1、62.2直线上向量的坐标及其运算62.3平面向量的坐标及其运算【课程标准】1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加法，减法与数乘运算.3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件第1课时平面向量的坐标及运算新知初探自主学习突出基础性教材要点知识点一直线上向量的坐标1给定一条直线l及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得axe，此时，x称为向量a的坐标状元随笔值得注意的是，如果直线上向量a的坐标为x，则x既能刻画a的模，也能刻画向量a的方向事实上，此时|a|xe|x|e|x|；而且：当x0时，a的方向与e的
2、方向相同；当x0时，a是零向量；当x0时，a的方向与e的方向相反也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定2事实上，设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则OAx1e，OBx2e，因此ABOBOAx2ex1e(x2x1)e，所以不难看出AB|AB|x2x1|.这就是数轴上两点之间的距离公式3另外，假设M(x)是线段AB的中点，则OM12 (OAOB)x1e+x2e2x1+x22e，又因为OMxe，所以xx1+x22.这就是数轴上的中点坐标公式知识点二正交分解1向量垂直平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作ab.
3、为了方便起见，规定零向量与任意向量都垂直2正交分解如果平面向量的基底e1，e2中，e1e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解知识点三平面向量的坐标表示一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果axe1ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a(x，y).状元随笔1.对平面向量坐标的几点认识(1)设OAxy(O为坐标原点)，则向量OA的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量OA的坐标(x，y).因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的(2)
4、两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同2符号(x，y)的意义符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y).知识点四平面向量的坐标运算(1)已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数，那么ab_，ab_，a(x1，y1).(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则ABOBOA(x2，y2)(x1，y1)_即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_的坐标减去_的坐标基础自测1数
5、轴上两点，A的坐标为1，B的坐标为2，AB的坐标为()A3B(3，0)C3D(3，0)2已知M(2，3)，N(3，1)，则NM的坐标是()A(2，1) B(1，2)C(2，1) D(1，2)3已知数轴上的一个单位向量e，向量a23e，b13e，则下列式子正确的是()Ab12aBb12aCb2aDb2a4若向量BA(2，3)，CA(4，7)，则BC_课堂探究素养提升强化创新性题型1直线上向量的运算与坐标表示经典例题例1(1)若e是直线l上的一个单位向量，向量a13e，b12e是这条直线上的向量，则|a2b|_(2)已知A，B是数轴上的点，B(2)，且AB的坐标为4，求：点A的坐标线段BA的中点C
6、的坐标状元随笔利用数轴上两点之间的关系与中点坐标公式求解方法归纳数轴上A点坐标为x1，B点坐标为x2(1)AB坐标x2x1，|AB|x2x1|(2)线段AB的中点坐标为x1+x22跟踪训练1(1)数轴上向量a的坐标为2，b的坐标为3，则a2b的坐标为()A1B8C4D1(2)已知直线上向量a，b的坐标分别为3，4，求下列向量的坐标2ab.5a12b.(3)已知数轴上两点A，B的坐标分别为x1，x2，根据下列条件，分别求点A的坐标x1.x25，BA的坐标为3；x21，|AB|2.题型2求向量的坐标经典例题例2如图，分别用基底i，j表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标结合坐标系，写出a、b、c
7、、d的坐标方法归纳求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标跟踪训练2在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|2，|b|3，分别求出它们的坐标由于向量a，b的起点在坐标原点，因此只需求出终点A，B的坐标题型3平面向量的坐标运算经典例题例3(1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC(4，3)，则向量BC()方法一先求C点坐标，再求BC.方法二先求AB，再求BC.A.(7，4)B(7，4)C(1，4)D(1，4)(2)已知向量a
