1、二十四 用二分法求方程的近似解【基础全面练】(15 分钟 30 分)1用二分法求函数 yf(x)在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证 f(2)f(4)0，取区间(2，4)的中点 x12423，计算得 f(2)f(x1)0，则此时零点 x0 所在的区间是()A(2，4)B(2，3)C(3，4)D无法确定【解析】选 B.因为 f(2)f(4)0，f(2)f(3)0，所以 x0(2，3).2观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()【解析】选 A.由图象可知 A 中零点左右两侧的函数符号不同，故可用二分法求零点3若函数 f(x)x3x22x2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计
2、算，参考数据如表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.437 5)0.162那么方程 x3x22x20 的一个近似根(精确度为 0.1)为()A1.2 B1.3 C1.4 D1.5【解析】选 C.由题表知 f(1.437 5)0，f(1.375)0 且|1.437 51.375|0.1，则方程的近似根可以为 1.4.4用二分法研究方程 x33x10 的近似解时，令 f(x)x33x1，第一次计算f(0)0，可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_【解析】二分法要不断地取区间的中点值进行计算，由 f(0)0，知 x0(0，0.5)，再计算 0
3、 与 0.5 的中点 0.25 处相应的函数值，以判断 x0 的准确位置答案：(0，0.5)f(0.25)5已知 x0 是函数 f(x)2x 11x 的一个零点若 x1(1，x0)，x2(x0，)，求 f(x1)和 f(x2)与 0 的大小关系【解析】f(x)2x 11x 2x 1x1，f(x)由两部分组成，y2x 在(1，)上单调递增，y 1x1 在(1，)上单调递增，所以 f(x)在(1，)上单调递增因为 x1x0，所以 f(x1)x0，所以 f(x2)f(x0)0.【综合突破练】(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间
4、(an，bn)内，当|anbn|0)，则原方程可化为：t22tb0(t0)，关于 x 的方程 4x2x1b0(bR)，若有两个不相等的实数解，即方程 t22tb0 有两个不相等的正根因为 t1t220，所以44b0，b0，解得1b0，所以 b 的取值范围是(1，0).3若函数 f(x)在a，b上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足 f(a)f(b)0，则()Af(x)在a，ab2上有零点Bf(x)在ab2，b上有零点Cf(x)在a，ab2上无零点Df(x)在ab2，b上无零点【解析】选 B.由 f(a)f(b)0 可知 fab2f(b)0，根据零点存在性定理可知 f(x)在ab2，b上有零点
5、4用二分法求函数 f(x)x35 的零点可以取的初始区间是()A2，1 B1，0C0，1 D1，2【解析】选 A.二分法求变号零点时所取初始区间a，b应满足使 f(a)f(b)0.由于本题中函数 f(x)x35，f(2)3，f(1)6，显然满足 f(2)f(1)0，故函数 f(x)x35 的零点可以取的初始区间是2，1.二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5函数 f(x)x2axb 有零点，但不能用二分法求出，则 a，b 的关系是_【解析】因为函数 f(x)x2axb 有零点，但不能用二分法，所以函数 f(x)x2axb 的图象与 x 轴相切，所以 a24b0，所以 a24b.答案：a2
6、4b6在 26 枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称_次就可以发现这枚假币【解析】将 26 枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那 13 枚金币里面；从这 13 枚金币中拿出 1 枚，然后将剩下的 12 枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那 6 枚金币里面；将这 6 枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那 3 枚金币里面；从这 3 枚金币中任拿出 2 枚放在天平上，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则质量小的那一枚
7、即是假币综上可知，最多称 4 次就可以发现这枚假币答案：4三、解答题7(10 分)已知函数 f(x)2x3x23x1.(1)求证：f(x)在区间(1，2)上存在零点(2)若 f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算 f(x)0 的一个近似解(精确度为 0.1).x11.51.251.3751.312 51.343 75f(x)的近似值110.406 250.183 590.138 180.015 81【解析】(1)因为 f(x)2x3x23x1，所以 f(1)10，f(2)70，所以 f(1)f(2)70.且 f(x)2x3x23x1 在(1，2)内连续，所以 f(x)
8、在区间(1，2)上存在零点(2)由(1)知，f(x)2x3x23x1 在(1，2)内存在零点，由表知 f(1)1，f(1.5)1，所以 f(1)f(1.5)0，所以 f(x)的零点在(1，1.5)上，因为 f(1.25)0.406 25，所以 f(1.25)f(1.5)0，所以 f(x)的零点在(1.25，1.5)上，因为 f(1.375)0.183 59，所以 f(1.25)f(1.375)0，所以 f(x)的零点在(1.25，1.375)上，因为 f(1.312 5)0.138 18，所以 f(1.312 5)f(1.375)0，所以 f(x)的零点在(1.312 5，1.375)上，由于|1.3751.312 5|0.062 50.1，所以 f(x)0 的一个近似解可取为 1.375.
