1、-1-三 排序不等式-2-三 排序不等式 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 学 习 目 标 思 维 脉 络 1.理解反序和、顺序和、乱序和等基本概念.2.掌握排序不等式及其推导过程.3.能够运用排序不等式解决相关问题.-3-三 排序不等式 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 1.基本概念 设有两个有序实数组:a1a2an,b1b2bn,c1,c2,cn是b1,b2,bn的任意一个排列.则(1)顺序和为a1b1+a2b2+anbn;(2)乱序和为a1c
2、1+a2c2+ancn;(3)反序和为a1bn+a2bn-1+anb1.名师点拨对于给定的两组数,顺序和与反序和是唯一的,而乱序和不止一个.-4-三 排序不等式 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 做一做1 已知两组数:1,2,3和10,15,30,则顺序和等于 ,反序和等于 ,乱序和分别为 、.解析：顺序和等于110+215+330=130;反序和等于130+215+310=90;乱序和分别为110+230+315=115,115+210+330=125,115+230+310=105,130+210+315=95.答案
3、：130 90 115 125 105 95-5-三 排序不等式 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 2.排序不等式(排序原理)设a1a2an,b1b2bn为两组实数,c1,c2,cn是b1,b2,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+anb1a1c1+a2c2+ancna1b1+a2b2+anbn,当且仅当a1=a2=an或b1=b2=bn时,反序和等于顺序和.名师点拨1.排序不等式(排序)是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式:顺序和、反序和、乱序和,对这三
4、种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”,两种较为简单的是“顺与反”,而乱序和则是不按“常规”的顺序.2.排序不等式中取等号的条件是a1=a2=an或b1=b2=bn,对于我们解决某些问题非常关键,它是命题成立的一种条件,因此要牢记.-6-三 排序不等式 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 做一做2 已知两组数1,2,3和25,30,45.若c1,c2,c3是25,30,45的一个排列,则c1+2c2+3c3的最大值是 ,最小值是 .解析：c1+2c2+3c3的最大值应该是顺序和125+230+345=220,最小值则为反
5、序和145+230+325=180.答案：220 180-7-三 排序不等式 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)对于给定的两组数,顺序和、反序和与乱序和都是唯一的.()(2)对于任意给定的两组数,反序和不大于顺序和.()(3)设a1,a2,a3是1,2,3的一个排序,则a1+2a2+3a3的最大值是14.()(4)若a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排序,则的最大值是4.()11+22+33+44 -8-三 排序不等式 XINZHI
6、DAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 利用排序不等式证明不等式 【例1】设a1,a2,an是1,2,n的一个排列,求证12+23+-1 12+23+-1.分析：构造数组,利用排序不等式证明.证明：设 b1,b2,bn-1 是 a1,a2,an-1 的一个排列,且 b1b2bn-1;c1,c2,cn-1 是 a2,a3,an 的一个排列,且 c1c212 1-1,且 b11,b22,bn-1n-1,c12,c23,cn-1n.利用排序不等式,有12+23+-1 11+22+-1-112+23+-1.-9-三 排序不等式 X
7、INZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 反思感悟当所证不等式中涉及的变量已经给出大小关系时,可以根据待证不等式各部分的结构特点,构造数组,从而可以将待证不等式中的各部分视作是给定数组的顺序和、反序和或乱序和,从而借助排序不等式证得结论.-10-三 排序不等式 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 变式训练1 设x,y,z为正数,求证2+22+2+22+2+22 3+3+3.证明：不妨设 0 xyz,则 x3y3z3,00,分析：
8、由于所要证的不等式中a,b,c的“地位”是对称的,因此可以先设出a,b,c的大小.求证3+3+3a+b+c.证明：不妨设 abc0,则 a3b3c3,1 1 1.由排序不等式可得3+3+3 3+3+3=2+2+2.因为 a2b2c2,1 1 1,所以2+2+2 2+2+2=a+b+c,故原不等式成立.-12-三 排序不等式 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 反思感悟当所证不等式中涉及的变量没有给出大小关系,并且所证不等式与这些变量的大小关系无关时,通常可以先限定或假设出这些变量之间的大小顺序,再将待证不等
