1、2.3 数学归纳法 1)55(22nnnan1、已知数列 an 的通项公式为分别计算a1、a2、a3、a4、的值,猜想an3、三角形的内角和为180，四边形的内角和为2180,五 边形的内角和为3180，于是有：凸n边形的内角和为 Sn=(n-2)180。2、对于数列，已知 ，na11=annnaaa+=+11求出数列前4项,你能得到什么猜想？如何通过有 限 个 步 骤的 推 理，证明n取所有正整 数 都 成 立？问题引入数学归纳法对于某些与 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：1.先证明当n取第一个值n0时命题成立；2.当n=k(kN*，kn0)时命题成立，当n=k+1时命题也成立
2、。这种证明方法就叫做 。数学归纳法正整数n 假设证明多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示例1：用数学归纳法证明：122334n(n1)1(1)(2)3n nn从n=k到n=k+1有什么变化 利 用 假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即122334k(k+1)2)(1(31kkk则当n=k+1时，)1(.433221kk)2)(1(kk)2)(1(31kkk+)2)(1(kk=)2)(1(kk)131(k n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。Nn=2111)1(31kkk1)当n=1时，左边=12=2,右边=2.命题成立11233数学归纳法步骤，用框图表示为：验证n=n
3、0时命题成立。若n=k(k n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。命题对从n0开始的所有的正整数n都成立。归纳奠基归纳递推注：两个步骤,一个结论,缺一不可上如证明对吗？为什么？证明：当n=1时，左边设n=k时，有1 35.(21)2(1)1kk 即n=k+1时，命题成立。根据问可知，对nN，等式成立。思考：用数学归纳法证明:当 Nn2)12(.531nn1 右边 12)12(.531kk等式成立。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。则，当n=k+1时212(1)1(1)2(1)kkk135（2n1）正确解法：用数学归纳法证明 n2 即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和
4、（2）可知，等式对任何 都成立。nN证明：135（2k1）+2(k+1)1那么当n=k+1时（2）假设当nk时，等式成立，即（1）当n=1时，左边1，右边1，等式成立。135（2k1）k2+2(k+1)1k22k1k2（k+1）2（假设）（利用假设）注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。证明传递性（凑结论）用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明确首取值n0并验证真假。（必不可少）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时 命题形式的差别。弄清左端应增加的项。明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 方法：乘法公式、因式分解
5、、添拆项、配方等，并 用上假设。1、用数学归纳法证明：“1+a+a2+an+1=(a1)”，在验证 n=1 时，左端计算所得的项为（）A1B1+aC1+a+a2D1+a+a2+a3aa n112C课堂练习2、求证：1+2+3+n=12n(n+1)课堂小结1、数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确4、数学归纳法体现的核心思想是什么？递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题注意类比思想的运用作业：求证:(n+1
6、)(n+2)(n+n)=2n 1 3(2n-1)证明：n=1时：左边=1+1=2，右边=211=2，左边=右边，等 式成立。假设当n=k(kN）时有：(k+1)(k+2)(k+k)=2k 1 3(2n-1),当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)=2k 1 3(2k-1)(2k+1)2 =2k+11 3(2k-1)2(k+1)-1=右边，当n=k+1时等式也成立。由、可知，对一切nN,原等式均成立。（2k+1)(2k+2)k+1 多米诺骨牌游戏的原理这个猜想的证明方法1nan（1）第一块骨牌倒下。（2）若第k块
7、倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。（1）当n=1时猜想成立。（2）若当n=k时猜想成立，即，则当n=k+1时猜想也成立，即。1kak111kak 根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想 都成立。nn1n+1naa,a=1,a=(n),1+a*N已知数列从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上
8、学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。”费尔马(1601.81665.1)，法国数学家。的数都是质数任何形如猜想于是他用归纳推理提出都是质数，)(126553712257121712512*222243212Nnn(费马猜想)670041764142949672971225522是一个合数：时，nn结论是错误的。例4求证：凸n边形的对角线的条数为(3)(),(4)2n nf nn证明：（1）当n=4时，四边形的对角线有2条，f(4)=2，所以对于n=2，命题成立.（2）设凸k边形的对角线的条数为(3)(),(4)2k kf kk当n=k+1时，k+
9、1边形比k边形多了一个顶点,1a1n1时，当31211213n3a时，当41311314n4a时，当解：nan1猜想：211112n2a时，当如何通过有 限 个 步 骤的 推 理，证明n取所有正整 数 都 成 立？证明2、对于数列，已知 ，na11=annnaaa+=+11求出数列前4项,你能得到什么猜想？1(1)当n=1时a=1成立1kkaa k+1则n=k+1时,a即n=k+1时猜想也成立根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.*Nnn1n+1nna对于数列 a,已知a=1,a=(n),1+a1猜想其通项公式为a=,怎样证明?n证明：(2)假设n=k时猜想成立即 1ka k111kk
10、11k 练习：1、如果an是一个等差数列，则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1+（1-1）d=a1,当n=1时，结论成立 (2)假设当n=k时结论成立,即ak=a1+(k-1)d 当n=k+1时，结论也成立.由(1)和(2)知,等式对于任何nN*都成立。利用假设1kkaad 则1(1)akdd1akd凑结论1(1)1akd4用数学归纳法证明：求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3(2n-1)从“k 到 k+1”左端需增乘的代数式为（）A3k+1B2(2k+1)CD112kk132kkB2222(1)(21)1236()n n
11、nnnN 例 2:用数学归纳法证明注意 1.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.2(1)(归纳奠基)是递推的基础.找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据 nk时命题成立作为必用的条件运用，而nk+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明 证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；（2）假设当n=k时，等式成立，即2222(1)(21)1236k kkk那么222222(1)(21)123(1)(1)6k kkkkk22(1)(21)6(1)(1)(276)66(1)(2)(23)(1)(1)12(1)166k kkkkkkkkkkkk这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何nN+都成立。1113.().1231(1)()f nnnnf kf k已知则11431331231KKKK答案：
