1、12.5数学归纳法1了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题1数学归纳法是证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取_时命题成立(2)(归纳递推)假设nk(kk0， kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立2应用数学归纳法时特别注意：(1)数学归纳法证明的对象是与_有关的命题(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可1用数学归纳法证明3nn3(nN，n3)，第一步应验证()An1 Bn2Cn3 Dn42用数学归纳法证明12222n12n21(nN*)的过程中，在验证n1时，左端计算所得的项为()A1 B12C1222 D1222233已
2、知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时， f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)4用数学归纳法证明：“1n(n1)”，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项的项数是_5已知数列an中，a1，an1，则数列的前5项为_，猜想它的通项公式是_一、用数学归纳法证明恒等式【例1】nN*，求证：1.方法提炼用数学归纳法证题的关键是第二步由nk到nk1的过渡，要设法将待证式与归纳假设建立联系，即借助于已经学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把nk1时的表达式拼凑出归纳假设的形
3、式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明请做演练巩固提升2二、用数学归纳法证明不等式【例2】设数列an满足a12，an1an(n1,2，)(1)证明：an对一切正整数n都成立；(2)令bn(n1,2，)，判断bn与bn1的大小，并说明理由方法提炼用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式事实上，在合理运用归纳假设后，可以使用证明不等式的任何方法证明目标式成立请做演练巩固提升3三、用数学归纳法证明几何问题【例3】用数学归纳法证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)n(n3)(n3)方法提炼用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即
4、几何元素从k个变成k1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析；事实上，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧请做演练巩固提升1四、归纳猜想证明【例4】设数列an满足an1anan1，n1,2，3，.(1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a13时，证明对所有的n1，有ann2.方法提炼“归纳猜想证明的模式”，是不完全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明结论的正确
5、性，这种思维方式是推动数学研究与发展的重要方式请做演练巩固提升6数学归纳法解题步骤要求【典例】(14分)(2012湖北高考)(1)已知函数f(x)rxxr(1r)(x0)，其中r为有理数，且0r1，求f(x)的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a10，a20，b1，b2为正有理数若b1b21，则a1b1a2b2；(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题注：当为正有理数时，有求导公式(x)x1.规范解答：(1)f(x)rrxr1r(1xr1)，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)0，所以f(x)在(0,1)内是减函数；当x1时，f(x)0，所以
6、f(x)在(1，)内是增函数故函数f(x)在x1处取得最小值f(1)0.(4分)(2)由(1)知，当x(0，)时，有f(x)f(1)0，即xrrx(1r)若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2成立；若a1，a2均不为0，又b1b21，可得b21b1, 于是在中令x，rb1，可得b1(1b1)，即a1b1a2(1b1)，亦即a1b1a2b2.综上，对a10，a20，b1，b2为正有理数且b1b21，总有a1b1a2b2.(8分)(3)(2)中命题的推广形式为：设a1，a2，an为非负实数，b1，b2，bn为正有理数若b1b2bn1，则a1b1a2b2anbn.用数学归纳法证明如下：()当n
7、1时，b11，有a1a1，成立(10分)()假设当nk时，成立，即若a1，a2，ak为非负实数，b1，b2，bk为正有理数，且b1b2bk1，则a1b1a2b2akbk.当nk1时，已知a1，a2，ak，ak1为非负实数，b1，b2，bk，bk1为正有理数，且b1b2bkbk11，此时0bk11，即1bk10，于是.(12分)因1，由归纳假设可得a1a2ak，从而.又因(1bk1)bk11，由得(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1，从而a1b1a2b2akbkak1bk1.故当nk1时，成立由()()可知，对一切正整数n，所推广的命题成立(14分)答题指导：解决数学归纳
8、法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时，有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：1归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难2证明nk到nk1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法3不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题1平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，则这n个圆将平面分成不同的区域有()A2n个 B2n个Cn2n2个 Dn2n1个2已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设
9、再证()Ank1时等式成立Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立Dn2(k2)时等式成立3设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()Af(1)1成立，则f(10)100成立B若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立C若f(2)4成立，则f(1)1成立D若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立4在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验的第一个值为n0_.5(2012重庆八中月考)已知函数f(x)，数列an满足a1，an1f(an)，nN*.求证：anan
10、11.6设数列a1，a2，an，中的每一项都不为0.证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN*，都有.参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)第一个值n0(n0N*)(2)nk12(1)正整数基础自测1C2C3D42n1解析：当nk1时，1n1，左边增加的项的项数为2n112n2n112n2n1项5，an考点探究突破【例1】证明：(1)当n1时，左边1，右边左边右边(2)假设nk时等式成立，即1，则当nk1时，即当nk1时，等式也成立综合(1)，(2)可知，对一切nN*，等式成立【例2】(1)证明：当n1时，a12，不等式成立假设当nk(kN*)时，ak成立那么当nk1时，aa22k32(
11、k1)1当nk1时，ak1成立综上，an对一切正整数n都成立(2)解：1故bn1bn【例3】证明：(1)三角形没有对角线，n3时，f(3)0，命题成立(2)假设nk(k3)时，命题成立，即f(k)k(k3)，则当nk1时，凸k边形由原来的k个顶点变为k1个顶点，对角线条数增加k1条f(k1)f(k)k1k(k3)k1(k1)(k1)3当nk1时命题成立，由(1)，(2)可知对任何nN且n3，命题恒成立【例4】解：(1)由a12，得a2aa113，由a23，得a3a2a214，由a34，得a4a3a315，由此猜想an的一个通项公式：ann1(n1)(2)证明：用数学归纳法证明：当n1时，a13
12、12，不等式成立假设当nk时不等式成立，即akk2，那么，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是说，当nk1时，ak1(k1)2根据和，对于所有n1，都有ann2演练巩固提升1C解析：n2时，分成4部分，可排除D；n3时，分成8部分，可排除A；n4时，分成14部分，可排除B，故选C2B解析：n为正偶数，若nk，则下一个正偶数为nk2，故选B3D解析：f(4)16，说明当k4时，f(k)k2成立f(k)k2成立时，f(k1)(k1)2成立，说明nk时f(n)n2成立能推出nk1时，f(n)n2成立，根据数学归纳法可得当k4时，均有f(k)k2成立44解析：凸多边形要有对角线，至少
13、也是四边形，n045解：首先用数学归纳法证明an1，当n1时，显然成立；假设当nk时，上式成立，即ak1(kN*)，则ak1f(ak)，因为f(x)在(0,1)上单调递增，所以ff(ak)f(1)1，即也有ak11成立从而an1anan0，所以an1an所以anan116证明：先证必要性设数列an的公差为d若d0，则所述等式显然成立若d0，则再证充分性(数学归纳法)设所述的等式对一切nN*都成立首先，在等式两端同乘a1a2a3，即得a1a32a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2a1d假设aka1(k1)d，当nk1时，观察如下两个等式，将代入，得，在该式两端同乘a1akak1，得(k1)ak1a1kak将aka1(k1)d代入其中，整理后，得ak1a1kd由数学归纳法原理知，对一切nN*，都有ana1(n1)d所以an是公差为d的等差数列高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801
