1、第2章 直线和圆的方程 知识梳理一、直线的倾斜角、斜率与方程1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角的取值范围是|0180.2.直线的斜率(1)定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan_.(2)计算公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率k.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2)是直线l上的两点，则向量(x2x1，y2y1)以
2、及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线常用结论;1.直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系：000不存在k02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.二、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平
3、行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系(1)两直线的交点点P的坐标既满足直线l1的方程A1xB1yC10，也满足直线l2的方程A2xB2yC20，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.(2)两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个
4、直线l1与l2的位置关系相交重合平行3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|.特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.4.对称问题(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P(2ax0，2by0).(2)设点P(x0，y0)关于直线ykxb的对称点为P(x，y)，则有可求出x，y.常用结论：1.“直线A1x
5、B1yC10，A2xB2yC20平行”的充要条件是“A1B2A2B1且A1C2A2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2B1B2”0.2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.三、圆的方程1.圆的定义和圆的方程定义圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0(D2E24F0)充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)|MC|rM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外；(2)|MC|rM
6、在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；(3)|MC|rM在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆内.常用结论:1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2y2r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.四、直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为.位置关系相离相切相交图形量化方程观点0几何观点drdrdr1r2d|r1r2|r12|dr1r2d|r1r2
7、|dr1r2图示公切线条数40213常用结论：1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|2.(2)代数法：设直线ykxm与圆x2y2DxEyF0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xMxN和xMxN，则|MN|.
