1、第九讲圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测知识梳理知识点一直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共 点及有两个相异的公共点(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断设直线l的方程为AxByC0，圆锥曲线方程f(x，y)0.由消元，如消去y后得ax2bxc0，若a0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)若a0，设b24ac.当_0时，直线和圆锥曲
2、线相交于不同两点；当_0时，直线和圆锥曲线相切于一点；当_0时，直线和圆锥曲线没有公共点知识点二直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|_|x1x2|_或|P1P2|_|y1y2|_.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)知识点三圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解在椭圆1(ab0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在双曲线1(a0，b0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在抛物线y22px(p
3、0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k.重要结论1判定直线与圆位置关系的关键是圆心到直线的距离与半径的大小关系2判定过定点的直线与椭圆的位置关系应关注定点与椭圆的位置关系3判定过定点的直线与双曲线的位置关系应注意直线斜率与渐近线斜率的关系，过定点与双曲线只有一个公共点的直线可能与双曲线相切，可能与渐近线平行4过定点与抛物线只有一个公共点的直线可能与抛物线相切，可能与对称轴平行双基自测1(2020天津模拟)若双曲线1(p0)的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p(D)ABC2D4解析因为双曲线1(p0)的左焦点为(，0)，抛物线y22px的准线方程为x，所以，得p4，故选D2(2
4、019宁夏模拟)直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(B)Ay212xBy28xCy26xDy24x解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|(x1x2)p8.又AB的中点到y轴的距离为2，2，x1x24，p4，所求抛物线的方程为y28x.故选B3(2019广东揭阳模拟)过双曲线1(a0，b0)两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为(D)A2BC1D解析令xc得|y|，由题意得22c，c2a2ac，e2e10，e，(负值舍去)，选
5、D4(2019山东济南模拟)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且0，2，则椭圆E的离心率为(C)ABCD解析2，设|BF2|x，则|AF2|2x，由椭圆的定义，可以得到|AF1|2a2x，|BF1|2ax，0，在RtAF1B中，有(2a2x)2(3x)2(2ax)2，解得x，|AF2|，|AF1|，在RtAF1F2中，有()2()2(2c)2，整理得，e，故选C5(2019安徽六校教育研究会联考)已知F1，F2是椭圆1的左右焦点，点M的坐标为(1，)，F1MF2的角平分线所在直线的斜率为(A)A2B1CD解析F(1,0)，|MF1|，|MF2|4
6、，记F1MF2的平分线与x轴交于H，则，即，xH，k2，故选A6(2020温州模拟)双曲线1(a0，b0)上一点M(3，4)关于一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点F2，则该双曲线的标准方程为_1_.解析由题设知点M(3,4)与右焦点F2(c,0)关于直线yx对称，所以1，即4ba(c3)，且线段MF2的中点(，2)在直线yx上，即2，得b(c3)4a.由得，得c225，c5，代入可得b2a.又c2a2b2，所以25a2(2a)2，所以a25，从而b24a220.故所求双曲线的标准方程为1.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究考点一直线与圆锥曲线的位置关
7、系自主练透例1 (1)(2019兰州检测)若直线mxny4和圆O：x2y24没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为(B)A至多一个B2C1D0(2)(2020湖北武汉调研)已知不过原点O的直线交抛物线y22px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA2，kAB6，则OB的斜率为(D)A3B2C2D3(3)(2020辽宁沈阳二中月考)直线l：yk(x)与曲线x2y21(x0)相交于A，B两点，则直线l倾斜角的取值范围是(B)A0，)B(，)(，)C0，)D，)(，解析(1)直线mxny4和圆O：x2y24没有交点，2，m2n24.1m21，点(m，n)在椭圆1的内部，过点(m，
8、n)的直线与椭圆1的交点有2个，故选B(2)由题意可知，直线OA的方程为y2x，与抛物线方程y22px联立得得即A(，p)，则直线AB的方程为yp6(x)，即y6x2p，与抛物线方程y22px联立得得或所以B(，)，所以直线OB的斜率为kOB3.故选D(3)直线l过定点(，0)，曲线x2y21(x0)的渐近线的倾斜角分别为，又直线的斜率存在，结合图形可知选B名师点拨 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数注意：(1)在没有给出直线方程时，要对直线斜率不存在的情况进行讨论，避免漏解；(2)对于选择题、填空题，常根据几何条件，利用数形结合的方法求解
9、考点二直线与圆锥曲线相交的弦的问题多维探究角度1弦长问题例2 (2020广东省佛山市质检)已知F为椭圆C：1(ab0)的左焦点，过原点O的动直线l与C交于A，B两点当A的坐标为(1，)时，|OB|BF|.(1)求椭圆C的标准方程；(2)延长BF交椭圆C于Q，求QAB的面积的最大值解析(1)由A(1，)，得B(1，)，而|OB|BF|.F(2,0)，即c2.由，解得a25，b21.椭圆C的标准方程为y21.(2)当直线BF斜率不存在时，BF：x2，此时B(2，)，|BQ|，A(2，)，SQAB4；当BF所在直线斜率存在时，设BF：yk(x2)(k0)，联立，得(15k2)x220k2x20k25