9、式中的各部分视作是给定数组的顺序和、反序和或乱序和,从而借助排序不等式证得结论.-13-三 排序不等式 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 变式训练 2 已知 a,b,c 为正数,求证22+22+22+abc.证明：设 abc,则1 1 1,bccaab.由排序原理得+,即22+22+22a+b+c.又因为 a,b,c 为正数,所以 abc0,a+b+c0.故22+22+22+abc.-14-三 排序不等式 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑
10、 首页 探究一 探究二 利用排序不等式求最值 【例3】若a,b,c0,分析：利用排序不等式求解最小值关键是首先找出两组有序数组,然后根据反序和乱序和顺序和求解最小值.解：不妨设 abc0,则 a+ba+cb+c,于是1+1+1+.由排序不等式可得+,同理+,两式相加可得 2+=3,则+32,当且仅当 a=b=c 时,等号成立.故+的最小值为32.试求+的最小值.-15-三 排序不等式 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 反思感悟利用排序不等式求最值的方法 利用排序不等式求最值时,先要对求解不等式及已知条件仔
11、细分析,观察不等式的结构,明确两个数组的大小顺序,分清顺序和、乱序和及反序和.由于乱序和是不确定的,根据需要写出其中的一个即可.一般最值是顺序和或反序和.-16-三 排序不等式 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 变式训练3 若a1,a2,a30,且a1+a2+a3=1,求231+132+123 的最小值.解：不妨设 a1a2a3,则 13 12 11,且 a1a2a1a3a2a3.则顺序和 S=13a1a2+12a1a3+11a2a3=231+132+123,乱序和 S=12a1a2+11a1a3+13a
12、2a3=a1+a2+a3=1,由排序不等式可知 SS,即231+132+123 1,当且仅当 13=12=11,且 a1a2=a1a3=a2a3,即 a1=a2=a3=13时,231+132+123 有最小值 1.-17-三 排序不等式 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 1 2 3 4 51.已知两组数a1a2a3a4a5,b1b2b3b4b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将bi(i=1,2,3,4,5)重新排列后记为c1,c2,c3,c4
13、,c5,则a1c1+a2c2+a3c3+a4c4+a5c5的最大值与最小值分别为()A.132,6 B.304,212 C.22,6D.21,36 解析：顺序和最大,所以最大值为a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=304;反序和最小,所以最小值为a1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a5b1=212.答案：B-18-三 排序不等式 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 1 2 3 4 52.设a1,a2,an都是正数,b1,b2,bn是a1,a2,an的任意一个排列,则的最小值为()A.1B.n C.n2D.
14、无法确定 11+22+解析：不妨设 a1a2an0,则 1 1-1 110,由排序不等式可得11+22+a1 11+a2 12+an 1=n,即11+22+的最小值为 n.答案：B -19-三 排序不等式 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 1 2 3 4 53.某班学生要开联欢会,需要购买价格不同的礼品4件、5件及2件,现选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品,则购买最少和最多花的钱数分别为()A.19元,24元B.19元,20元 C.19元,25元D.25元,27元 解析：由排序不等式可知,最少为23+42+51=19
15、(元),最多为21+42+53=25(元).答案：C-20-三 排序不等式 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 1 2 3 4 54.设ab0,则a3+b3与a2b+ab2的大小关系是 .解析：因为ab0,所以a2b20,于是顺序和aa2+bb2=a3+b3,反序和为a2b+ab2,由排序不等式可得a3+b3a2b+ab2.答案：a3+b3a2b+ab2-21-三 排序不等式 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 1 2 3 4 55.设 a,b,c,d 都是正数,求证2+2+2+2 a+b+c+d.证明：设 abcd0,则1 1 1 10,a2b2c2d2.根据排序不等式得a21+b21+c21+d21a21+b21+c21+d21=a+b+c+d.故原不等式成立.
