1、第三章导数应用1 函数的单调性与极值第19课时 函数的极值(2)基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1.求含参数的极值问题.2.能利用函数的极值求解函数极值的逆向问题以及方程根的个数问题.基础巩固一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1已知f(x)x33ax14，若yf(x)的极小值为0，则a的值为()A12 B.14C34 D.34B解析：f(x)3x23a3(x2a)，当a0时，f(x)0，函数无极值；当a0时，易判断x a是极小值点，f(a)a a3a a140，解得a14.2对任意xR，函数f(x)ax3ax27x不存在极值点的充要条件是()A0a21 B0a21Ca2
2、1 Da0或a21A解析：函数f(x)ax3ax27x不存在极值点的充要条件为其导函数f(x)3ax22ax7的图像与x轴无交点或仅有一个交点，即4a243a70，0a21.3设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图像可能是()C解析：由函数f(x)在x2处取得极小值可知x2时，f(x)0；x2时，f(x)0，则2x0时，xf(x)0时，xf(x)0.4已知函数f(x)x3px2qx的图像与x轴相切于(1,0)点，则f(x)()A极大值是 427，极小值是0 B极大值为0，极小值为 427C极大值为0，极小值为 427D极大值为 4
3、27，极小值为 427A解析：对函数求导可得，f(x)3x22pxq，由f(1)0，f(1)0可得32pq0，1pq0，解得p2，q1，所以f(x)x32x2x.由f(x)3x24x10，得x13或x1.当x1或x13时，函数单调递增；当 13 x1时，函数单调递减所以当x 13 时，f(x)取极大值 427；当x1时，f(x)取极小值0，故选A.5若函数f(x)sinxkx存在极值，则实数k的取值范围是()A(1,1)B0,1)C(1，)D(，1)A解析：因为函数f(x)sinxkx，所以f(x)cosxk，当k1时，f(x)0，所以f(x)在定义域上单调递减，无极值；当k1时，f(x)0，
4、所以f(x)在定义域上单调递增，无极值；当1k1时，令f(x)0，得cosxk，从而确定x的值，使f(x)在定义域内存在极值，所以实数k的取值范围是(1,1)故选A.6若函数f(x)x36x29x10a有三个零点，则实数a的取值范围是()A(，10)B(6，)C(10，6)D(，10)(6，)C解析：令f(x)0，得x36x29x10a，令g(x)x36x29x10，则g(x)3x212x93(x1)(x3)由g(x)0，得x1或x3.当x3时，g(x)0，g(x)单调递增；当1x3时，g(x)0，g(x)单调递减所以g(x)的极大值为g(1)6，g(x)的极小值为g(3)10.作出函数g(x
5、)的大致图像如图所示：函数f(x)有三个零点，即直线ya与函数g(x)的图像有三个交点，所以10a6，故选C.7若函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极小值，则()A0b1 Bb0 Db0，所以f(x)3(x b)(x b)，由单调性分析，xb有极小值，由x b(0,1)得b(0,1)8若函数f(x)a(x2)exlnxx存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数a的取值范围为()A.1e2，1e2 B.1e，1eC.1e2，0D.1e，0D解析：f(x)a(x2)exlnxx，x0，f(x)a(x1)ex1x1(x1)aex1x，令f(x)0得到x1或aex1x0(*)，由于f(x)仅有
6、一个极值点，所以关于x的方程(*)必无解当a0时，(*)无解，符合题意；当a0时，由(*)得，a1xex，a0.由于这两种情况都有，当0 x0，f(x)为增函数，当x1时，f(x)0，f(x)为减函数，x1为f(x)的极值点f(1)ae11e，又a0，所以a的取值范围是1e，0.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)9已知函数f(x)x3axb在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是(，0)解析：对f(x)求导得f(x)3x2a，若f(x)在R上有两个极值点，则12a0，即a0，可得x1或x1；令y0，可得1x0)在x1处取得极小值，则a的取值范围是.12，解析：由题意得y1x2a
7、x(2a1)2ax22a1x1x2ax1x 12ax.若 12a1，令y0，得x(0,1)12a，令y0，得x1，12a，即函数ylnxax2(2a1)x在x1处取得极大值，不合题意；当 12a1时，y2ax12x0恒成立，即函数不存在极值；当012a 0，得x0，12a(1，)，令y12.三、解答题(本大题共2小题，共25分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(12分)已知函数f(x)x3ax2bxa2(a，bR)(1)若函数f(x)在x1处取得极值10，求b的值；(2)若对于任意的a4，)，f(x)在0,2上单调递增，求b的最小值解：(1)由题意得f(x)3x22axb，则f132
8、ab0，f11aba210，解得a4，b11 或a3，b3.当a4，b11 时，f(x)3x28x11，641320，函数f(x)有极值点；当a3，b3时，f(x)3(x1)20，函数f(x)无极值点综上，b11.(2)由题意知f(x)3x22axb0对任意的a4，)，x0,2都成立，设F(a)2xa3x2b，则F(a)0对任意的a4，x0,2都成立，因为x0，所以F(a)在a4，上为单调增函数或常数函数当F(a)为常数函数时，F(a)b0；当F(a)为增函数时，F(a)minF(4)8x3x2b0，即b(3x28x)max对任意x0,2都成立，又3x28x3x432 163 163，所以当x
9、 43 时，(3x28x)max 163，所以b163，所以b的最小值为163.13(13分)求函数f(x)x33x2a(aR)的极值，并讨论a为何值时函数f(x)恰有一个零点、两个零点、三个零点解：f(x)3x26x，函数f(x)的定义域为R，由f(x)0得x10，x22.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值 极小值 因此，函数在x0处有极大值，极大值为f(0)a；在x2处有极小值，极小值为f(2)4a.函数f(x)的零点即方程f(x)0的解，即方程x33x2a的解，零点个数为直线ya与曲线yx33x2的交点个数，易知函数
10、yx33x2的极大值为0，极小值为4(如图所示)，所以，当a0或a4时，函数f(x)恰有一个零点；当a0或a4时，函数f(x)恰有两个零点；当4a0时，函数f(x)恰有三个零点能力提升14(5分)已知函数f(x)x(lnxax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0)B.0，12C(0,1)D(0，)B解析：f(x)lnxaxx1xa lnx2ax1，令f(x)lnx2ax10得lnx2ax1.函数f(x)x(lnxax)有两个极值点，等价于f(x)lnx2ax1有两个零点，等价于函数ylnx与y2ax1的图像有两个交点，在同一个平面直角坐标系中作出它们的图像(如图)：由图可知，当a
11、12 时，直线y2ax1与ylnx的图像相切；当0a0.即a4时，方程x2(a2)x(2a1)0有两个不同的实根x1，x2，不妨设x1x2，于是f(x)ex(xx1)(xx2)从而有下表：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)f(x1)为极大值 f(x2)为极小值 即此时f(x)有两个极值点(2)当0，即a0或a4时，方程x2(a2)x(2a1)0有两个相同的实根x1x2.于是f(x)ex(xx1)2.故当x0；当xx1时，f(x)0.因此f(x)无极值点(3)当0，即0a0，f(x)exx2(a2)x(2a1)0，故f(x)为增函数，此时f(x)无极值点综上，当a4或a0时，f(x)有2个极值点；当0a4时，f(x)无极值点谢谢观赏！Thanks!