10、0，设B(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.则|BQ|.又O到BQ的距离d，则A到BQ的距离为，SQAB.令15k2t(t1)，则SQAB8.当时，(SQAB)max2.综上，QAB的面积的最大值为2.名师点拨 处理弦长问题的两个注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用变式训练1(多选题)(2020山东德州期末)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|8，则以下结论
11、正确的是(ABC)Ap4BC|BD|2|BF|D|BF|4解析如下图所示：分别过点A、B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E、M.抛物线C的准线m交x轴于点P，则|PF|p，由于直线l的斜率为，其倾斜角为60，AEx轴，EAF60，由抛物线的定义可知，|AE|AF|，则AEF为等边三角形，EFPAEF60，则PEF30，|AF|EF|2|PF|2p8，得p4，A选项正确；|AE|EF|2|PF|，又PFAE，F为AD的中点，则，B选项正确；DAE60，ADE30，|BD|2|BM|2|BF|(抛物线定义)，C选项正确；|BD|2|BF|，|BF|DF|AF|，D选项错误，故选ABC角度2利
12、用中点弦解决对称问题例3 已知双曲线1(a，b0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线yax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线yxm对称，且x1x2，则m的值为(A)ABC2D3解析由双曲线的定义知2a4，得a2，所以抛物线的方程为y2x2.因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y2x2上，所以y12x，y22x，两式相减得y1y22(x1x2)(x1x2)，不妨设x1x2，又A，B关于直线yxm对称，所以1，故x1x2，而x1x2，解得x11，x2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，则x0，y0，因为中点M在直线yxm上
13、，所以m，解得m，选A名师点拨 处理中点弦问题常用的求解方法变式训练2已知椭圆y21的左焦点为F，O为坐标原点设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，点A和点B关于直线l对称，l与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围是_(，0)_.解析设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.因为直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，所以方程有两个不等实根设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点N(x0，y0)，则x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，因为点A和点B关于直线l对称，所以直线l为AB的垂直平分线，其方程为yy0(xx
14、0)令y0，得xGx0ky0，因为k0，所以xGb0)，过点P(0，2)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆x2y28于A，B两点，l2交椭圆C于另一个点D，求ABD面积取得最大值时直线l1的方程解析(1)由题意得，所以椭圆方程为1.方法二：由e得ac，由椭圆经过点P(0，2)得bc2，所以a2，所以椭圆方程为1.(2)由题知直线l1的斜率存在，不妨设为k，则l1：ykx2.若k0时，直线l1的方程为y2，l2的方程为x0，易求得|AB|4.|DP|4.此时SABD|AB|DP|8.若k0时，则直线l2：yx2.圆心(0,0)到直线l1的
15、距离为d.直线l1被圆x2y28截得的弦长为|AB|2.由(k22)x28kx0，得xDxP故|DP|SABD|AB|DP|.当，即k1时上式等号成立因为8b0)的离心率e，过点A(a,0)和B(0，b)的直线与原点间的距离为.(1)求椭圆M的方程；(2)过点E(1,0)的直线l与椭圆M交于C、D两点，且点D位于第一象限，当3时，求直线l的方程解析(1)据题知，直线AB的方程为bxayab0.依题意得.解得a22，b21，所以椭圆M的方程为y21.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)(x20，y20)，设直线l的方程为xmy1(mR)代入椭圆方程整理得：(m22)y22my10.8m28
16、0，y1y2，y1y2.由3，依题意可得：y13y2，结合得，消去y2解得m1，m1(不合题意)所以直线l的方程为yx1.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升“设而不求，整体代换”解决圆锥曲线问题例5 (2020山西太原模拟)已知动点C到点F(1,0)的距离比到直线x2的距离小1，动点C的轨迹为E.(1)求曲线E的方程；(2)若直线l：ykxm(km0)，1，p2，曲线E的方程为y24x.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2km4)xm20，x1x2，x1x2，(2km4)24m2k216(1km)0.5，x1x2
17、y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m25，m24km5k20，mk或m5k.km0，直线l的方程为yk(x5)，直线l必经过定点(5,0)名师点拨 对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果变式训练4(2020福建龙岩质检)已知椭圆E的方程为y21，点A为长轴的右端点B，C为椭圆E上关于原点对称的两点直线AB与直线AC的斜率kAB和kAC满足：kABkAC.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l：ykxt与圆x2y2相切，且与椭圆E相交于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆恒过原点解析(1)设B(x0，y0)，则C(x0，y0)由y1得，y1，由kABkAC，即得，y，所以，所以a22，即椭圆E的标准方程为：y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得：(12k2)x24ktx2t220，x1x2，x1x2.y1y2(kx1t)(kx2t)k2x1x2kt(x1x2)t2t2，又l与圆C相切，所以即，所以x1x2y1y20，所以，即MON90，所以，以线段MN为直径的圆经过原点