8、，b的坐标分别是(1，2)，(3，5)，求ab，ab，3a，2a3b的坐标方法归纳平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行跟踪训练3(1)已知A、B、C的坐标分别为(2，4)、(0，6)、(8，10)，则AB2BC_，BC12AC_；(2)已知向量a(1，2)，b(2，3)，c(4，1)，若用a和b表示c，则c_状元随笔(1)先求AB，BC，AC坐标，再计算AB2BC，BC12AC的值(2)设cxayb，建立方
9、程组，求出x，y.题型4向量坐标运算的应用经典例题例4已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及OPOAtAB.(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由状元随笔(1)OP(13t，23t)，利用点在坐标轴及象限的特征求解(2)若四边形OABP为平行四边形，则有OAPB.方法归纳向量中含参数问题的求解策略(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解
10、这个方程(组)，就能达到解题的目的(3)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量，由此可建立相等关系求某些参数的值跟踪训练4已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)若APABAC(R)，试求为何值时，(1)点P在一、三象限的角平分线上；(2)点P在第三象限内62.2直线上向量的坐标及其运算62.3平面向量的坐标及其运算第1课时平面向量的坐标及运算新知初探自主学习知识点四(1)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(2)(x2x1，y2y1)终点始点基础自测1解析：A的坐标为1，B的坐标为2，则AB的坐标为3.答案：C2解析：NM(23，31)
11、(1，2)答案：B3解析：由题意，向量a23e，b13e，所以a2b，即b12a.答案：B4解析：BCBA+ACBACA(2，3)(4，7)(2，4)答案：(2，4)课堂探究素养提升例1【解析】(1)由题意，向量a，b的坐标分别为13，12，所以a2b的坐标为132(12)23，故|a2b|23.(2)由题意知，OB的坐标为2，又ABOBOA，且AB的坐标为4，所以OA的坐标为6，即A(6)由知，A(6)，B(2)，所以中点C的坐标为6+224，即C(4)【答案】(1)23(2)见解析跟踪训练1解析：(1)b的坐标为3，2b的坐标为6，a2b的坐标为264.(2)2ab的坐标为23(4)2.5
12、a12b的坐标为5312(4)17.(3)由题意，数轴上两点A，B的坐标分别为x1，x2，由向量BA的坐标为x1(5)3，所以x18.由|AB|1x1|2，解得x11或x13.答案：(1)C(2)(3)见解析例2【解析】如题图可知，aAA1+AA22i3j，所以a(2，3)同理，b2i3j(2，3)，c2i3j(2，3)，d2i3j(2，3)跟踪训练2解析：设点A(x，y)，B(x0，y0)，|a|2，且AOx45，x2cos452，且y2sin452.又|b|3，xOB9030120，x03cos12032，y03sin120332.故aOA(2，2)，bOB(32，332)例3【解析】(1
13、)方法一设C(x，y)，则AC(x，y1)(4，3)，所以x=4，y=2，从而BC(4，2)(3，2)(7，4)故选A.方法二AB(3，2)(0，1)(3，1)，BCACAB(4，3)(3，1)(7，4)，故选A.(2)ab(1，2)(3，5)(2，3)，ab(1，2)(3，5)(4，7)，3a3(1，2)(3，6)，2a3b2(1，2)3(3，5)(2，4)(9，15)(7，11)【答案】(1)A(2)见解析跟踪训练3解析：(1)A(2，4)，B(0，6)，C(8，10)，AB(2，10)，BC(8，4)，AC(10，14)，AB2BC(18，18)，BC12AC(3，3)(2)设cxayb
14、，则(x，2x)(2y，3y)(x2y，2x3y)(4，1)故x2y=4，2x+3y=1，解得x=2，y=1.所以c2ab.答案：(1)(18，18)(3，3)(2)2ab例4【解析】(1)OPOAtAB(1，2)t(3，3)(13t，23t)若点P在x轴上，则23t0，所以t23.若点P在y轴上，则13t0，所以t13.若点P在第二象限，则1+3t0，2+3t0，所以23t13.(2)OA(1，2)，PB(33t，33t)若四边形OABP为平行四边形，则OAPB，所以33t=1，33t=2，该方程组无解故四边形OABP不能为平行四边形跟踪训练4解析：设点P的坐标为(x，y)，则AP(x，y)(2，3)(x2，y3)，ABAC(5，4)(2，3)(7，10)(2，3)(3，1)(5，7)(35，17)因为APABAC，所以x2=3+5，y3=1+7，则x=5+5，y=4+7.(1)若P在一、三象限的角平分线上，则5547，所以12，所以当12时，点P在一、三象限的角平分线上(2)若P在第三象限内，则5+50，4+70，所以1，所以当1时，点P在第三象限内
