1、几何法分析向量模的最值问题知识与方法向量兼具代数、几何双重特征，在诸多平面向量的最值问题（数量积最值、模最值）中，分析已知条件并画出图形，寻找最值是一种重要的解题方法，本节主要针对用几何法分析向量模的最值问题.典型例题【例1】设平面向量a和b满足，a与b的夹角为60，若，则的最大值为_.【解析】解法1：，如图，将向量c和起点都放在点O，则向量c的终点C应在以A为圆心，2为半径的圆上，由图可知，的最大值为.解法2：，设，则，因为，所以，而，所以问题可以看成求圆上的动点到原点距离的最大值，显然.【答案】【例2】已知a是单位向量，向量b满足，则的取值范围为_.【解析】解法1：如图，将向量a和b的起点
2、均放在点O，的终点落在以为直径的圆上，所以的取值范围为.解法2：设，设，则，所以，整理得：，而，所以问题可以看成求圆上动点到原点距离的取值范围，显然原点在该圆上，故的取值范围为.【答案】【例3】设，点C在线段上，且，则的最小值为_.【解析】解法1：且，设D为中点，如图，由图可知当时，取得最小值.解法2：且，故当时，取得最小值.【答案】强化训练1.（）已知a和b是单位向量，且，若向量c满足，则的取值范围为_.【解析】解法1：设，则，而，所以问题可以看成求圆：上动点P到原点O距离的取值范围，因为，所以，故的取值范围为.解法2：由题意，如图，设，以T为圆心，1为半径画圆，则当点C在圆T上运动时，总有
3、，由图可知的取值范围为.【答案】2.（）已知，要使最小，则实数x的值为_.【解析】解法1：，所以当时，最小.解法2：，设，则点C在直线上，且，如图，当时，达到最小值，也就最小，由题干所给数据易得为正三角形，所以当C为中点时，此时，.【答案】3.（2011大纲卷）设向量a、b、c满足，则的最大值为（ ）A.2B.C.D.1【解析】，设，则，可能的情形有两种，若为图1，A、B、C三点均在以O为圆心，1为半径的圆上，其中C在优弧上，满足，显然此时恒有，若为图2，则的外接圆为圆D，向量c的终点C在优弧上运动，满足，易求得，当最大时，恰为圆D的直径，由正弦定理，即此时，综上所述，的最大值为2.【答案】A
4、4.（）设a和b是互相垂直的两个单位向量，且，则的最大值为_.【解析】解法1：设，则，所以，可设，则，即的最大值为.解法2：如图，设，则当向量c的终点C在以为直径的圆上运动时，总能满足，故的最大值为.【答案】5.（）平面向量a和b满足，且a与的夹角为120，则的取值范围为_.【解析】如图，设，当A点在优弧上运动时，满足a与的夹角为120，所以，由正弦定理，由图可知.【答案】6.（）设a、b、c是平面向量，且，若，则的最小值为_.【解析】解法1：因为，且，所以，故，从而，如图，设，则即为，所以点B可在以为直径的圆F上运动，从而问题转化为求圆F上的动点B与定点A的最短距离，显然，圆F的半径为1，所以，即的最小值为.解法2：不妨设，则，而，所以即为圆上的动点与定点之间的距离，易求得，所以.【答案】
