4ee4(
13、1n)3(mn)0.不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，则解得所以|PF1|PF2|3.15(2021八省联考)双曲线C：1(a0，b0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上当BFAF时，|AF|BF|.(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：BFA2BAF.(1)解：设双曲线的半焦距为c，则F(c,0)，B.因为|AF|BF|，所以ac.故c2ac2a20，即e2e20.所以e2.(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0a，y00.因为e2，所以c2a，ba.故双曲线的渐近线方程为yx.所以BAF，BFA.当x0a，x02a时，tanBFA，tanBAF.所以tan 2BAFtanBFA.因为2BAF，所以BFA2BAF.当x02a时，由(1)可得BFA，BAF.所以BFA2BAF.综上，BFA2BAF.
